第九章統(tǒng)計(jì)（公式、定理、結(jié)論圖表）

抽樣

?樣本

估計(jì)I

總體的取值規(guī)律一樣本頻率分布

普查

I估計(jì)

總體的百分位數(shù)vj一樣本的百分位數(shù)

總體數(shù)據(jù)，!樣本觀漏數(shù)據(jù)

總體的平均值、估計(jì)!樣本的平均數(shù)、

中位數(shù)、眾數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)

估計(jì)

總體標(biāo)準(zhǔn)差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、

方差、極差方差、極差

決策與建議

1.全面調(diào)查和抽樣調(diào)查

調(diào)查方式全面調(diào)查（普查）抽樣調(diào)查

對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)根據(jù)一定目的,從總體中①抽取一部分個(gè)體

定義查的方法,稱為全面調(diào)查，又稱進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出

i'Kt估計(jì)和推斷的調(diào)查方法,稱為抽樣調(diào)查

總體:在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)

樣本:把從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣

查對(duì)象的全體稱為總體.

相關(guān)概念本.

個(gè)體:組成總體的每一個(gè)調(diào)查

樣本量:樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本量

對(duì)象稱為個(gè)體

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念

放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中②逐仝抽取n(14n<N)個(gè)個(gè)體作為樣

本

如果抽取是放回的,且每次抽取時(shí)總體內(nèi)如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)

的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都③相等，我們⑷未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都

把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)

樣單隨機(jī)抽樣

放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲

得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

3.抽簽法

先把總體中的個(gè)體編號(hào)，然后把所有編號(hào)寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、

小球等)上作為號(hào)簽，并將這些小紙片放在一個(gè)⑤丕迪的盒里，充分?jǐn)嚢?最后從盒中不放回地

逐個(gè)抽取號(hào)簽，使與號(hào)簽上的編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù).

4.隨機(jī)數(shù)法

(1)定義:先把總體中的個(gè)體編號(hào)，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生已編號(hào)范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的

隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本,重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所需要的

個(gè)體數(shù).

(2)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法:⑴用隨機(jī)試驗(yàn)生成隨機(jī)數(shù);(ii)用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù).

5.總體均值和樣本均值

⑴總體均值:一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為YI,Y2,...,YN,則稱F=@

%+丫2；..+汴%*匕為總體均值，又稱總體平均數(shù).

1—1

(2)總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式:如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k4N)個(gè),不妨記

為Yi,Y2,.,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)￡(i=l,2,...,k),則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式"⑧

*11kfiYi-

Ni=l

⑶如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為W2,…,yn,則稱產(chǎn)⑨

左若包為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).

6.分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)概念

(1)分層隨機(jī)抽樣的定義:一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體

屬于且僅屬于一個(gè)子總體.在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.再把所有子總體中抽取

的樣本②合在一起作為總樣本.這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱為層.

⑵比例分配:在分層隨機(jī)抽樣中.如果每層③樣本量都與層的大小成比例.那么稱這種樣本

量的分配方式為比例分配.

7.畫頻率分布直方圖的步驟

⑴求極差:極差為一組數(shù)據(jù)中①最大值與②最小值的差:

(2)決定組距與組數(shù):當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，常分成③拉組，為方便起見，一般取等長(zhǎng)組

距，并且組距應(yīng)力求"取整”；

(3)將數(shù)據(jù)分組；

(4)列頻率分布表:一般分四列:分組、④頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、⑤頻率.其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容

量，頻率合計(jì)是⑥上

(5)畫頻率分布直方圖:橫軸表示分組，縱軸表示陪.

小長(zhǎng)方形的面積=組距X端暮⑨好，各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.

組距

8.其他統(tǒng)計(jì)圖表

統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用

扇形圖直觀描述各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例

條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率

反映統(tǒng)計(jì)對(duì)象在不同時(shí)間(或其他合適情形)的發(fā)展變化

折線圖

情況

9.第p百分位數(shù)

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有①也的數(shù)據(jù)小于

或等于這個(gè)值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

10.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步.按②從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算［=③許％.

第3步，若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),

則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的④壬場(chǎng)效.

11.四分位數(shù)

⑤第25百分位數(shù).⑥第50百分位數(shù).⑦第75百分位數(shù),這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列

后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).

