第1頁（共1頁）2021年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學一模試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，每個空格填對得分，否則一律得零分．1．（4分）已知集合，2，3，，，2，4，6，，則．2．（4分）函數(shù)的反函數(shù)是．3．（4分）行列式中，元素3的代數(shù)余子式的值為．4．（4分）已知復數(shù)滿足，則．5．（4分）圓錐底面半徑為，母線長為，則其側面展開圖扇形的圓心角．6．（4分）已知等差數(shù)列的首項，公差，其前項和為，則．7．（5分）我國南北朝數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設實數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和，，，，則是的更為精確的近似值．已知，試以上述的不足近似值和過剩近似值為依據(jù)，那么使用兩次“調(diào)日法”后可得的近似分數(shù)為．8．（5分）在二項式的展開式中的系數(shù)與常數(shù)項相等，則的值是．9．（5分）點是橢圓與雙曲線的一個交點，點，是橢圓的兩個焦點，則的值為．10．（5分）盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個大小、形狀、材質(zhì)均相同的小球，從隨機任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是（結果用最簡分數(shù)表示）11．（5分）記為數(shù)列在區(qū)間，中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前100項的和．12．（5分）已知向量的模長為1，平面向量，滿足：，，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．13．（5分）已知，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（5分）類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出空間中有下列結論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；③垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；④垂直于同一個平面的兩個平面互相平行．其中正確的是A．①② B．①④ C．②③ D．③④15．（5分）已知頂點在原點的銳角繞原點逆時針轉過后，終邊交單位圓于，，則的值為A． B． C． D．16．（5分）設函數(shù)，其中，是實數(shù)集的兩個非空子集，又規(guī)定，，，，則下列說法：（1）一定有；（2）若，則；（3）一定有；（4）若，則．其中正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（14分）如圖，長方體中，，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求異面直線與所成角的大?。?8．（14分）設函數(shù)，為常數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）設，，，為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．19．（14分）如圖，矩形是某個歷史文物展覽廳的俯視圖，點在上，在梯形區(qū)域內(nèi)部展示文物，是玻璃幕墻，游客只能在區(qū)域內(nèi)參觀．在上點處安裝一可旋轉的監(jiān)控攝像頭，為監(jiān)控角，其中、在線段（含端點）上，且點在點的右下方．經(jīng)測量得知：米，米，米，．記（弧度），監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域的面積為平方米．（1）分別求線段、關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；（2）求的最小值．20．（16分）已知動點到直線的距離比到點的距離大1．（1）求動點所在的曲線的方程；（2）已知點，、是曲線上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值；（3）已知點，、是曲線上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率之和為2，證明：直線過定點．21．（18分）若無窮數(shù)列和無窮數(shù)列滿足：存在正常數(shù)，使得對任意的，均有，則稱數(shù)列與具有關系（A）．（1）設無窮數(shù)列和均是等差數(shù)列，且，問：數(shù)列與是否具有關系（1）？說明理由；（2）設無窮數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，，證明：數(shù)列與具有關系（A）；并求的最小值；（3）設無窮數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，無窮數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，試求數(shù)列與具有關系（A）的充要條件．

2021年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，每個空格填對得分，否則一律得零分．1．（4分）已知集合，2，3，，，2，4，6，，則，．【解答】解：集合，2，3，，，2，4，6，，則，．故答案為：，．2．（4分）函數(shù)的反函數(shù)是．【解答】解：，，函數(shù)的反函數(shù)為．故答案為：．3．（4分）行列式中，元素3的代數(shù)余子式的值為．【解答】解：在行列式中，元素3在第一行第三列，那么化去第一行第三列得到3的代數(shù)余子式為，故答案為：．4．（4分）已知復數(shù)滿足，則2．【解答】解：因為復數(shù)滿足，所以，則，所以，可得．故答案為：2．5．（4分）圓錐底面半徑為，母線長為，則其側面展開圖扇形的圓心角．【解答】解：圓錐底面半徑為，母線長為，則它的側面展開圖扇形的圓心角所對的弧長為；所以扇形的圓心角為．故答案為：．6．（4分）已知等差數(shù)列的首項，公差，其前項和為，則4．【解答】解：因為等差數(shù)列的首項，公差，所以，．故．故極限為．故答案為：4．7．（5分）我國南北朝數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設實數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和，，，，則是的更為精確的近似值．已知，試以上述的不足近似值和過剩近似值為依據(jù)，那么使用兩次“調(diào)日法”后可得的近似分數(shù)為．【解答】解：根據(jù)經(jīng)過一次“調(diào)日法”可得的近似分數(shù)為，根據(jù)，經(jīng)過一次“調(diào)日法”可得的近似分數(shù)為，使用兩次“調(diào)日法”后可得的近似分數(shù)為．故答案為：．8．（5分）在二項式的展開式中的系數(shù)與常數(shù)項相等，則的值是．【解答】解：二項式的展開式的通項公式為，令，求得，故展開式中的系數(shù)為；令，求得，故展開式中的常數(shù)項為，由為，可得，故答案為：．9．（5分）點是橢圓與雙曲線的一個交點，點，是橢圓的兩個焦點，則的值為21．【解答】解：設橢圓與雙曲線在第一象限的交點為則，由橢圓與雙曲線的方程可得二者焦點相同，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得：，，兩式平方相減得：，故答案為：21．10．（5分）盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個大小、形狀、材質(zhì)均相同的小球，從隨機任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是（結果用最簡分數(shù)表示）【解答】解：盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個大小、形狀、材質(zhì)均相同的小球，從隨機任意取出兩個，基本事件總數(shù)，這兩個球的編號之積為偶數(shù)包含的基本事件個數(shù)：，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是．