點集拓撲練習題

一、單項選擇題（每題1分）

1、已知X={a,b,c,d,e},下列集族中，（）是乂上的拓撲.

①T={X,(/>,{a},{a,b},{a,c,e]]②T={X,(/),{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}

③T={X,0,{a},{a,b}}④T={X/,{a},{》},?,xxvdjfv,{e}}答案：③

2、設(shè)X={a,。,c},下列集族中，()是X上的拓撲.

①T={X,0,{a},{a,b},{c}}②T={X,(/>,{a},{a,b},{a,c}}

③T={X,0,{a},,{a,c}}④T={X,(|>,{a},,{c]}答案：②

3、已知X={a,b,c,d},下列集族中，()是乂上的拓撲.

①T={X,(|>,{a},{a,b},{a,c,d]}②T={X,(/>,{a,b,c},{a,b,d}}

③T={X,0,{a},{"},{a,c,d}}④T={X,0,{a},g}}答案：①

4、設(shè)X={a,。,c},下列集族中，()是X上的拓撲.

①T^[X,(/),[b],{c},{a,b}}②T={X,^,{a},,{a,b},{a,c}]

③T={X/,{a},,{a,c}}④T={X,0,{a},{"},{c}}答案：②

5,已知X={a,O,c,d},下列集族中，()是乂上的拓撲.

①T={X,(^,{a,b},{a,c,d}}②T={X,^),{a,b},{a,c,d}}

③T=[X,(/),{a},,{a,c,d}}④T={X,0,{a},{c},{a,c}}答案：④

6、設(shè)*=伍,。,C},下列集族中，()是X上的拓撲.

①T={X#,{a},,{b,c}}②T^{X,<f>,{a,b},{b,c}}

③T={X,0,{a},{a,c}}④T={X,(/),{a},,{c}]答案:③

7、已知X={a,b,c,d},拓撲T={X,0,{a}},則麗=()

①。②X③㈤④{b,c,d}答案：④

8、已知X={a,b,c,d},拓撲T={X@{a}},貝U{瓦c,d}=()

①。②X③{毋④{b,c,d}答案：④

9、已知X={a/},拓撲T={X,0,{a}},則㈤=()

①。②X③⑷④協(xié)}答案：②

10、已知X={a,圻,拓撲T={X,0,{a}},則西=()

①。②X③⑷④{/?}答案：④

11、已知X={a,b,c,d},拓撲T={X,0,{a}},則茴=()

①。②X③伍力}④{b,c,d}答案：②

12、已知X={a,b,c,d},拓撲T={X,0,{a}},則汨=()

①。②X③{a,c}④{b,c,d}答案：④

13、設(shè)*={a,。,（?,即，拓撲T={乂,。,{0,{。",由},則乂的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（）

①1②2③3④4答案：②

14、設(shè)*={區(qū)。,。},拓撲T={X,0,{a},g,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（）

①1②2③3④4答案：②

1

15、設(shè)乂={。,瓦。},拓撲T={X，0，{O},{O,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為()

①0②1③2④3答案：①

16、設(shè)*=伍/},拓撲T={X,0,{M},則X的既開又閉的子集的個數(shù)為()

①0②1③2④3答案：③

17、設(shè)*=伍,勿，拓撲T={X,0,{a},{例}，則X的既開又閉的子集的個數(shù)為()

①1②2③3④4答案：④

18、設(shè)X={a,b,c},拓撲T={X,{a},g},{。,用，仍,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為

()①1②2③3④4答案：②

19、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集。的內(nèi)部。是()

①4②0③火-。@R答案：①

20、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集。的邊界。(。)是()

①。②。③R-Q④"答案：④

21、在實數(shù)空間中，整數(shù)集Z的內(nèi)部Z是()

①。②Z③股Z?R答案：①

22、在實數(shù)空間中，整數(shù)集Z的邊界S(Z)是()

①/②Z③代Z(4)R答案：②

23、在實數(shù)空間中，區(qū)間[0,1)的邊界是()

