八年級初二數學第二學期平行四邊形單元自檢題檢測試卷

一、選擇題

1.如圖，菱形ABC。的邊長為4,NA=60,￡是邊AO的中點，尸是邊A8上的一個動

點，將線段EF繞著E逆時針旋轉60，得到EG,連接EG、CG,則6G+CG的最小

A.36B.2幣C.D.2+26

2.如圖，將矩形ABC。沿￡尸折疊后點。與B重合.若原矩形的長寬之比為3:1,則一

BF

的值為（）

34

C.一D.-

45

3.如圖，點E是矩形ABCD的邊AB的中點，點F是邊CD上一點，連接ED,EF,ED平分

A3

ZAEF,過點D作DGLEF于點M,交BC于點G,連接GE,GF,若FG〃DE,則r的值

AD

是（）

A.斗B.—C.V2D.73

22

4.如圖：點E、F為線段BD的兩個三等分點，四邊形AECF是菱形，且菱形AECF的周長

為20,BD為24,則四邊形ABCD的面積為（）

A.24B.36C.72D.144

5.如圖，四邊形ABCD是正方形，直線Li、L2、L3,若LI與L2的距離為5,Lz與L3的距離

7,則正方形ABCD的面積等于（）

C.144D.148

6.已知，在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點片在y軸

上，點G、耳、&、G、鳥、&、均在x軸正半軸上，若己知正方形ABIGR的

邊長為1,/耳。。=60°,且4G//S2c2〃員。3,則點A,的坐標是（)

A."不）B.智C.向看筌"書

7.如圖，在ABC中，AB=AC=6,/8=45。，。是BC上一個動點，連接AD,以AD為邊

向右側作等腰ADE,其中AD=AE,/ADE=45°,連接CE.在點。從點B向點C運動過程

中，△CDE周長的最小值是（）

A.6夜B.6a+6

C.9亞D.9直+6

8.矩形紙片ABCD中，AB=5,AD=4,將紙片折疊，使點B落在邊CD上的點3'處，折

痕為AE.延長8E交AB的延長線于點M,折痕AE上有點P,下列結論中：

①NM=NOA8'；?PB=PB'③AE=述：④MB'=CD；⑤若B'P，C￡>,則

2

EB'=B'P.正確的有（）個

A.2B.3C.4D.5

9.如圖，矩形ABCD和矩形CEFG,A8=l,BC=CG=2,CE=4,點P在邊GF上，點Q在

邊CE上，且PF=CQ,連結AC和PQ,M,N分別是AC,PQ的中點，則MN的長為

()

10.如圖，在平行四邊形43co中，對角線AC,8。交于點。，BO=2A￡>,點E,

F,G分別是。A,OB,CO的中點，EG交FD于點、H,下列4個結論中說法正確的

有()

①EDJ.CA；②EF=EG；③FH=；FD；?1.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，NA=30°,A￡>=2j§,BD=2，則平行四邊形ABCD的面積

等于.

12.己知：點B是線段AC上一點，分別以AB,BC為邊在AC的同側作等邊△A3。和等

邊BCE,點M,N分別是AD,CE的中點，連接MN.若AC=6,設BC=2,則線段MN的

長是

E

M

N

13.如圖所示，菱形A8CD,在邊AB上有一動點E,過菱形對角線交點。作射線E。與CD

邊交于點F,線段EF的垂直平分線分別交BC、AD邊于點G、H,得到四邊形EGF”，點E

在運動過程中，有如下結論：

①可以得到無數個平行四邊形EGFH；

②可以得到無數個矩形EGFH：

③可以得到無數個菱形EGFH：

④至少得到一個正方形EGFH.

所有正確結論的序號是_.

14.如圖，在等邊A3C和等邊DEP中，E。在直線AC上，3C=3OE=3,連接

BD,BE,則BD+BE的最小值是.

BC

15.如圖，正方形ABCD的邊長為6,點E、F分別在邊AD、8c上.將該紙片沿EF折疊，

使點A的對應點G落在邊DC上，折痕EF與AG交于點Q,點K為GH的中點，則隨著折

痕EF位置的變化，4GQK周長的最小值為一.

16.如圖，在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=S,AC=6,以BC為一邊作正方形BDEC設

正方形的對稱中心為。，連接A。，則4。=.

