試卷第=page22頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁浙江省杭師附中2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．空間兩點A，B的坐標分別為，則A，B兩點的位置關(guān)系是（

）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于平面對稱 C．關(guān)于z軸對稱 D．關(guān)于原點對稱2．若把數(shù)據(jù)，改變?yōu)?，則它們的（

）A．平均數(shù)與方差均不改變 B．平均數(shù)改變，方差保持不變C．平均數(shù)不變，方差改變 D．平均數(shù)與方差均改變3．若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．平行或線在面內(nèi)4．已知橢圓的兩個焦點為，且．弦過點，則的周長為A．10 B．20 C． D．5．“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．103 B．107 C．109 D．1056．如圖，已知拋物線和圓，直線經(jīng)過的焦點，自上而下依次交和于A，B，C，D四點，則的值為A． B． C．1 D．27．已知邊長為1的正方體，M為BC中點，N為平面上的動點，若，則三棱錐的體積最小值為（

）A． B． C． D．8．設(shè)，分別為雙曲線：的左?右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．二、多選題9．已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（

）A．的長軸長與的實軸長相等 B．的短軸長與的虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率不相等10．數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當時， D．當或4時，取得最大值11．正方體的棱長為分別為的中點.則（

）A．直線與直線AF垂直B．直線與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為D．點和點D到平面AEF的距離相等12．泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點，直線，動點到點的距離是點到直線的距離的一半.若某直線上存在這樣的點，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點的軌跡方程是B．直線：是“最遠距離直線”C．平面上有一點，則的最小值為5.D．點P的軌跡與圓：是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）三、填空題13．雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則14．甲、乙兩人獨立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是，，則該密碼被成功破譯的概率為．15．已知矩形ABCD，，沿對角線AC將折起，若二面角的余弦值為，則B與D之間距離為．16．如圖，已知拋物線的方程，過點作直線與拋物線相交于P，Q兩點，點B的坐標為，連接BP，BQ，設(shè)QB，BP的延長線與x軸分別相交于點M，N．如果直線BQ與BP的斜率之積為，則．四、問答題17．某社區(qū)為了解轄區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”，從轄區(qū)住戶的離退休老人中隨機抽取了位老人進行調(diào)查，獲得了每人每天的平均戶外“活動時間”（單位：小時），活動時間按照、、…、從少到多分成組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中的值；(2)估計該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”的中位數(shù)；(3)在、這兩組中采用分層抽樣抽取人，再從這人中隨機抽取人，求抽取的兩人恰好都在同一個組的概率.18．如圖，平行六面體中，，，(1)求對角線的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．19．如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?20．已知等比數(shù)列滿足，.（1）定義：首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”，證明：數(shù)列是“數(shù)列”；（2）記等差數(shù)列的前項和記為，已知，，求數(shù)列的前項的和.五、證明題21．如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.(1)證明：平面；(2)若為上一點，且三棱錐的體積是三棱錐體積的2倍，求平面與平面夾角的余弦值.六、問答題22．已知拋物線的準線過橢圓的左焦點,且橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成一個正三角形.(1)求橢圓的方程;(2)直線交橢圓于兩點,點在線段上移動,連接交橢圓于兩點,過作的垂線交軸于,求面積的最小值.答案第=page1414頁，共=sectionpages1515頁答案第=page1515頁，共=sectionpages1515頁參考答案：1．C【分析】根據(jù)A，B兩點坐標之間的關(guān)系直接判斷即可得解.【詳解】因為點A，B的橫縱坐標互為相反數(shù)，它們的豎坐標相同，所以點A，B關(guān)于z軸對稱.故選：C.2．B【分析】直接由平均數(shù)和方差的定義計算即可求解.【詳解】數(shù)據(jù)的平均數(shù)，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，平均數(shù)發(fā)生變化；數(shù)據(jù)的方差，數(shù)據(jù)的方差為，方差不發(fā)生變化.故選：B.3．A【分析】根據(jù)得到與共線，即可得到直線與平面垂直.【詳解】因為，所以與共線，直線與平面垂直.故選：A.4．D【分析】求得橢圓的，由橢圓的定義可得的周長為，計算即可得到所求值．【詳解】解：由題意可得橢圓中，則，由橢圓的定義可得，即有的周長為.故選：D．5．B【分析】根據(jù)已知條件進行轉(zhuǎn)化得到數(shù)列通項公式，由題意解出不等式即可判斷項數(shù).【詳解】由題意，被3除余2且被7除余2的數(shù)即為被21除余2的數(shù)，故，則.故選：B6．C【分析】先由題意得到，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)，結(jié)合韋達定理得到，再由拋物線的定義，得到，，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點為，又直線經(jīng)過的焦點，當直線的斜率不存在時，易得；當直線的斜率存在時，設(shè)直線，由得，設(shè)，則由題意可得：，同理，所以.故選C【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，以及向量數(shù)量積的運算，熟記向量數(shù)量積的定義，以及拋物線的定義與簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7．B【分析】建立空間直角坐標系，結(jié)合求得三棱錐的體積的表達式并求得其最小值.【詳解】以D為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，設(shè)∴，又，∴，即，∴，∴∴.故選：B8．D【分析】聯(lián)立與求出，進而的正切可求，得出的關(guān)系，從而進一步解出答案.【詳解】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因為,所以,又,所以,所以,所以該雙曲線的離心率.故選：D.9．CD【分析】利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】由題意可知，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，當時，，，雙曲線的焦點在軸上，其實軸長為，虛軸長為，焦距為，離心率為.故的長軸長與的實軸長不相等，的短軸長與的虛軸長不相等，與的焦距相等，離心率不相等．故選：CD．10．CD【分析】根據(jù)表達式及時，的關(guān)系，算出數(shù)列通項公式，即可判斷A、B、C選項的正誤.的最值可視為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)來求得.【詳解】當時，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯誤；，故B錯誤；當時，，故C正確；因為的對稱軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或距離對稱軸一樣遠，所以當或時，取得最大值，故D正確.故選：CD.11．BCD【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義判斷A，由面面平行的性質(zhì)定理判斷B，作出完整的截面，判斷CD．【詳解】因為，而與顯然不垂直，因此與不垂直，A錯；取中點，連接，，由分別是中點，得，又，，是平行四邊形，所以，，平面，所以平面，平面，而，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．B正確；由正方體性質(zhì)，連接，則截面即為四邊形，它是等腰梯形，，，等腰梯形的高為，截面面積為，C正確，設(shè)，易知是的中點，所以兩點到平面的距離相等．D正確．故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正方體的性質(zhì)．考查異面直線所成角的定義，面面平行的性質(zhì)定理，考查正方體的截面問題．在證明面面平行時，注意判定定理的條件，對正方體的截面，解決問題的最好方法是作出完整的截面，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)確定截面的性質(zhì)，從而完成求解．12．ABC【分析】對A，設(shè)，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求即可；對D，易判斷為交點.【詳解】設(shè)，因為點到點的距離是點到直線的距離的一半，所以，化簡得，故A正確；聯(lián)立方程可得，解得，故存在，所以直線：是“最遠距離直線”，故B正確；過P作PB垂直直線，垂足為B，則由題可得，則，則由圖可知，的最小值即為點A到直線的距離5，故C正確；由可得，即圓心為，半徑為1，易得點P的軌跡與圓交于點，故D錯誤.故選：ABC.13．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線方程，列式計算即可.【詳解】由雙曲線方程可得，焦點坐標在軸上，故可得虛軸長為，實軸長為，又因為虛軸長是實軸長的2倍，故可得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查由之間的關(guān)系，求雙曲線方程中參數(shù)值的問題，屬基礎(chǔ)題.14．【分析】根據(jù)題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質(zhì)分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率．故答案為：．15．【分析】過和分別作，由題意可得、，由二面角的余弦值為，得，再利用可求得結(jié)果.【詳解】過和分別作，由，則，由等面積法知：，故，則，即，二面角的余弦值為，即，，，則，即與之間距離為.故答案為：16．【分析】設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去后利用韋達定理可證，結(jié)合可取直線斜率，再利用余弦定理求解.【詳解】設(shè)直線的方程為，

