北師大版2021-2022學(xué)年度九年級下冊數(shù)學(xué)期中檢測試題

一、選一選（本大題共10小題,每小題3分，共30分.下列各題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求）

1.在R3/8C中,2。=90。,8。=5鳳114=2,則/8的長為（）

廠25

A.2J3B.—C.12D.13

13

【答案】D

【解析】

【詳解】試題解析：在Rt/UBC中,

.BC

???SIIL4=-----,

AB

口n55

即---=—,

AB13

AB—13.

故選D.

2.如果乙4為銳角，且cos好；,那么（）

A.0°<ZA<60°B.60°<ZT4<90°C.0°<ZA<30°D.

30°<ZJ<90°

【答案】B

【解析】

【詳解】試題解析：當(dāng)NZ是銳角時(shí)，余弦值隨角度的增大而減小.

,/cos60°=—,cos^<—,

22

60?！匆?<90。.

故選B.

點(diǎn)睛：當(dāng)N｛是銳角時(shí)，余弦值隨角度的增大而減小.

3.如圖，在筆直的海岸線/上有A,B兩個(gè)觀測站,,3=2km,從A處測得船C在北偏東45。的方向,

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從B處測得船C在北偏東22.5。的方向廁船C離海岸線/的距離（即CD的長）為（）

A.4kmB.^2+y/l]kmC.2,^/2kmD.

[-立）km

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)題意中方位角的特點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE_LAC,交AC于點(diǎn)E,由NCAB=45。,

AB=2km,可知BE=0km,根據(jù)題意還可知/BCA=NBCD=22.5。，因此CB是NACD的角平

分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知BD=BE=0km,因此CD=AD=AB+BD=（2+近）km.

故選B

4.身高相等的三名同學(xué)甲，乙，丙參加風(fēng)箏比賽，三人放出風(fēng)箏的線長，線與地面夾角如下表

（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），則三人所放的風(fēng)箏中（）

同學(xué)甲乙內(nèi)

放出風(fēng)箏線長100m100m90m

線與地面交角40°45°60°

A.甲的B.丙的C.乙的D.丙的

【答案】B

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【解析】

【詳解】試題解析：由題意可知，甲、乙、丙三人所放風(fēng)箏的高分別為100sin40m,100sin45Om,90sin

60m.

90sin60>100sin45°>100sin40°,

二丙所放的風(fēng)箏.

故選B.

03

5.在A48C中，8c=7,cos5=-1sinC=一，則A48C的面積是（）

25

A.21B.14C.12D.10.5

【答案】D

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作ADJ_BC,垂足為D,根據(jù)cos8=?Z，可求出NB,設(shè)BD=AD=x,再根

2

3

據(jù)sinC=1，即可用x表示出AC,利用勾股定理即可求出CD,然后利用BC=7即可列出方程

求出x,求面積即可.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AD_LBC,垂足為D.

；.NB=45°

/.BD=AD,

設(shè)BD=AD=x

sinC*=3

AC5

.5

??AC=-x

3

根據(jù)勾股定理：CD=1AC2-AD2

3

VBD+DC=BC=7

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4

.*.xH-x=7

3

解得：x=3

???AD=3

/.S￡LA.￡B>CC=-2BC?AD=10.5

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查的是解沒有含直角的三角形，勾股定理和三角形的面積，解決此題的關(guān)鍵是

根據(jù)己知角的銳角三角函數(shù)值構(gòu)造直角三角形.

6.已知函數(shù)了=ax2+2ax—1（。是常數(shù)，4H0）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)圖象過點(diǎn)（—1」）B.當(dāng)a=—2時(shí)，函數(shù)圖象與*軸沒有交

點(diǎn)

C.若a>0,則當(dāng)xN-l時(shí)，y隨x的增大而減小D.若a<0,則當(dāng)時(shí)，y隨x的增

大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】把a(bǔ)=l,x=-1代入廠ax2-2ax-1,于是得到函數(shù)圖象沒有點(diǎn)（-1,1）,根據(jù)4=8

>0,得到函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=l判斷二次函數(shù)的增減性.