17.如圖，在正方形ABCD中，AC=6a,點E在AC上，以AD為對角線的所有平行四邊

形AEDF中，EF最小的值是.

18.如圖，已知在aABC中，AB=AC=13,BC=10,點M是AC邊上任意一點，連接MB,以

MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

19.定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即：如圖1,在RtAABC中，ZACB

=90。，若點。是斜邊A8的中點，則CD=，AB,運用：如圖2,ZkABC中，ZBAC=90°,

2

48=2,AC=3,點。是BC的中點，將“BD沿AD翻折得到AAED連接8E,CE,DE,則

CE的長為.

A

20.如圖，有一張長方形紙片ABC。，AB=4,AD=3.先將長方形紙片ABC。折

疊，使邊AD落在邊A8上，點。落在點￡處，折痕為AF：再將A4EF沿EF翻折，

AF與BC相交于點G,則FG的長為.

BE(D)BE(D)B

三、解答題

21.如圖，A48c是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊的中點，旦尸分別是

ABAC邊上的點，且0E10F,若BE=12,CF=5,求線段EF的長.

22.如圖1,AABC是以NACB為直角的直角三角形，分別以A3,BC為邊向外作正方

形ABFG,BCED,AD,CF,AO與CF交于點A3與CF交于點N.

(1)求證：=\FBC；

(2)如圖2,在圖1基礎上連接A尸和尸。，若AO=6,求四邊形ACOF的面積.

23.在一次數學探究活動中，小明對對角線互相垂直的四邊形進行了探究，得出了如下結

論：如圖1,四邊形ABC。的對角線AC與8。相交于點0,ACL8。，則

112

AB'+CD=AD+BC.

(1)請幫助小明證明這一結論；

(2)根據小明的探究，老師又給出了如下的問題：如圖2,分別以RfAC8的直角邊

AC和斜邊AB為邊向外作正ACFG和正方形ABOE,連結CE、BG、GE.己知

AC=4,AB=5,求GE的長，請你幫助小明解決這一問題.

24.如圖，在平行四邊形ABCD中，ABJ_AC,對角線AC,BD相交于點。，將直線AC繞點

。順時針旋轉一個角度a（0。＜必90。），分別交線段BC,AD于點E,F,連接BF.

（2）如圖2,當旋轉至90。時，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結論；

（3）若AB=LBC=JL且BF=DF,求旋轉角度a的大小.

25.如圖，ABC是等腰直角三角形，NACB=90。,分別以AB,AC為直角邊向外作等

腰直角AABD和等腰直角NACE,G為BD的中點，連接CG,BE,CD,BE與CD交于點

（1）證明：四邊形ACG。是平行四邊形；

（2）線段BE和線段C。有什么數量關系，請說明理由；

（3）已知Benji,求EF的長度（結果用含根號的式子表示）.

26.如圖1,在矩形紙片ABCD中，A8=3cm,AD=5cm,折疊紙片使8點落在邊AD上的

E處，折痕為PQ,過點E作EF〃AB交PQ于F,連接BF.

（1）求證：四邊形BFEP為菱形；

（2）當E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨著移動.

①當點Q與點C重合時，（如圖2）,求菱形BFEP的邊長；

②如果限定P、Q分別在線段加、BC上移動，直接寫出菱形BFEP面積的變化范圍.

27.共頂點的正方形ABC。與正方形AEFG中，AB=13,AE=5近?

(1)如圖1,求證：DG=BE；

(2)如圖2,連結BF,以BF、BC為一組鄰邊作平行四邊形8CHF.

①連結8H,BG,求也的值；

BG

②當四邊形BC”F為菱形時，直接寫出8"的長.

圖1圖2備用圖

28.感知：如圖①，在正方形A8CO中，E是AB一點"尸是AO延長線上一點，且

DF=BE,求證：CE=CF；

拓展：在圖①中，若G在AO,且NGCE=45°,則GE=BE+G。成立嗎？為什么？

運用：如圖②在四邊形ABCO中，AD//BC(BOAD),ZA=ZB=90°,

AB=BC=16,E是A8上一點，且/。CE=45。，BE=4,求OE的長.

