-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末仿真模擬03卷（測試范圍：空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線+數(shù)列）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A.2 B. C.4 D.2．直線與直線的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合3．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A.4 B.2 C.1 D.4．已知圓與圓相交于兩點，則兩圓的公共弦（）A. B. C. D.25．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（

）A B.C. D.6.如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（）A. B. C. D.7．設(shè)是雙曲線的右焦點，為坐標(biāo)原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的內(nèi)切圓與軸切于點，且，則的離心率為（）A. B. C. D.8．已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．以下四個命題為真命題的是（）A.過點且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為B.直線的傾斜角的范圍是C.直線與直線之間的距離是D.直線過定點10．?dāng)?shù)列滿足，，則（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.C.點()都在直線 D.數(shù)列前項和的最大值為3211．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面交于點O，M是棱上的動點，則（）A.三棱錐體積的最大值為B.存在點M，使平面C.點M到平面的距離與點M到平面的距離之和為定值D.存在點M，使直線與所成的角為12．Cassini卵形線是由法國天文家Jean-DominiqueCassini（1625-1712）引入的.卵形線的定義是：線上的任何點到兩個固定點的距離的乘積等于常數(shù)是正常數(shù)，設(shè)的距離為，當(dāng)時稱得到的卵形線為雙紐線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是雙紐線，是曲線上一點，則（）A.曲線C關(guān)于原點中心對稱B.的取值范圍是C.的最大值為D.曲線上有且僅有一個點滿足三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若數(shù)列{}為等差數(shù)列，，則數(shù)列{}的前9項和=__________.14.已知點P為橢圓C：上一點，點，分別為橢圓C的左、右焦點，若，則的內(nèi)切圓半徑為_____15.已知點，圓上恰有兩點滿足，則r的取值范圍是__________．16．在棱長為1的正方體中，分別是的中點，動點在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，若平面，則長度的最大值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知圓和直線.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求直線被圓截得的最短弦長及此時直線的方程.18．已知拋物線的焦點為是拋物線上一點，且.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與拋物線交于兩點，若以為直徑的圓過原點，求直線的方程.19．設(shè)數(shù)列的前項和為，且對于任意正整數(shù)，都有．（1）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．20．已知兩定點，滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線與曲線E交于A，B兩個不同的點．（1）求曲線E的方程；（2）求實數(shù)k的取值范圍；（3）若，求直線AB的方程．21．如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點，為正三角形，平面平面.（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在異于端點的點，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.22．如圖，已知動點P在上，點，線段的垂直平分線和相交于點M.（1）求點M的軌跡方程；（2）若直線l與曲線交于A，B兩點，且以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點O，請問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末仿真模擬03卷答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】依題意.故選：D2．直線與直線的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合【答案】A【解析】當(dāng)時，直線，直線，此時兩直線垂直，當(dāng)時，直線的斜率，直線的斜率，因為，則兩直線垂直，綜上兩直線位置關(guān)系是垂直，故選：A.3．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為：．故選：C.4．已知圓與圓相交于兩點，則兩圓的公共弦（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】圓與圓相減得所在的直線方程：.∵圓的圓心，，圓心到直線：的距離，則．故選:A5．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（

）A B.C. D.【答案】A【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，即，因為雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，所以雙曲線中，半焦距，又因為雙曲線滿足，即，又由，即，解得，可得，所以雙曲線的方程為.故選：A．6.如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，故選：D．7．設(shè)是雙曲線的右焦點，為坐標(biāo)原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的內(nèi)切圓與軸切于點，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程為：，即，到漸近線的距離為，，則直角三角形內(nèi)切圓的半徑，如圖，設(shè)三角形的內(nèi)切圓與切于，則，，可得，，即，則，所以，由，，，.故選：A.8．已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】數(shù)列滿足，①當(dāng)時，，②①②得，，故，則，則，由于恒成立，故，整理得：，因隨的增加而減小，所以當(dāng)時，最大，且為，即故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．以下四個命題為真命題的是（）A.過點且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為B.直線的傾斜角的范圍是C.直線與直線之間的距離是D.直線過定點【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)直線過原點時，方程為，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或，故A錯誤；對于B，直線的斜率，所以傾斜角的范圍是，故B正確；對于C，直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故C錯誤；對于D，直線，即為，令，解得，所以直線過定點，故D正確.