【詳解】A、1,當(dāng)a=Lx=-l時(shí),y=l+2-1=2,

...函數(shù)圖象沒有點(diǎn)（-1,1）,故錯(cuò)誤，沒有符合題意；

B、當(dāng)a=-2時(shí)，VA=42-4x（-2）x（-I）=8>0,

函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤，沒有符合題意；

C、?.?拋物線的對稱軸為直線x=l,

...若a>0,則當(dāng)X多時(shí)，y隨x的增大而增大，故錯(cuò)誤，沒有符合題意：

D、?.?拋物線的對稱軸為直線x=l,

...若a<0,則當(dāng)xSl時(shí)，y隨x的增大而增大，故正確，符合題意；

7.要將拋物線y=N+2x+3平移后得到拋物線》=/,下列平移方確的是（）

A.向左平移1個(gè)單位長度,再向上平移2個(gè)單位長度

B.向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度

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c.向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度

D.向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度

【答案】D

【解析】

【分析】原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),由此確定平移規(guī)律.

【詳解】y=x?+2x+3=(x+1)2+2,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,2),拋物線y=x?的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(0,0),

則平移的方法可以是：將拋物線y=x2+2x+3向右移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的平移，熟記拋物線平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

8.西寧廣場有各種音樂噴泉，其中一個(gè)噴水管噴水的高度為3米，此時(shí)距噴水管的水平距離為

,米，在如圖所示的坐標(biāo)系中，這個(gè)噴泉的函數(shù)關(guān)系式是()

2

1,,1,

A..y=~(x——)2+3B.y=—?>(x+—)2+3

C.y=-12(x-1)2+3D.y=-12(x+；)2+3

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象，噴水管噴水的高度為3米，此時(shí)噴水水平距離為工米，

2

由此得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為(；，3),所以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2+3,而拋物線還(0,

0),由此即可確定拋物線的解析式.

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解答：解：：一支高度為1米的噴水管噴水的高度為3米，此時(shí)噴水水平距離為1米，

2

；?頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一，3）,

2

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+3,

而拋物線還（0,0）,

1，

；.0=a（0——）2+3,

2

：.a=-12,

拋物線的解析式為y=-12）2+3.

故選C.

9.已知函數(shù)產(chǎn)/-2x-2的圖象如圖,根據(jù)其中提供的信息，可求得使這1成立的X的取值范圍是

B.-3<r<lC.x>-3D.后-1或應(yīng)3

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：通過觀察圖象得到x=-l或x=3時(shí)，y=I；y21即二次函數(shù)圖象在直線y=l

上方，即可讀出其對應(yīng)的x的取值范圍.

觀察圖象得，x=-l或x=3時(shí)，y=l；

當(dāng)yil時(shí)，x的取值范圍是或X23.

故選D.

考點(diǎn)：本題考查了二次函數(shù)與沒有等式的關(guān)系

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是觀察二次函數(shù)的圖象，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)找出滿足函數(shù)值所對應(yīng)的

自變量的范圍.

10.若二次函數(shù)丁=辦2-2ax+c的圖象點(diǎn)（7,0）,則方程0?一2改+0=0的解為（）

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A.X）=-3,x2=-1B.$=1,x2=3C.X]=T,々=3D.x,=-3,

x?=1

【答案】C

【解析】

【詳解】?.,二次函數(shù)y=ax2-lax+c的圖象點(diǎn)（-1,0）,...方程ox?-2ax+c=0一定有一

個(gè)解為：x=-1,?拋物線的對稱軸為：直線x=l,...二次函數(shù)—2ax+c的圖象與x軸

的另■一個(gè)交點(diǎn)為：（3,0）,?..方程ax?—2ax+c=0的解為：玉=-1,々=3.

故選C.

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn).

二、填空題（本大題共8小題,每小題3分，共24分）

11.在Rt/UBC中，NC=90°/C=2/8=3,貝Utan4=.