故答案為：．11．（5分）記為數(shù)列在區(qū)間，中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前100項的和284．【解答】解：對于區(qū)間，，，，可知：（1）當，2時，區(qū)間內(nèi)不含項，故，共2項；（2）當，4，5，時，區(qū)間內(nèi)含有一項，故，共6項；（3）當，10，11，時，區(qū)間內(nèi)含有，兩項，故，共18項；（4）當，28，29，，80時，區(qū)間內(nèi)含有，，三項，故，共54項；（5）當，82，83，，100時，區(qū)間內(nèi)含有3，，，四項，故，共20項．故．故答案為：284．12．（5分）已知向量的模長為1，平面向量，滿足：，，則的取值范圍是，．【解答】解：根據(jù)條件，不妨設，，，則由，，可得，，由柯西不等式，得，令，，，，，，，．故答案為：，．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．13．（5分）已知，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：由“”不能推出“”，如，則，；反之成立，由“”，兩邊平方，即得“”，“”是“”的必要而不充分條件，故選：．14．（5分）類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出空間中有下列結論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；③垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；④垂直于同一個平面的兩個平面互相平行．其中正確的是A．①② B．①④ C．②③ D．③④【解答】解：①垂直于同一條直線的兩條直線有三種位置關系，即平行、相交或異面，故①錯誤；②垂直于同一條直線的兩個平面的法向量共線，則兩平面互相平行，故②正確；③由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，垂直于同一個平面的兩條直線互相平行，故③正確；④垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故④錯誤．正確的結論是②③．故選：．15．（5分）已知頂點在原點的銳角繞原點逆時針轉過后，終邊交單位圓于，，則的值為A． B． C． D．【解答】解：頂點在原點的銳角繞原點逆時針轉過后，終邊交單位圓于，，，且，求得，則，，則，故選：．16．（5分）設函數(shù)，其中，是實數(shù)集的兩個非空子集，又規(guī)定，，，，則下列說法：（1）一定有；（2）若，則；（3）一定有；（4）若，則．其中正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由題意知，為分段函數(shù)中函數(shù)，的值域，為分段函數(shù)中函數(shù)，的值域．若的圖象如圖所示，則，，故（1）錯誤；，但，故（4）錯誤；對于分段函數(shù)，只有，時，滿足，，若，則，故（2）正確；分段函數(shù)不同段的定義域沒有公共部分，故一定有，故（3）正確．正確命題的個數(shù)是2個．故選：．三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（14分）如圖，長方體中，，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求異面直線與所成角的大?。窘獯稹浚?）證明：設和交于點，則為的中點．連結，又因為是的中點，所以．又因為平面，平面所以直線平面．（2）解：由（1）知，，所以即為異面直線與所成的角．因為，且，所以．又，，所以故異面直線與所成角的大小為．18．（14分）設函數(shù)，為常數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）設，，，為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由已知，．分即，分解得分（2）當，時，，分設，，，且，于是，．，，且，所以，所以，因此實數(shù)的取值范圍是，分19．（14分）如圖，矩形是某個歷史文物展覽廳的俯視圖，點在上，在梯形區(qū)域內(nèi)部展示文物，是玻璃幕墻，游客只能在區(qū)域內(nèi)參觀．在上點處安裝一可旋轉的監(jiān)控攝像頭，為監(jiān)控角，其中、在線段（含端點）上，且點在點的右下方．經(jīng)測量得知：米，米，米，．記（弧度），監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域的面積為平方米．（1）分別求線段、關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；（2）求的最小值．【解答】解：（1）在中，，，，，由正弦定理可得，同理，在中，，，與重合時，，與重合時，，即，，綜上所述，，；（2）當即時，取得最小值平方米．20．（16分）已知動點到直線的距離比到點的距離大1．（1）求動點所在的曲線的方程；（2）已知點，、是曲線上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值；（3）已知點，、是曲線上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率之和為2，證明：直線過定點．【解答】解：（1）動點到直線的距離比到點的距離大1，等價于動點到直線的距離和到點的距離相等，由拋物線的定義可得，曲線的方程為；證明：（2）設直線的斜率為，由直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，得直線的斜率為，則：，，聯(lián)立，得．結合根與系數(shù)的關系，可得，；聯(lián)立，得，結合根與系數(shù)的關系，可得，．，即直線的斜率為定值；證明：（3）設直線的斜率為，則直線的斜率為，由（2）可知，，；所在直線方程為，聯(lián)立，得，解得，．，所在直線方程為，整理得，直線過定點．21．（18分）若無窮數(shù)列和無窮數(shù)列滿足：存在正常數(shù)，使得對任意的，均有，則稱數(shù)列與具有關系（A）．（1）設無窮數(shù)列和均是等差數(shù)列，且，問：數(shù)列與是否具有關系（1）？說明理由；（2）設無窮數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，，證明：數(shù)列與具有關系（A）；并求的最小值；（3）設無窮數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，無窮數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，試求數(shù)列與具有關系（A）的充要條件．【解答】解：（1）因為，若數(shù)列與具有關系（1），則對任意的，均有，即，亦即，但時，，所以數(shù)列與不具有關系（1），（2）證明：因為無窮數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，因為，所以，所以，所以數(shù)列與具有關系（A）．設的最小值為，，因為，所以．若，則當時，，則，這與“對任意的，均有”矛盾，所以，即的最小值為1．（3）因為數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，無窮數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以，設，則．數(shù)列與具有關系（A），即存在正常數(shù)，使得對任意的，均有．（Ⅰ）當，時，，取，則，數(shù)列與具有關系（A）（Ⅱ）當，時，假設數(shù)列與具有關系（A），則存在正常數(shù)，使得對任意的，均有．因為，所以，對任意的，，即，，所以，