12.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義

(I)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中①出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

⑵中位數(shù):一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后.處于②中間位置的數(shù).如果這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)個(gè).則取

③中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

(3)平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的④蟲除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù).

13.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

(1)平均數(shù):在頻率分布直方圖中.樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的⑤橫坐標(biāo)與小

矩形的⑥面積的乘積之和近似代替.

(2)中位數(shù):在頻率分布直方圖中.中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該⑦相等.

(3)眾數(shù):眾數(shù)是⑧最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).

【特別提醒】

眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較

名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起

平均數(shù)數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越"離群"，對(duì)

端值更加敏感平均數(shù)的影響越大

不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠

中位數(shù)對(duì)極端值不敏感

前或靠后的數(shù)據(jù))的影響

眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中信息很少

眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)

的一部分，對(duì)極端值不敏感

14.一組數(shù)據(jù)Xl,X2,...,Xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

數(shù)據(jù)—的方差為%卒同2=穌紂荷標(biāo)準(zhǔn)差為③即至

15.總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差

(1)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差:如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為YI,Y2,...,YN,總體的平均數(shù)為匕

則稱S』I(匕*)2為總體方差,S=⑤府為總體標(biāo)準(zhǔn)差.

N(=1

(2)總體方差的加權(quán)形式:如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k4N)個(gè)，不妨記為

2

Yi,Y2,...,Yk淇中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=l,2,...,k),則總體方差為S=?ilh(YrYy.

16.樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為yi,y2,...,yn,樣本平均數(shù)為歹，則稱s』?I(y「兄)2為樣

ni=l

本方差,點(diǎn)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

17.標(biāo)準(zhǔn)差的意義

標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的⑨離散程度或⑩波動(dòng)幅度.標(biāo)準(zhǔn)差越大.數(shù)據(jù)的離散程度越?大:標(biāo)準(zhǔn)

差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?小.

【特別提醒】

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差和方差概念的理解

(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程

度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍:[0,+oo).

標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性.

(3)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)

準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

18.分層隨機(jī)抽樣的方差

設(shè)樣本容量為n,平均數(shù)為元其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為mg,兩層的平均數(shù)分別為元1,為,方

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差分別為s：刀,則這個(gè)樣本的方差為s=0^-rs?+(xi-%)i+^rs^+(x7-x)i.

〈解題方法與技巧》

1.使用分層隨機(jī)抽樣法應(yīng)遵循的原則

(1)將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層,分層栗求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不

遺漏的原則;

(2)分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能人樣，需在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,每層樣本數(shù)

量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.

2.進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的關(guān)系

.)樣本容量該層抽取的個(gè)體數(shù).

■，總體容量該層的個(gè)體數(shù)'

(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比；

(3)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系：

典例1：某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)

查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有

20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①、②這

兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()

A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

【思路點(diǎn)撥】此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個(gè)體較多而且差異又不大時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣，采

用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時(shí)應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣：當(dāng)總體中個(gè)

體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣.

【解析】依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第②項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.故選B.

【總結(jié)升華】采川什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個(gè)體情況來定.

3.頻率分布直方圖的性質(zhì)

(1)因?yàn)樾￠L(zhǎng)方形的面積=組距><篝=頻率，所以各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這

樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小.

(2)在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.

—

4.頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計(jì)算方法

方法一:(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間［a,b);(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別

為fa%,fb%,則第p百分位數(shù)為a+/笠x(b-a).

方法二:設(shè)出百分位數(shù)的值,利用百分位數(shù)的定義計(jì)算.

典例2：為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲—18歲的男

【答案】C；

【解析】根據(jù)運(yùn)算的算式：體重在(56.5,64.5)學(xué)生的累積頻率為2X0.03+2X0.05+2X0.05+2

X0.07=0.4,則體重在(56.5,64.5)學(xué)生的人數(shù)為0.4X100=40.

5.利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)

(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、

方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.

6.利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時(shí)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響較大;中位數(shù)

是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,不受極端值的影響;眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，無法客觀

反映總體特征.

(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值;反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多

較小的極端值.

7.眾數(shù)、中位數(shù)'平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

眾數(shù)是最高小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，表示樣本數(shù)據(jù)的

眾數(shù)

中心值

①在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，

中位數(shù)由此可以估計(jì)中位數(shù)的值,但是有偏差；

②表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線

①平均數(shù)等于每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐

平均數(shù)標(biāo)之和；

②平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn)

8.計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差s