5.1傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預報傳染病高潮到來的時刻預防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型第一頁第二頁，共62頁。已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第二頁第三頁，共62頁。模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為

,且使接觸的健康人致病建模

~日接觸率SI模型第三頁第四頁，共62頁。模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大第四頁第五頁，共62頁。模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。第五頁第六頁，共62頁。模型3i0i0接觸數(shù)

=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0第六頁第七頁，共62頁。模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率

,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程第七頁第八頁，共62頁。模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)第八頁第九頁，共62頁。模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析第九頁第十頁，共62頁。si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減

相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0第十頁第十一頁，共62頁。模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛(wèi)生水平

(日治愈率)

醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

的估計降低s0提高r0提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫第十一頁第十二頁，共62頁。模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高閾值1/

降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/

=

第十二頁第十三頁，共62頁。5.2經(jīng)濟增長模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟增加投資增加勞動力提高技術(shù)建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動力L(t)技術(shù)f(t)=f0第十三頁第十四頁，共62頁。模型假設(shè)靜態(tài)模型每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資z隨著

y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)第十四頁第十五頁，共62頁。QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值

~資金在產(chǎn)值中的份額1-

~勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)第十五頁第十六頁，共62頁。w,r,

K/L

求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動力付工資w2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）第十六頁第十七頁，共62頁。3)經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件(動態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長,K(t),L(t)應滿足的條件模型假設(shè)投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴大再生產(chǎn))勞動力相對增長率為常數(shù)第十七頁第十八頁，共62頁。Bernoulli方程第十八頁第十九頁，共62頁。產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件第十九頁第二十頁，共62頁。勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件第二十頁第二十一頁，共62頁。5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結(jié)局的模型第二十一頁第二十二頁，共62頁。一般模型每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型第二十二頁第二十三頁，共62頁。正規(guī)戰(zhàn)爭模型甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援f(x,y)=

ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率第二十三頁第二十四頁，共62頁。0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝第二十四頁第二十五頁，共62頁。游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援f(x,y)=

cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積第二十五頁第二十六頁，共62頁。0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型第二十六頁第二十七頁，共62頁。0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第二十七頁第二十八頁，共62頁。5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物進入機體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學

建立房室模型——藥物動力學的基本步驟房室——機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)第二十八頁第二十九頁，共62頁。中心室周邊室給藥排除模型假設(shè)中心室(1)和周邊室(2),容積不變藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立第二十九頁第三十頁，共62頁。線性常系數(shù)非齊次方程對應齊次方程通解模型建立第三十頁第三十一頁，共62頁。幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時注射劑量D0的藥物進入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件第三十一頁第三十二頁，共62頁。2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進入中心室0Tt￡￡第三十二頁第三十三頁，共62頁。吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當于藥物(劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室吸收室藥量x0(t)第三十三頁第三十四頁，共62頁。參數(shù)估計各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,

n)測得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,

由較小的用最小二乘法定B,

第三十四頁第三十五頁，共62頁。參數(shù)估計進入中心室的藥物全部排除第三十五頁第三十六頁，共62頁。過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型分析分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學模型。設(shè)想一個“機器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。問題5.5香煙過濾嘴的作用第三十六頁第三十七頁，共62頁。模型假設(shè)定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和

4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>uQ~吸一支煙毒物進入人體總量第三十七頁第三十八頁，共62頁。模型建立0t=0,x=0，點燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)第三十八頁第三十九頁，共62頁。t時刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)第三十九頁第四十頁，共62頁。3)求w(ut,t)第四十頁第四十一頁，共62頁。4)計算Q第四十一頁第四十二頁，共62頁。結(jié)果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過濾嘴因素，

,l2~負指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）

(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用第四十二頁第四十三頁，共62頁。帶過濾嘴不帶過濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高

-b與加長l2，效果相同第四十三頁第四十四頁，共62頁。5.6人口預測和控制年齡分布對于人口預測的重要性只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發(fā)展方程第四十四頁第四十五頁，共62頁。人口發(fā)展方程一階偏微分方程第四十五頁第四十六頁，共62頁。人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0tr第四十六頁第四十七頁，共62頁。生育率的分解

~總和生育率h~生育模式0第四十七頁第四十八頁，共62頁。人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密正反饋系統(tǒng)滯后作用很大第四十八頁第四十九頁，共62頁。人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按

(r,t)計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制

(t)不過高第四十九頁第五十頁，共62頁。5.7煙霧的擴散與消失現(xiàn)象和問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關(guān)系。問題分析無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān)。第五十頁第五十一頁，共62頁。模型假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從熱傳導定律。2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律熱傳導定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比第五十一頁第五十二頁，共62頁。曲面積分的奧氏公式1）煙霧濃度的變化規(guī)律第五十二頁第五十三頁，共62頁。初始條件Q~炮彈釋放的煙霧總量

~單位強度的點源函數(shù)對任意t,C的等值面是球面x2+y2+z2=R2;R

C

僅當t

,對任意點(x,y,z),C01）煙霧濃度的變化規(guī)律第五十三頁第五十四頁，共62頁。2）穿過煙霧光強的變化規(guī)律光強的減少與煙霧濃度成正比第五十四頁第五十五頁，共62頁。3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化