黑龍江省哈爾濱市三中2024屆高考模擬試卷（數(shù)學(xué)試題理）試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)，，則“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設(shè)，則（）A． B． C． D．3．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．4．已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)5．一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為，高為，有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．7．閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫(xiě)的條件是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．9．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．11．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．212．已知非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若變量，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_________．14．已知實(shí)數(shù)、滿足，且可行域表示的區(qū)域?yàn)槿切危瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____，若目標(biāo)函數(shù)的最小值為-1，則實(shí)數(shù)等于______.15．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)____．16．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí)，每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過(guò)程中每小時(shí)的損耗為m元（），運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請(qǐng)分別寫(xiě)出、、的表達(dá)式；（2）試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，，求的值.19．（12分）如圖所示，已知平面，，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.(Ⅰ)求證：面；(Ⅱ)求證：平面平面；(Ⅲ)求該幾何體的體積．20．（12分）在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷(xiāo)，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷(xiāo)價(jià)格(元)產(chǎn)品銷(xiāo)量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)，則稱(chēng)該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前22．（10分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，且平行四邊形的周長(zhǎng)和最大面積分別為8和.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在以線段為直徑的圓上時(shí)，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】設(shè)，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).所以，“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”；若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).所以，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”“是奇函數(shù)”.因此，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.2、C【解題分析】試題分析：，．故C正確．考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求值．3、C【解題分析】

直線恒過(guò)定點(diǎn)，由此推導(dǎo)出，由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而能求出的值．【題目詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線恒過(guò)定點(diǎn)，如圖過(guò)A、B分別作于M，于N，由，則，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，則，∴，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把代入直線，解得，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題.4、C【解題分析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可知在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得，解一元二次不等式即可得解.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數(shù).又，所以，解得.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.5、B【解題分析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【題目詳解】如圖所示：因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.6、C【解題分析】

判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).【題目詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，時(shí)，，時(shí)，，排除，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除，符合條件，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特殊值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).7、C【解題分析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計(jì)算可得輸出為25時(shí)的值，進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.【題目詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，則，，，，，此時(shí)輸出，因而不符合條件框的內(nèi)容，但符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng)，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A，再根據(jù)求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【題目詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結(jié)合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問(wèn)題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問(wèn)題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.9、A【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【題目詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，因?yàn)?，為增函?shù)，所以所以，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.10、C【解題分析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長(zhǎng)棱為AD，算出長(zhǎng)度.【題目詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三視圖還原幾何體的問(wèn)題，其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

由得，又，兩式相除即可解出．【題目詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項(xiàng)等比數(shù)列得，∴，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn)，即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【題目詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得，，所以，即，由平面向量數(shù)量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)約束條件可以畫(huà)出可行域，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問(wèn)題的求解，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定過(guò)時(shí)，取最大值，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時(shí)，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當(dāng)過(guò)時(shí)，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃中最值問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.14、【解題分析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最小值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【題目詳解】作出可行域如圖，則要為三角形需滿足在直線下方，即，；目標(biāo)函數(shù)可視為，則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù)，該直線截距最大在過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，直線：，與：的交點(diǎn)為，該點(diǎn)也在直線：上，故，故答案為：；.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【題目詳解】解：樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.16、31【解題分析】

由二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式得通項(xiàng)公式得：因?yàn)榈恼归_(kāi)式得通項(xiàng)為，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：，得解.【題目詳解】解：，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：31.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求某項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，考查計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），，.（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)選擇火車(chē)運(yùn)輸費(fèi)最??；當(dāng)時(shí)，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省；當(dāng)時(shí)，此時(shí)選擇火車(chē)或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【解題分析】

（1）將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.（2）作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【題目詳解】（1），，.（2），故，恒成立，故只需比較與的大小關(guān)系即可，令，故當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)選擇火車(chē)運(yùn)輸費(fèi)最省，當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)選擇火車(chē)或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【題目點(diǎn)撥】本題考查了常見(jiàn)函數(shù)的模型，考查了分類(lèi)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.18、（1），；（2）2.【解題分析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，韋達(dá)定理得，點(diǎn)在直線上，則，即可求出的值.【題目詳解】（1）由可得，即，即，曲線的直角坐標(biāo)方程為，由直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，即直線的普通方程為.（Ⅱ）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得，直線與曲線交于兩點(diǎn)，，即.設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達(dá)定理可得，.點(diǎn)在直線上，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用，屬于中檔題.19、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【解題分析】

（I）取的中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證得平面，從而得到平面，由此證得平面平面.（III）作交于點(diǎn)，易得面，利用棱錐的體積公式，計(jì)算出棱錐的體積.【題目詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn)，連接，則，，故四邊形為平行四邊形.故.又面，平面，所以面.(Ⅱ)為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以.又，所以面.又，故面，所以面平面.(Ⅲ)幾何體是四棱錐，作交于點(diǎn)，即面，.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.20、（1）乙同學(xué)正確（2）分布列見(jiàn)解析，【解題分析】

（1）由已知可得甲不正確，求出樣本中心點(diǎn)代入驗(yàn)證，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【題目詳解】（1）已知變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，，代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表：“理想數(shù)據(jù)”有3個(gè)，故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的取值為:.，，于是“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列【題目點(diǎn)撥】本題考查樣本回歸中心點(diǎn)與線性回歸直線方程關(guān)系，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1）an=2n【解題分析】

(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d，結(jié)合題中條件，求出首項(xiàng)和公差，即可得出結(jié)果．(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和．【題目詳解】解：(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有：a1解得：a1=3，所以：a(2)由于：an所以：Sn則：1S則