圖①圖②

29.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中點，P以每秒1個單位長

度的速度從A向D運動，到D點后停止運動；Q沿著Af8—C-。路徑以每秒3個

單位長度的速度運動，到D點后停止運動.已知動點P,Q同時出發(fā)，當其中一點停止

后，另一點也停止運動.設運動時間為t秒，問：

(1)經過幾秒，以A,Q,F,P為頂點的四邊形是平行四邊形

(2)經過幾秒，以A,Q,F,P為頂點的四邊形的面積是平行四邊形ABCD面積的一

半？

BFC

30.在邊長為5的正方形ABCD中，點E在邊CD所在直線上，連接BE,以BE為邊，在

BE的下方作正方形BEFG,并連接AG.

(1)如圖1,當點E與點D重合時，AG=

(2)如圖2,當點E在線段CD上時，DE=2,求AG的長；

(3)若AG=MI,請直接寫出此時DE的長.

2

【參考答案】***試卷處理標記，請不耍刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

取AB與CD的中點M,N,連接MN,作點B關于MN的對稱點E,連接FC,E'B,此時

CE的長就是GB+GC的最小值；先證明E點與E，點重合，再在RtAEBC中，EB=2框,

BC=4,求EC的長.

【詳解】

取AB與CD的中點M,N,連接MN,作點B關于MN的對稱點F,連接FC,E'B

此時CE的長就是GB+GC的最小值;

VMN/7AD,

1

；.HM=-AE,

2

VHB±HM,AB=4,NA=60°,

，MB=2,NHMB=60",

；.AE'=2,

，E點與E，點重合，

VZAEB=ZMHB=90%

；./CBE=90°,

在RtAEBC中，EB=26,BC=4,

/?EC=2幣,

故選A.

【點睛】

本題考查菱形的性質，直角三角形的性質；確定G點的運動軌跡，是找到對稱軸的關鍵.

2.D

解析：D

【分析】

根據折疊的性質得到ED'=BE,ND'EF=NBEF,根據平行線的性質得到ND'EF=

ZEFB,求得BE=BF,設AD'=BC'=3x,AB=x,根據勾股定理得到BE=x,于是得

3

到結論.

【詳解】

如圖，將矩形ABCD沿EF折疊后點D與B重合，

，ED'=BE,ND'EF=ZBEF,

VADZ〃BC',

：.ZD'EF=/EFB,

AZBEF=ZEFB,

；.BE=BF,

?.?原矩形的長寬之比為3：1,

.,.設AD'=BC'=3x,AB=x,

.,.AE=3x-ED,=3x-BE,

VAE2+AB2=BE2,

(3x-BE)2+X2=BE2,

解得：BE=-x,

3

54

.,.BF=BE=-x,AE=3x-BE=-x

33

4

"BF5一二’

—X

故選：D.

【點睛】

本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，

熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.

3.C

解析：c

【分析】

由題意得4AED四△MED、Z\BEG絲△MEG、AMGF^ACGF,設CG=X,用含x的式子表示

AD=2x,AB=20X，即可得出?■=封至=夜

AD2x

【詳解】

VED平分NAEF

AZAED=ZDEM

在矩形ABCD中，ZA=ZB=ZBCD=90°

VDG±EF

/.ZDME=ZEMG=ZGMF=90°

/.ZA=ZDME=90°

VDE=DE

.,.△AED^AMED

AME=AE

??,點E是矩形ABCD的邊AB的中點

AAE=BE

AME=BE

VZEMC=ZB=90°,EG=EG

RtABEG^RtAMEG

VAD/7BC

AZADG=ZCGD

VED/7GF

AZEDM=ZFGM

AZADE=ZCGF

AZCGF=ZFGM

AAMGF^ACGF

???MG=CG=BG

設CG=x

?.BC=2x

；.AD=DM=2x

ADG=3x

根據勾股定理可得

CD=2足

AB=2A/2X

.AB_2夜x_近

*'AD_2X

故選：c

【點睛】

本題考查了矩形的性質和全等三角形的判定和性質、勾股定理，掌握和全等三角形的判定

和性質、勾股定理是解題的關鍵.

4.C

解析：C

【分析】

根據菱形的對角線互相垂直平分可得ACJ_BD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,證明

四邊形ABCD是菱形，根據菱形的四條邊都相等求出邊長AE,根據菱形的對角線互相平分

求出0E,然后利用勾股定理列式求出A0,再求出AC,最后根據四邊形的面積等于對角線

乘積的一半列式計算即可得解.