【答案】正

2

【解析】

【詳解】試題解析：由勾股定理，得

BC=ylAB2-AC2=V32-22=V5，

.BCV5

??tan4=-----=-----.

AC2

故答案為

2

12.（cos300+sin45°）（sin600-cos450）=____.

【答案】-

4

【解析】

、羊俗漢】日而的垢盾波收1321

r【詳解】試題解析：原式=----1--3-x）-（-拒-------=———

\227\227\27,\2444

故答案為;.

點(diǎn)睛：把三角函數(shù)的值代入運(yùn)算即可.

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13.如圖是一張寬為m的矩形臺(tái)球桌ABCD一球從點(diǎn)M（點(diǎn)M在長邊CD上）出發(fā)沿虛線MN射

向邊8C,然后反彈到邊AB上的點(diǎn)〃如果MC=〃,NCNN=a,那么點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離為.

A

D

777-/7tanct

【答案】

tana

【詳解】試題解析：由題意知：ZNPB=ZNMC=a.

□△MNC中，MC=n,ZNMC=a,

/.NC=MC*tana=n*tana,

BN=BC-NC=m-n*tana.

RtZkBPN中，ZBPN=a,

BN

tana=-----

PB

APB-tana=BN,

m-ntana

PB=BN+tana=

tan。

考點(diǎn)：1.解直角三角形的應(yīng)用；2.軸對稱的性質(zhì).

14.函數(shù)y=x2+2x+l,當(dāng)y=0時(shí)，x=；當(dāng)l<x<2時(shí)，y隨x的增大而

（填寫“增大”或“減小”）

【答案】①.一1②.增大

【解析】

【分析】將y=0代入函數(shù)，求出一元二次方程的解；對于開口向上的函數(shù)，當(dāng)x>對稱軸時(shí)，y

隨x的增大而增大，當(dāng)x<對稱軸時(shí)，y隨x的增大而減小.

【詳解】解：當(dāng)y=0時(shí)，即/+2*+1=0,解得：x=-l：

根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)的對稱軸為直線x=-1,則當(dāng)l<x<2時(shí)，y隨x的增大而增大.

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故答案為：-1;增大.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形思想解題是關(guān)鍵.

15.如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時(shí)，拱頂(拱橋洞的點(diǎn))離水面2米,

水面下降1米時(shí)，水面的寬度增加了米.

------4-------?|

【答案】(2遍-4)

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=+2,代入A點(diǎn)坐標(biāo)(-2,0)解出拋物線解析

式，把y=-1代入拋物線解析式求得工=±指，即可得出水面的寬度增加的距離.

【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過縱軸V通過48中點(diǎn)O且通過。點(diǎn)，

則通過畫圖可得知。為原點(diǎn)，

拋物線以y軸為對稱軸，且48兩點(diǎn)，OZ和08可求出為Z8的一半2米，拋物線頂點(diǎn)C坐

標(biāo)為(0,2),

設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=4/+2,代入A點(diǎn)坐標(biāo)(—2,0),

得出：a--0.5,

所以拋物線解析式為y=-0.5/+2,

當(dāng)水面下降1米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)y=-l時(shí)，對應(yīng)的拋物線上兩點(diǎn)之間的距離，也就是直線y=-l與拋物線相交的兩點(diǎn)之間的

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距離，

可以通過把y=-1代入拋物線解析式得出：-1=-0,5/+2,

解得：x=±>/6>

所以水面寬度增加了(2&-4)米.

故答案為：(276-4)

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的實(shí)際應(yīng)用，掌握拋物線的圖象以及解析式是解題的關(guān)鍵.

16.已知二次函數(shù)j，=ax2?x+c的圖象點(diǎn)(-1,0),且。也c均為非零實(shí)數(shù)，則廠一++的值

b+cc+aa+b

【答案】-3

【解析】

【詳解】試題解析：,??拋物線歹=ox2_bx+c過點(diǎn)Gl,0),

-,-a+b+c=0.

b+c=-a,c+a=-b.a+b=-c,

b+cC+Qa+b

-a-b-c

=—1—1—1=-3.

