§2.2

初等函數(shù)二、指數(shù)函數(shù)一、整冪函數(shù)四、雙曲函數(shù)五、小結(jié)與思考三、三角函數(shù)1一、(整)冪函數(shù)定義：稱為冪函數(shù)性質(zhì)(1).z=x

R時(shí),zn=xn

(2).令z=rei

=r(cos

+isin

),

zn=

rnein

=rn(cos(n

)+isin(n

))2二、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:定義2.4對(duì)于任何復(fù)數(shù)z=x+iy,規(guī)定32.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(4).加法定理(5)ez是以2i為基本周期的周期函數(shù)4(1)證明加法定理證5因?yàn)椋寒?dāng)z沿實(shí)軸趨于+∞時(shí)ez

∞;

當(dāng)z沿實(shí)軸趨于-∞時(shí),ez0.67yxz-平面uw-平面v8例1解9例2解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:10例2解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:111213例3解143、

三角函數(shù)1.三角正弦與余弦函數(shù)將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變量取復(fù)值的情況.15定義2.5對(duì)任意的復(fù)數(shù)z,規(guī)定z的

性質(zhì):(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).1617(3)、cosz和sinz是單值函數(shù)；(4)、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):18(6).遵循通常的三角恒等式，如192021注：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的!!!!sinz的零點(diǎn)(i.e.sinz=0的根)為z=n

cosz的零點(diǎn)(i.e.cosz=0的根)為z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(7).(8)sinz,cosz在復(fù)數(shù)域內(nèi)均是無(wú)界函數(shù)222.其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義周期：：23例4解24例5解25練習(xí)26例6解271.雙曲函數(shù)的定義4、

雙曲函數(shù)2.雙曲函數(shù)的性質(zhì)28它們的導(dǎo)數(shù)分別為并有如下公式:它們都是以為周期的周期函數(shù),29例13解305、小結(jié)與思考復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質(zhì),又有一些與后者不同的特性.如:

1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.三角正弦與余弦不再具有有界性3.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)31思考題實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?32作業(yè):第90頁(yè)4

(1)(4),5(2)(4)6(2)(4),

7,8(1)(3),