【詳解】

?.?四邊形AECF是菱形，

/.AC1BD,AO=OC,EO=OF,

又?.?點E、F為線段BD的兩個三等分點，

；.BE=FD,

.*.BO=OD,

VAO=OC,

四邊形ABCD為平行四邊形，

VAC1BD,

四邊形ABCD為菱形；

?.?四邊形AECF為菱形，且周長為20,

，AE=5,

VBD=24,點E、F為線段BD的兩個三等分點,

11

AEF=8,OE=-EF=-x8=4,

22

22=

由勾股定理得，A0=Y/AE-OEA/52-42=3,

??.AC=2AO=2x3=6,

.11

S四邊形ABCD=-BD?AC=-x24x6=72；

22

故選：c.

【點睛】

本題考查了菱形的判定與性質，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質，勾股定理

以及利用菱形對角線求面積的方法，熟記菱形的性質與判定方法是解題的關鍵.

5.B

解析：B

【分析】

先作出4與，2，與的4距離AE、CF,證明4ABE絲4BCF,得至I]BF=AE,再利用勾股

定理即可得到答案.

【詳解】

過點A作AEJj?，過點C作CF1.4，

NAEB=NCFB=90°,

.".ZABE+ZBAE=90",

:四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC,/ABC=90°,

AZABE+ZCBF=90°,

AZBAE=ZCBF,

在4ABE和ABCF中，

NBAE=NCBF

<NAEB=NBFC,

AB=BC

.,.△ABE^ABCF,

；.BF=AE=5,

在RtZXBCF中,CF=7,BF=5,

，BC2=BF2+CF~=52+72=74,

正方形ABCD的面積=BC2=74,

故選：B.

<B

11

【點睛】

此題考查正方形的性質，三角形全等的判定及性質定理，平行線之間的距離處處相等，題

中證明兩個三角形全等是解題的關鍵，由此將兩個距離5和7變化到一個直角三角形中，

由此利用勾股定理解決問題.

6.C

解析：c

【分析】

根據兩直線平行，同位角相等可得/B3c3O=/B2c2O=/BCQ=60。，然后利用三角形全等

可得B2E2=E|E2=D|E1=E3c2，E2C2=E3E4=B3E4，解直角三角形求出0C|、GE、E1E2、

E2c2、C正3、E3E4、E4c3，再求出B3c3,過點A3延長正方形的邊交X軸于M,過點A3作

A3NJ_x軸于N,先求出A3M,再解直角三角形求出A3N、C3N,然后求出ON,再根據點

A3在第一象限寫出坐標即可.

【詳解】

解82c2〃B3c3，

2c2。=/8《|060°,

;正方形A1B1CQ1的邊長為1,B|C|=C|D1，NB|C1D|=9O°,

.,.ZC|B|O=ZD|C,E1=30°,

.".△CIBIO^ADIC^I；

B|O=CiE]90c尸D[E],

同理可得B2E2二E1E2二D|Ei=E3c2；E2c2=E3E4二B3E4；

?1?oci==E[E2=B2E2=C2E3=l

C]R=今DG=與xi=今

口「k萬DJ7CR口166

E2C2=E3E4=B3E4=—B2E2=-X—=—

3230

口「—道R口V3_1

EACT.=—B3E4=—x—=一

43334636

B3c3—2E4c3=2x—=—

63

過點4延長正方形的邊交x軸于M過點43作4乂，不軸于N,

y

則A.M=4U+—CQ,=與仁+—BG=-+-x—=土正

3333339

AZV3...3+V3GG+i

A“N=——A,M=-----x——=-----

’2'926

「八/1.A/3+613+6

C.M=-A,M=-----x—=------

3239218

.「z_口;.3+6_6-1

..C&N—EAM-C、M=一x—x2-------=------

343(33J186

ON—OC[+￡E[+E]E)+E2c2+C2￡^++C3N

,?,點心在第一象限，

二點43的坐標是V3-j.

故選C.

【點睛】

本題考查正方形的性質，坐標與圖形性質，全等三角形的判定與性質，30°角的直角三角

形.熟練掌握有30°角的直角三角形各邊之間的數量關系是解決本題的關鍵.