故答案為-3.

17.若點(diǎn)P(l,a),Q(-l,b)都在拋物線y=-x2+l上,則線段PQ的長為.

【答案】2

【解析】

【分析】將點(diǎn)P(l,a)和。(T⑼分別代入y=f2+l,可求得。，b的值，從而求得線段尸。的

長.

【詳解】將點(diǎn)P(La)和0(-Lb)分別代入丫=——+],得：

a=-1+1=0，b=—1+1=0,

線段P0=1-(-1)=2.

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【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知系數(shù)

的方程.圖形更易解答.

18.一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)的高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系為

125

了=—-x2+-x+-,則這名男生這次推鉛球的成績是_____米.

1233—

【答案】10

【解析】

【分析】將＞=0代入解析式求x的值即可.

【詳解】解：?.?'=（）

0=--x2+—x+—

1233

（x+2）（x-10）=0

x+2=0,x—10=0

解得：x=-2（舍去），x=10

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于正確的解一元二次方程.所求值要滿足

實(shí)際.

三、解答題（本大題共6小題，共66分）

19.已知函數(shù)y=2x2+4x-3.

（1）通過配方，寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵分別求出拋物線與x軸、V軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】⑴對稱軸是直線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-工,-$）；（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)。的值可直接得到二次函數(shù)的開口方向，把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式

即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸；

（2）令二次函數(shù)中y=0求出對應(yīng)的X的值，可得到二次函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；令二次

函數(shù)中x=o求出對應(yīng)的y的值，可得到二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

試題解析：

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(I)v=2^+4.\>3=2(x2+2x)-3=2(x2+2x+1-1)-3=2(x+1)2-5.

拋物線開口向上,對稱軸是直線x=-l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-5).

⑵令y=0,得2%2+4x-3=0,解得.?+而2+叵

2

，拋物線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

令x=0,得產(chǎn)-3.

拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3).

20.下圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計(jì)的滑梯平面圖.已知BC=4mX8=6m,中間平臺(tái)寬度DE=\

m,ENJ)M,CB為三根垂直于AB的支柱，垂足分別為N,M,B/EAB=3\0,DFLBC于點(diǎn)

F,NCDF=45°,求0M和BC的水平距離BM的長度.(結(jié)果到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin31°~0.52,cos

31°=0.86,tan31°=0.60)

【解析】

【分析】設(shè)DF=x,在RtZSDFC中，可得CF=DF=x,則BF=4-x,根據(jù)線段的和差可得AN=5-x,

EN=DM=BF=4-X,在RtZ\ANE中，ZEAB=31°,利用NEAB的正切值解得x的值.

【詳解】解：設(shè)DF=x,在RtZ\DFC中，ZCDF=45°>

/.CF=tan45DF=^,

XVCB=4,

???BF=4—x,

VAB=6,DE=1,BM=DF=x,

???AN=5-%,EN=DM=BF=4—x,

在Rtz^ANE中，NEAB=3「，EN=4—x,AN=5一%,

iEN4-x

tan31=-----=--------

AN5-x

=0.60,

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解得X=2.5,

答：DM和BC的水平距離BM為2.5米.

考點(diǎn)：解直角三角形.

21.已知二次函數(shù)ynx'mx+n的圖象點(diǎn)P(-3,1),對稱軸是(-1,0)且平行于y軸的直線.

(1)求m、n的值；

(2)如圖，函數(shù)y=kx+b的圖象點(diǎn)P,與x軸相交于點(diǎn)A,與二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)B,點(diǎn)

【答案】(1)m=2,n=-2,(2)y=x+4；(3)x<-3或x>2

【解析】

【詳解】試題分析：(1)利用對稱軸公式求得加，把P(-3,l)代入二次函數(shù)卜=》2+如+〃進(jìn)

而就可求得〃；

(2)根據(jù)(1)得出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)已知條件，利用平行線分線段成比例定理求得B的

縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式中求得8的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法就可求得函數(shù)的表達(dá)式.

