2000年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）考生注意：本試卷共有22道試題，滿分150分一、填空題（本大題滿分為48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分。1．已知向量(－1，2)、=(3，m)，若┴，則m=。2．函數(shù)，的定義域為。3．圓錐曲線的焦點坐標(biāo)是。4．計算：=。5．已知的反函數(shù)為的圖象經(jīng)過點，則=。6．根據(jù)上海市人大十一屆三次會議上的市政府工作報告，1999年上海市完成GDP(GDP是指國內(nèi)生產(chǎn)總值)4035億元，2000年上海市GDP預(yù)期增長9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增長率將控制在0.08%，若GDP與人口均按這樣的速度增長，則要使本市年人均GDP達(dá)到或超過1999年的2倍，至少需年。（按：1999年本市常住人口總數(shù)約1300）7．命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐，命題A的等價題B可以是：底面為正三角形，且的三棱錐是正三棱錐。8．設(shè)函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間[0，1]上的圖象為如圖所示的線段，則在區(qū)間[1，2]上=。9．在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為，（結(jié)果用數(shù)值表示）10．有紅、黃、藍(lán)三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號碼1、2和3，現(xiàn)任取出3面，它們的顏色與號碼均不相同的概率是。11．在極坐標(biāo)系中，若過點(3，0)且與極軸垂直的直線交曲線兩點，則。12．在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相就奪：在等此數(shù)列中，若，則有等式成立。二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得零分。13．復(fù)數(shù)[答]（）14．設(shè)有不同的直線、和不同的平面、、，給出下列三個命題：（1）若，，則。（2）若，，則。（3）若,，則。其中正確的個數(shù)是（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．[答]（）15．若集合是：.[答]（）16．下列命題中正確的命題是（A）若點為角終邊上一點，則。（B）同時滿足的角有且只有一個。（C）當(dāng)時，的值恒正。（D）三角方程的解集為。[答]（）三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．（本題滿分12分）已知橢圓的焦點分別為，長軸長為6，設(shè)直交橢圓于、兩點，求線段的中點坐標(biāo)。[解]18．（本題滿分12分）如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角的大小為，求四面體ABCD的體積。[解][解]（2）[解]（3）22．（本小題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知復(fù)數(shù)均為實數(shù)，為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)。（1）試求的值，并分別寫出和用、表示的關(guān)系式；（2）將(、)作為點的坐標(biāo)，(、)作為點的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，當(dāng)點在直線上移動時，試求點經(jīng)該變換后得到的點的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。[解]（1）[解]（2）[解]（3）2000年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）答案要點及評分標(biāo)準(zhǔn)說明1．本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分。2．評閱試卷，應(yīng)堅持每題評閱以底，不要因為考生的解稱中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯誤，就不給分。3．第17至第22題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題的累加分?jǐn)?shù)，給分或扣分均以1分為單位。解答一、（第1題至第12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分。1．4．2．3．(－4，0)，(6，0)。4．。5．1．6．9．7．側(cè)棱相等/側(cè)棱與底面所成角相等/……8．X．9．－462。10．11．12．二、（第13題至第16題）第一題正確的給4分。題號13141516代號CAAD三、（第17題至第22題）17．[解]設(shè)橢圓C的方程為由題意因為該二次方程的判別式△＞0，所以直線與橢圓有兩個不同交點，…（8分）設(shè)18．[解法一]如圖建立空間直角坐標(biāo)系…（2分）由題意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。設(shè)D點的坐標(biāo)為(0，0，z)，則又[解法二]過A引BE的平行線，交與CB的延長線于F，∠DAF是異面直線BE與AD所成的角，∴∠DAF=…（4分）∵E是AC的中點，∴B是CF的中點，AF=2BE=?！?分）又BF，BA分別是DF，DA的射影，且BF=BC=BA?！郉F=DA?！?分）三角形ADF是等腰三角形，，故，…（10分）又，因此四面體ABCD的體積是，…（12分）19．[解]（1）當(dāng)，在區(qū)間上為增函數(shù)，…（3分）地區(qū)間上最小值為，…（6分）（2）[解法一]在區(qū)讓上，恒成立，…（8分）設(shè)，遞增，∴當(dāng)時，，…（12分）于是當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)恒成立，故?！?4分）（2）[解法二]，當(dāng)時，函數(shù)的值恒為正，…（8分）當(dāng)時，函數(shù)遞增，故當(dāng)，…（12分）于是當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)恒成立，故。…（14分）20．[解]（1），得指令為，…（4分）（2）設(shè)機器人最快在點處截住小球…（6分）則因為小球速度是機器人速度的2倍，所以在相同時間內(nèi)有，…（8分）。即，得或，∵要求機器人最快地去截住小球，即小球滾動距離最短，，故機器人最快可在點處截住小球，（10分）所給的指令為，（14分）21．[解]（1）由題意，，∴，…（4分）[解]（2）∵函數(shù)遞減，∴對每個自然數(shù)n，有，則以為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是，即…（7分）解得或∴，…（10分）[解]（3）∴∴…（12分）數(shù)列是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個自然數(shù)，于是當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，數(shù)列的最大項的項數(shù)滿足不等式且。22．[解]（1）由題設(shè)，，于是由，…（3分）因此由，得關(guān)系式…（5分）[解]（2）設(shè)點在直線上，則其經(jīng)變換后的點滿足，…（7分）消去，得，故點的軌跡方程為…（10分）[解]（3）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，∴所求直線可設(shè)為，…（12分）[解法一]∵該直線上的任一點，其經(jīng)變換后得到的點仍在該直線上，∴，即，當(dāng)時，方程組無解，故這樣的直線不存在?！?6分）當(dāng)時，由得，解得或，故這樣的直線存在，其方程為或，