7.B

解析：B

【分析】

如圖（見解析），先根據等腰直角三角形的判定與性質可得

4B4C=NZXE=90°,3c=6，5,OE=,再根據三角形全等的判定定理與性質

可得BD=CE,從而可得△CDE周長為5C+J5A。，然后根據垂線段最短可求出AD

的最小值，由此即可得.

【詳解】

在A3C中，AB=AC=6,ZB=45°,

ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BC=4AB2+AC2=6A/2-

在AOE中，AD=AE,ZADE=45°,

，VAOE是等腰直角三角形，ZDAE=90°,DE=y]AD2+AE2=V2AD>

/BAD+ACAD=NC4E+NC4。=90°,

ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在△AB。和△ACE中，■ZBAD=Z.CAE,

AD=AE

ABD=ACE（SAS）,

BD=CE,

CDE周長為CD+CE+DE=CD+BD+DE=BC+DE=6母+丘AD>

則當AD取得最小值時，△COE的周長最小，

由垂線段最短可知，當AD18C時，AD取得最小值，

AO是BC邊上的中線（等腰三角形的三線合一），

AD=-BC=3y/2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

2

COE周長的最小值為6出+0x3出=6&+6，

故選：B.

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線、三角形全等的判定

定理與性質、垂線段最短等知識點，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵.

8.C

解析：c

【分析】

①由翻折知NABE=NAB'E=90L再證NM=NCB，E=NBAD即可；②借助軸對稱可知；③利

用計算，勾股定理求&D,構造方程，求EB,在構造勾股定理求MB，=秘；④由相似

2

CB'：BM=CE：BE,BM=—,在計算B'M>5；⑤證"EG四得BE=B'P,再證菱形即

3

可.

【詳解】

①由折疊性質知NABE=NAB'E=90。，

CBfD

/.ZCB'E+ZAB'D=905

VZD=905

.*.ZB'AD+ZAB'D=902

.*.ZCB'E=ZB'AD,

VCD//MB,

.?.ZM=ZCB'E=ZB'AD；

②點P在對稱軸上，則B'P=BP；

③由翻折，AB=AB'=5,AD=4,

由勾股定理DBT,

/.CB'=5-3=2,

設BE=x=B'E,CE=4-x,

在Rt^B'CE中，ZC=90°,

由勾股定理(4-x)2+22=X2,

解得x=Z

2

④由BM〃CB，

.,.△ECB,s^EBM,

ACB'：BM=CE：BE,

10

；.BM=—,

3

則+42=y>5=CD；

⑤連接BB',由對稱性可知，BG=B'G,EP_LBB',

BE〃B'P,

，BE=B'P,

...四邊形BPB乍為平行四邊形，

又BE=EB',

所以四邊形BPB(E是菱形，

所以PB'=B'E.

故選擇：C.

【點睛】

此題考查了矩形的性質、圖形的翻折變換以及相似三角形的性質等知識的應用，此題的關

鍵是能夠發(fā)現△BEGgZ^B'PG.

9.C

解析：C

【分析】

連接CF,交PQ于R,延長AD交EF于H,連接AF,則四邊形ABEH是矩形，求出FH=

1,AF=y/AH2+FH2=V37-由ASA證得△RFP^^RCQ,得出RP=RQ，則點R與點M

重合，得出MN是ACAF的中位線，即可得出結果.

【詳解】

解：連接CF,交PQ于R,延長AD交EF于H,連接AF,如圖所示：

則四邊形ABEH是矩形，

.*.HE=AB=1,AH=BE=BC+CE=2+4=6,

?四邊形CEFG是矩形，

FG//CE,EF=CG=2,

...NRFP=NRCQ,NRPF=NRQC,FH=EF-HE=2-1=1,

在RMAHF中，由勾股定理得：AF=y/AH2+FH2==737)

ZRFP=RCQ

在ARFP和ARCQ中，<「尸=。。，

NRPF=RQC

.?.△RFP絲△RCQ(ASA),

；.RP=RQ,

.,.點R與點M重合，

:點N是AC的中點，

AMN是ACAF的中位線，

.,.MN=J-AF=-xV37

222

【點睛】

本題考查了矩形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、三

角形中位線定理等知識；作輔助線構建全等三角形是解題的關鍵.