故選：BD.10．?dāng)?shù)列滿足，，則（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.C.點()都在直線 D.數(shù)列前項和的最大值為32【答案】AC【解析】數(shù)列滿足，，即，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故A正確；且數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則點()都在直線上，故B不正確，C正確；數(shù)列的前項和，又因為，所以時，，時，，則的最大值為，故D不正確.故選：AC.11．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面交于點O，M是棱上的動點，則（）A.三棱錐體積的最大值為B.存在點M，使平面C.點M到平面的距離與點M到平面的距離之和為定值D.存在點M，使直線與所成的角為【答案】ABC【解析】以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AS所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則,由是棱上的動點，設(shè)，,因為底面為正方形，故,又底面所以,又,所以底面,所以當(dāng)與D重合時，三棱錐體積的最大且為，故A對.當(dāng)為中點時，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；點到平面的距離，點到平面的距離,所以，故C正確.,,若存在點，使直線與所成的角為30°則，化簡得，無解，故D錯誤；故選：ABC12．Cassini卵形線是由法國天文家Jean-DominiqueCassini（1625-1712）引入的.卵形線的定義是：線上的任何點到兩個固定點的距離的乘積等于常數(shù)是正常數(shù)，設(shè)的距離為，當(dāng)時稱得到的卵形線為雙紐線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是雙紐線，是曲線上一點，則（）A.曲線C關(guān)于原點中心對稱B.的取值范圍是C.的最大值為D.曲線上有且僅有一個點滿足【答案】ACD【解析】設(shè)是曲線上任意一點，由雙紐線定義知，①，對A，關(guān)于原點的對稱點，代入①中，則成立，即曲線C關(guān)于原點中心對稱，故A正確；對B，令，由①可得，即，解得，由是曲線上一點知，的取值范圍是，故B錯誤；對C，，①式兩邊平方化簡可得，由是曲線上一點可得，，由B知，的取值范圍是，所以當(dāng)時，，所以的最大值為，故C正確；對D，點滿足，則在AB垂直平分線上，則，設(shè)，則，故只有原點滿足，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若數(shù)列{}為等差數(shù)列，，則數(shù)列{}的前9項和=__________.【答案】【解析】.故答案為：14.已知點P為橢圓C：上一點，點，分別為橢圓C的左、右焦點，若，則的內(nèi)切圓半徑為_____【答案】##【解析】因為，，所以，，則，等腰邊上的高，所以，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以故答案為：．15.已知點，圓上恰有兩點滿足，則r的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)，則，由得，故點的軌跡為以點為圓心，半徑為2的圓，要使圓上恰有兩點滿足，則與兩圓有兩個交點，故，解得，故答案為：16．在棱長為1的正方體中，分別是的中點，動點在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，若平面，則長度的最大值為__________.【答案】【解析】如圖，以正方體的頂點為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，動點在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，則設(shè)，且則，設(shè)平面的法向量為，又則，令，則因為平面，所以，即，則，所以則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時，，時，，所以長度的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知圓和直線.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求直線被圓截得的最短弦長及此時直線的方程.【答案】（1）相交（2）；【解析】（1）因為直線，即恒過定點又因為圓，即即圓心，半徑為因為所以點在圓內(nèi)，即直線與圓相交.（2）當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短，此時可得弦長的一半為即最短弦長為又因為點橫坐標(biāo)相同，故直線軸，則直線的斜率為所以直線的方程為18．已知拋物線的焦點為是拋物線上一點，且.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與拋物線交于兩點，若以為直徑的圓過原點，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立與，消去得，即；由韋達定理有：，因為以為直徑的圓過原點，所以，即，化簡可得：，代入韋達定理得：，解得或（舍去），所以直線的方程為.19．設(shè)數(shù)列的前項和為，且對于任意正整數(shù)，都有．（1）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）數(shù)列中，，則，兩式相減得，即，因此，又當(dāng)時，，得即，所以數(shù)列是首項為5公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）得，即，則有，又，因此是常數(shù)數(shù)列，即，則，從而所以.20．已知兩定點，滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線與曲線E交于A，B兩個不同的點．（1）求曲線E的方程；（2）求實數(shù)k的取值范圍；（3）若，求直線AB的方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由雙曲線定義可知，曲線是以，為焦點的雙曲線的左支，且，由，所以，，所以曲線的方程為.故曲線的方程為：.（2）設(shè)，，由題意聯(lián)立方程組，消去得，又因為直線與雙曲線左支交于兩點，有，解得.故的取值范圍為.（3）因為，整理化簡得，解得或，因為，所以，直線的方程為.故直線的方程為：.21．如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點，為正三角形，平面平面.（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在異于端點的點，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在點，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時為中點【解析】（1）連接，因為為正三角形，又為中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，分別為，的中點，所以，，所以，則如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，則，設(shè)平面的法向量為，由于，則，令，則又，則點到平面的距離為；（2）由（1）可知是平面的一個法向量，由題可設(shè)，且，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由于，則，令，則，所以，整理得，解得或（舍），故存在點，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時為中點.22．如圖，已知動點P在上，點，線段的垂直平分線和相交于點M.（1）求點M的軌跡方程；（2）若直線l