由得，，

又，

因為，，故，又，故解得，所以.所以.由余弦定理得.故答案為：.17．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小長方形的面積之和為即可求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等即可求解；（3）利用分層抽樣的抽樣比公式及古典概型的計算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，可知，平均戶外“活動時間”在的頻率為．同理，在，，，，，等組的頻率分別為，由，解得．（2）設(shè)中位數(shù)為小時．因為前的頻率之和為，而前組的頻率之和為，所以．由，解得.故可估計該社區(qū)住戶中離退休老人每天的平均戶外“活動時間”的中位數(shù)為2.06小時．（3）由題意得平均戶外活動時間在，中的人數(shù)分別有人、人，按分層抽樣的方法分別抽取人、人，記作及從人中隨機抽取人，共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．共21種，同時在同一組的有，，，，，，，，．共9種，故其概率是．18．(1)；(2).【分析】(1)以向量為基底，則有，兩邊平方即可得，即可得的值，即可得答案；(2)由向量的四則運算及數(shù)量積可得,從而可得的值，即可得答案.【詳解】（1）因為，，所以三角形為等腰直角三角形，所以，又因為，，所以三角形為邊長為1的等邊三角形，以向量為基底，則有，兩邊平方得，所以，即,所以對角線的長度為3；（2）因為，，，，所以,所以,即異面直線與所成角的余弦值為.19．(1)；(2)該船有觸礁的危險．【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點A，B的坐標，設(shè)出圓C的一般方程，利用待定系數(shù)法求解作答.（2）求出船D的航線所在直線的方程，再利用點到直線距離公式計算判斷作答.【詳解】（1）依題意，因A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，則點，又B島在O島的正東方向距O島20千米處，則，設(shè)過O，A，B三點的圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．（2）因船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，則，而船D沿著北偏東45°方向行駛，則船D的航線所在直線l的斜率為1，直線l的方程為，由（1）知，圓C的圓心為，半徑，則圓心C到直線l的距離，則，所以該船有觸礁的危險.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由等比數(shù)列的通項公式求出公比，根據(jù)題意證明數(shù)列是“數(shù)列”；（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)求出，當時，由等差數(shù)列的求和公式求出；當時，由錯位相減法求出.【詳解】（1）證明：由題意可設(shè)公比為，則得：得：或∴數(shù)列是“數(shù)列”.（2）設(shè)數(shù)列的公差為易得：得：∴，得：由（1）知若，則∴若，則，∴∴①∴②①②得：∴∴.【點睛】對于“等差乘等比”類型的數(shù)列，一般采用錯位相減法求數(shù)列的和.21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）在梯形中，取的中點，證明四邊形為平行