10.B

解析：B

【分析】

由等腰三角形“三線合一”得ED_LCA,根據三角形中位線定理可得EF=1AB；由直角三角

形斜邊上中線等于斜邊一半可得EG=』CD,即可得EF=EG；連接FG,可證四邊形DEFG是

2

平行四邊形，即可得FH=gFD,由三角形中位線定理可證得%OEF=5SAAOB，進而可得

24

311z_

SAEFD=SAOEF+SAODE=_SC，ABCD>而SAACD=：TSOABCD，推出SAEFD#^SAACD，即可得出結論.

1622

【詳解】

連接FG,如圖所示:

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

OA=OC,OB=OD,AD=BC,AD〃BC,AB=CD,AB〃CD,

VBD=2AD,

.\OD=AD,

?.,點E為0A中點，

AEDICA,故①正確；

；E、F、G分別是OA、OB、CD的中點,

1

，EF〃AB,EF=-AB,

2

,/ZCED=90°,G是CD的中點,

1

.".EG=—CD,

2

，EF=EG,故②正確；

：EF〃AB,AB〃CD,

；.EF〃CD,EF=EG=DG,

，四邊形DEFG是平行四邊形，

/.FH=DH,

即FH=』FD,故③正確；

2

,.,△OEF^AOAB,

.1

SAOEF=_SAAOB>

4

..11

SAAOB=S&AOD=TS?ABCD，SAACD=-S，ABCD>

42

.1

??SAOEF=_SCABCD，

16

VAE=OE,

.11

SODE=—SAAOD=-S，ABCD>

&28

.11_3

??SAEFD=SAOEF+SAODE=-S“ABCD+-S,ABCD=~S-ABCD，

SziEFD—SAACD>故④錯誤；

2

綜上，①②③正確；

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行四邊形性質和判定，三角形中位線定理，三角形面積，直角三角形斜邊上

中線性質，等腰三角形性質等知識；熟練運用三角形中位線定理、等腰三角形的性質是解

題關鍵.

二、填空題

11.4G或2g

【分析】

分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據平行四邊

形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

解：過。作。EJ_至于E,

在R3AOE中,ZA=30°,AD=2百，

；.DE=LAD=M,AE=—AD=3,

22

在RtZ\3￡>E中,BD=2,

BE=4BDr-DE1=q展-(向=1，

AB=4,

二平行四邊形ABCD的面積=ABDE=4x￡=4超,

如圖2,

AB=2,

平行四邊形ABCD的面積=ABDE=2x楞=2拒，

圖3

在Rtz\A8E中，設AE=x,則。E=20-x，

NA=30。，—

3

在中，BD=2,

22=+(2\/3—x)->

:.x=5x=2y/3（不合題意舍去），

BE=\,

A平行四邊形ABCD的面積=ADBE①x2也=20，

當AO_LBO時，平行四邊形A8CD的面積=AO30=46，

故答案為：46或2G.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質，平行四邊形的面積公式的運用、30度角的直角三角形的性

質，根據題意作出圖形是解題的關鍵.

12.V21

【分析】

如圖（見解析），先根據等邊三角形的性質、平行四邊形的判定與性質可得

MEHAB,ME=A8=4,再根據平行線的性質可得NFEM=ZC=60°,然后利用直角

三角形的性質、勾股定理可得防=2,怵=2g,從而可得FN=3,最后在RfFMN

中，利用勾股定理即可得.

【詳解】

如圖，連接ME,過點M作交CE延長線于點F,

△ABD和BCE都是等邊三角形，BC=2,

:.ZA=NCBE=NC=60。,BE=CE=BC=2,AD=AB,

：.AD//BE,

AC—6,

AO=A8=6—2=4,

點M,N分別是AD,CE的中點，

AM=!A0=2,EN=」CE=1,

22

AM=BE,

...四邊形ABEM是平行四邊形，

:.MEHAB,ME=AB=A,

NFEM=NC=60°,

在RtAEFM中，NEMF=90°-60°=30°,

EF=LME=2,MF=y]ME2-EF~=273,

2

:.FN=EN+EF=1+2=3,

則在RrFMN中,MN=dFN?+MF?=舟+（2折?=后,

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質、勾股定理、平行四邊形的判定與性質、直角三角形的性質

等知識點，通過作輔助線，構造直角三角形和平行四邊形是解題關鍵.