試題解析：(1)由題意得｛2'解得加=2,〃=一2.

9-3加+〃=1,

⑵如圖，分別過點(diǎn)P,B作x軸的垂線，垂足分別為CQ,則PC//BD,

/\APC^/\ABD,

.PC_4P

一而一而

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-PA:PB=T：5,PC=1,

11

~BD~6

60=6.

令x2+2x-2=6,

解得猶1=2m=-4（舍去）,

???點(diǎn)8坐標(biāo)為（2,6）,

-3k+Z?=1,左=L

解得

2k+b=6,Z?=4,

丁?函數(shù)的表達(dá)式為歹=x+4.

22.圖中是拋物線拱橋，尸處有一照明燈，水面。4寬4〃z,從0、/兩處觀測P處，仰角分別

為a、p,且tana=g,tan，=g,以。為原點(diǎn)，04所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）水面上升1加，水面寬多少m（1^取1.41,結(jié)果到0.1〃2）?

【答案】（1）點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,（2）2.8w.

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)P作尸于"，如圖，設(shè)尸”=3x,運(yùn)用三角函數(shù)可得077=6x,AH=2x,

根據(jù)條件。/=4可求出x,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若水面上升1加后到達(dá)5c位置，如圖，運(yùn)用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，然后求

出y=l時(shí)x的值，就可解決問題.

【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)P作PBJ_O4,垂足為8.設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,夕）.在RtdPOB中，

PB1

Vtanrz==——?

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tana

PB3

在Rt&APAB中，?.?taiM=—=-

AB2

PB2

JAB=---=-y.

tanp3

,/OA=OB+AB,

2

即2y+5y=%

.3

.?y=一.

’2

3

:.x=2x—=3.

2

3

，點(diǎn)、P的坐標(biāo)為(3,-).

3

(2)設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為歹="2+以，由函數(shù)圖象(4,0),(3,Q)兩點(diǎn)，可

16。+4b=0

得，3

9a+3h=-

2

-1

解得「二-5,

b=2

???這條拋物線表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=—g/+2x.當(dāng)水面上升1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)

為1，即一：/+2%=1,解得x】=2—X2=2+y/2?

?\X2-X\=2+^2—(2—y/2)=20=2.8.

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因此，若水面上升1加，則水面寬約2.8m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)、運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、解一元二次方程等知

識(shí)，出現(xiàn)角的度數(shù)（30。、45。或60。）或角的三角函數(shù)值，通常放到直角三角形中通過解直角三

角形來解決問題.

23.如圖，在水平地面點(diǎn)1處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，

在地面上落點(diǎn)為8,有人在直線上點(diǎn)C處（靠點(diǎn)B一側(cè)）豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶，試圖

讓網(wǎng)球落入桶內(nèi)，已知Z8=4m,4c=3m,網(wǎng)球飛行高度0A/=5m,圓柱形桶的直徑為0.5m,

高為0.3m（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略沒有計(jì)）

（1）如果豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí)，網(wǎng)球能沒有能落入桶內(nèi)？

（2）當(dāng)豎直擺放圓柱形桶多少個(gè)時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)？

【答案】（1）沒有能；（2）當(dāng)豎直擺放圓柱形桶8,9,10,11或12個(gè)時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)

【解析】

【詳解】解：（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）

M（0,5）,B（2,0）,C（1,0）,D（-,0）

2

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設(shè)拋物線的解析式為y=〃/+%,拋物線過點(diǎn)M和點(diǎn)B,則k=5,a=--.

5.

即拋物線解析式為y=-^x2+5.

15335

當(dāng)乂=時(shí)，y=—；當(dāng)*=一時(shí)，y=—?

4216

15335

即P(1,—),Q(-,—)在拋物線上.

4216

353

當(dāng)豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí)，桶高=一、5=一.

162

???:3<產(chǎn)15且3:<言35，?,?網(wǎng)球沒有能落入桶內(nèi).

24216

(2)設(shè)豎直擺放圓柱形桶m個(gè)時(shí)網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)，

上.辦353515