備課資料一、向量的數(shù)乘運算律的證明設a、b為任意向量,λ、μ為任意實數(shù),則有(1)λ(μa)=(λμ)a;①(2)(λ+μ)a=λa+μa;②(3)λ(a+b)=λa+λb.③證明：(1)如果λ=0或μ=0或a=0,則①式顯然成立.如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,則根據(jù)向量數(shù)乘的定義,有|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.如果λ、μ同號,則①式兩邊向量的方向都與a同向;如果λ、μ異號,則①式兩邊向量的方向都與a反向.因此,向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以這兩個向量相等.(2)如果λ=0或μ=0或a=0,則②顯然成立.如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下兩種情況:當λ、μ同號時,則λa和μa同向,所以|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.由λ、μ同號,知②式兩邊向量的方向或都與a同向,或都與a反向,即②式兩邊向量的方向相同.綜上所述,②式成立.如果λ、μ異號,當λ>μ時,②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同;當λ<μ時,②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同.還可證|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.(3)當a=0,b=0中至少有一個成立,或λ=0,λ=1時,③式顯然成立.圖13當a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1時,可分如下兩種情況:當λ>0且λ≠1時如圖13,在平面內(nèi)任取一點O作=a,=b,=λa,=λb,則=a+b,=λa+λb.由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1,||=λ||.所以|==λ.所以△AOB∽△A1OB1.所以=λ,∠AOB=∠A1OB1.圖14因此O、B、B1在同一條直線上,||=|λ|,與λ的方向也相同.所以λ(a+b)=λa+λb.當λ<0時,由圖14可類似證明λ(a+b)=λa+λb.所以③式也成立.二、備用習題1.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于（）A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b2.設兩非零向量e1、e2不共線,且ke1+e2與e1+ke2共線,則k的值為（）A.1B.-1C.±1D.03.若向量方2x-3(x-2a)=0,則向量x等于（）A.aB.-6aC.6aD.a4.在△ABC=,EF∥BC,EF交AC于F,設=a,=b,則用a、b表示的形式是=_________.5.在△ABC,M、N、P分別是AB、BC、CA邊上的靠近A、B、C的三等分點,O是△ABC平面上的任意一點,若+=e1-e2,則=________.6.已知△ABC的重心為G,O為坐標原點,=a,=b,=c,求證:=(a+b+c).7.對判斷向量a=-2e與b=2e是否共線?有如下解法:解:∵a=-2e,b=-2e,∴b=-a.∴a與b共線.請根據(jù)本節(jié)所學的共線知識給以評析.如果解法有誤,請給出正確解法.參考答案:1.B2.C3.C4.-a+b5.e1-e2.6.連接AG并延長,設AG交于M.∵=b-a,=c-a,=c-b,∴=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a).∴==(c+b-2a).∴=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).7.評析:乍看上述解答,真是簡單明快.然而,仔細研究題目已知,卻發(fā)現(xiàn)其解答存在問題,這是因為,原題已知中,對向量e并無任何限制,那么就應允許e=0,而當e=0時,顯然,a=0,b=0,此時,a不符合定理中的條件,且使b=λa成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b=λa成立),故不能應用定理來判斷它們是否共線.可見,對e=0的情況應另法判斷才妥.綜上分析,此題應解答如下:解:(1)當e=0時,則a=-2e=0.由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”,所以此時a與b共線.(2)當e≠0時,則a=-2e≠0,b=2e≠0,∴b=-a〔這時滿足定理中的a≠0,及有且只有一個實數(shù)λ(λ=-1),使得b=λa成立〕.∴a與b共線.綜合(1)(2),可知a與b共線.(設計者：沈獻宏)下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會怎樣做呢？

齊：主動關(guān)好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談談好嗎？

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談談好嗎？

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結(jié)束。

6.活動效果：

此次活動使學生明白了節(jié)約用水的道理，浪費水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標兵

活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來。”

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所