13.①③④

【分析】

由“A4S”可證△AOE絲△COF,△AH。絲ZkCG。，可得。E=OF,HO=GO,可證四邊形EGFH

是平行四邊形，由EF_LGH,可得四邊形EGF”是菱形，可判斷①③正確，若四邊形A8CD

是正方形，由“ASA”可證△80G名△COF,可得。G=OF,可證四邊形EGF”是正方形，可

判斷④正確，即可求解.

【詳解】

解：如圖，

???四邊形A8CD是菱形，

：.AO=CO,AD//BC,AB//CD,

ZBAO=ZDCO,NAEO=NCF。,

.?.△AO&ZXCOF(AAS),

OE=OF,

???線段EF的垂直平分線分別交8C、AD邊于點G、H,

過點。，GHLEF,

'：AD//BC,

：.ZDAO=ZBCO,ZAHO=ZCGO,

：.A-AHO^ACGO(AAS),

HO=GO,

，四邊形EGFH是平行四邊形，

；EFLGH,

四邊形EGFH是菱形，

,點E是AB上的一個動點，

隨著點E的移動可以得到無數個平行四邊形EGFH,

隨著點E的移動可以得到無數個菱形EGFH,

故①③正確；

若四邊形A8CD是正方形，

AZBOC=90°,ZGBO=ZFCO=45°,OB=OC；

"：EFLGH,

：.ZGOF=90°；

/BOG+NBOF=NCOF+NBOF=90°,

；.NBOG=NCOF；

在ABOG和△COF中，

ZBOG=NCOF

\BO=CO,

ZGBO=ZFCO

：./\BOG^^COF(ASA)；

：.OG=OF,

同理可得：EO=OH,

：.GH=EF；

...四邊形EGFH是正方形，

:點E是AB上的一個動點，

至少得到一個正方形EGFH,故④正確,

故答案為：①③④.

【點睛】

本題考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和

性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是關鍵.

14.后

【分析】

如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點B關于直線AC的對稱點W,連接TW,

DW,過點W作WK1BC交BC的延長線于K.證明BE=DT,BD=DW,把問題轉化為求

DT+DW的最小值.

【詳解】

解：如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點B關于直線AC的對稱點W,連接

TW,DW,過點W作WK_LBC交BC的延長線于K.

VAABC,Z\DEF都是等邊三角形，BC=3DE=3,

ABC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60°,

ADE/ZTC,

VDE=BT=1,

???四邊形DEBT是平行四邊形，

ABE=DT,

ABD+BE=BD+AD,

VB,W關于直線AC對稱，

/.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

.\ZWCK=60o,

VWK±CK,

.\ZK=90°,ZCWK=30°,

133J3

???CK=—CW—,WK=Vr3CK=ry±,

22r2

311

ATK=l+3+-=—,

ADB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

.\BD+BE>737，

???BD+BE的最小值為歷，

故答案為后.

【點睛】

本題考查軸對稱-最短問題，等邊三角形的性質，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質

等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

15.3+36

【分析】

取AB的中點M,連接DQ,Q.M,DM.證明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解決問題.

【詳解】

取AB的中點/W,連接DQ,QM,DM.

,四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB=6,NOAM=NADG=90",

；A/W=8M=3,

DM=\[AB^AM^-[?+32=3逐，

,:GK=HK,AB,GH關于EF對稱，

AQM=QK,

VZADG=90°,AQ=QG,

：.DQ=AQ=QG,

；△QGK的周長=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.

又：DQ+QMNDM,

：.DQ+QM23逐，

△QGK的周長的最小值為3+3加,

故答案為3+3y/5.

【點睛】

本題考查了折疊的性質、正方形的性質、勾股定理、最值問題，解題的關鍵是取AB的中

點M,確定QG+QK=QD+QM,屬于中考?？碱}型.

16-7&；

【分析】

連接A。、B。、CO,過。作FOJ_AO,交AB的延長線于F,判定△AOCg^FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,進而得到AF=8+6=14,NFAO=45°,根據AO=AFxcos45°進行計

算即可.

【詳解】

解：連接A。、B。、CO,過。作FO_LA。，交AB的延長線于F,

V0是正方形DBCE的對稱中心,

.".BO=CO,ZBOC=90°,

VFO1AO,

ZAOF=90°,

，/BOC=NAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

AZAOC=ZFBO,

VZBAC=90°,

.?.在四邊形ABOC中，ZACO+ZABO=180",

VZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在AAOC和△FOB中，

NAOC=/FOB

<AO=FO,

ZACO=NFBO

.".△AOC^AFOB(ASA),

.\AO=FO,FB=FC=6,

；.AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45",

AO=AFxcos450=14x受=［叵.

2

故答案為7夜.

【點睛】

本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質.本題的關鍵是通過作輔助線來構建

全等三角形，然后將已知和所求線段轉化到直角三角形中進行計算.

17.3亞

【詳解】

解析：?.?在正方形ABCD中，AC=6收，

；.AB=AD=BC=DC=6,ZEAD=45°

設EF與AD交點為0,。是AD的中點，

.,.A0=3

以AD為對角線的所有。AEDF中，當EF_LAC時，EF最小，

即aAOE是直角三角形，

：NAEO=90。，NEAD=45。，0E=—OA=^/1,

22

；.EF=2OE=3也

【分析】

設MN與BC交于點。,連接A。，過點。作。于H點，根據等腰三角形的性質和勾

股定理可求A。和。H長，若MN最小,則M。最小即可，而。點到AC的最短距離為

長，所以MN最小值是20H.

【詳解】

解：設MN與8c交于點。，連接A。，過點。作。HLAC于"點,

?.?四邊形MCNB是平行四邊形,

二。為8c中點，MN=2MO.

"：AB=AC=13,BC=10,

：.AOLBC.

在RtZXAOC中，利用勾股定理可得

AO=VAC2-co2=Vi32-52=12?

利用面積法：AOXCO=ACXOH,

即12X5=13X0”,解得0H=”.

13

當M。最小時，則MN就最小，。點到AC的最短距離為?！伴L,

所以當M點與〃點重合時，M。最小值為。H長是2.

,120

所以此時MN最小值為2OH=---.

13

工/-、，120

故答案為：——.

13

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質，解題的

關鍵是分析出點到某線段的垂線段最短，由此進行轉化線段,動中找靜.

19.運

13

【分析】

根據L?8GAH=』可得根據，AD?BO=

-BD?AH,得。8=

221322

兇3,再根據8￡=2。8=呸叵，運用勾股定理可得EC.

1313

【詳解】

設BE交AD于O,作AH_LBC于從

在RMA8c中，/8AC=90°,A8=2,AC=3,

由勾股定理得：BC=V13-

;點。是BC的中點，

/?AD—DC=DB='13,

2

11

-?BC^AH=—?AB?AC,

22

?■-6屈

??r\i-i

13

"：AE=AB,DE=DB,

.?.點A在8E的垂直平分線上，點。在BE的垂直平分線上,

：.AD垂直平分線段BE,

11

,/一AD?BO=-BD,AH,

22

?OR-6而

13

.c-_12V13

>?BE-2.0B----------,

13

DE=DB=CD,

AZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,

1

.".ZDEB+ZDEC=-X180°=90°,B|J：NBEC=90°,

2

.?.在Rt"CE中，EC=1BC?-BE?

I1J，J

故答案為：生叵.

13

【點睛】

本題主要考查宜角三角形的性質，勾股定理以及翻折的性質，掌握“直角三角形斜邊長的

中線等于斜邊的一半”以及面積法求三角形的高，是解題的關鍵.

20.0

【解析】

【分析】

根據折疊的性質可得NDAF=/BAF=45。，再由矩形性質可得FC=ED=1,然后由勾股定理求出

FG即可.

【詳解】

由折疊的性質可知，ZDAF=ZBAF=45°,

；.AE=AD=3,EB=AB-AD=1,

?.?四邊形EFCB為矩形，

VAB//FC,

，NGFC=NDAF=45°,

.".GC=FC=1,

???FG^^GC2+FC2

故答案為：>/2?

【點睛】

本題考查了折疊變換，矩形的性質是一種對稱變換，理解折疊前后圖形的大小不變，位置

變化，對應邊和對應角相等是解決此題的關鍵.

三、解答題

21.EF=13.

【分析】

首先連接AD,由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點，可得：AD