①“②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：③

24、在實數(shù)空間中，區(qū)間[2,3)的邊界是()

①放②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案：③

25、在實數(shù)空間中，區(qū)間[0,1)的內(nèi)部是()

①。②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：④

26、設(shè)X是一個拓撲空間，A,B是X的子集,則下列關(guān)系中錯誤的是()

①d(ADB)=d(A)Dd(3)②

③d(Ac8)=d(A)cd(B)④入=入答案：③

27、設(shè)X是一個拓撲空間，4B是X的子集,則下列關(guān)系中正確的是()

①d(Au6)=d(A)ud(8)②A-B=A-B

③d(AcB)=d(A)cd(8)④A=A答案：①

28、設(shè)X是一個拓撲空間，A,B是X的子集,則下列關(guān)系中正確的是()

②A-B^A-B

③d(Ac8)=d(A)cd(8)④d(d(A))uAud(A)答案：④

29、已知X是一個離散拓撲空間,/是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是()

①d(A)=。②d(A)=X—A③d(A)=A④d(A)=X答案：①

30、已知X是一個平庸拓撲空間，力是X的子集，則下列結(jié)論中不正確的是()

①若A=。，則d(A)=。②若4={的},則d(A)=X—A

③若A={X”X2},則d(A)=X④若AwX,則d(A)#X答案：④

2

31、已知X是一個平庸拓撲空間，4是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是（）

①若4=。，則d（A）=。②若A={x（）},則d（A）=X

③若人={和々},則d（A）=X—A④若4={再,々},則d（A）=A答案：①

32、設(shè)X=X,Z>,c,d}，令8={{a,瓦c},{c},zvvlbrp},則由B產(chǎn)生的X上的拓撲是（）

①{X,,{c},{<4,{<?,4,{a,b,c}}②{X,。，{c},{M,匕加

③{X,。，{c},{a,6,c}}④{X,（I）,{d\,{b,c\,{b,ck,{b,c,d\}答案：①

33、設(shè)X是至少含有兩個元素的集合，peX.T={GuX|〃eG}u{。}是X的拓撲，則（）是

T的基.

①B={{p,x}|xeX-{p}}②B={{x}|xeX}

③B={{p,x}|xeX}④B={{x}|xeX—{p}}答案：③

34、設(shè)*={。,瓦可，則下列X的拓撲中（）以5={X,0,{a}}為子基.

①{X,</>,{a\,{a,c}}②{X,。，{a}}

③{X,劭，{a},{/?},{a,。}}④{X,。}答案：②

35、離散空間的任一子集為（）

①開集②閉集③即開又閉④非開非閉答案：③

36、平庸空間的任一非空真子集為（）

①開集②閉集③即開又閉④非開非閉答案：④

37、實數(shù)空間R中的任一單點集是（）

①開集②閉集③既開又閉④非開非閉答案：②

111-

38、實數(shù)空間的子集4={1,上，上，上，……}，則A=（）

234

①0②R③/U{0}@A答案：③

39、在實數(shù)空間斤中，下列集合是閉集的是（）

①整數(shù)集②\a,b）③有理數(shù)集④無理數(shù)集答案：①

40、在實數(shù)空間7?中，下列集合是開集的是（）

①整數(shù)集Z②有理數(shù)集③無理數(shù)集④整數(shù)集Z的補集Z'答案：④

41、已知X={1,2,3}上的拓撲丁={X,0,{1}},則點1的鄰域個數(shù)是（）

①1②2③3④4答案：@

42、已知X={a,。},則X上的所有可能的拓撲有（）

①1個②2個③3個④4個答案：④

43、已知X={a,b,c\,則X上的含有4個元素的拓撲有（）個

①3②5③7④9答案：④

44、設(shè)（X,T）為拓撲空間,則下列敘述正確的為（）

①XeT,T②XeT/eT

③當T'uT時，IJUeT④當T'uT時，UeT答案：③

3

45、在實數(shù)下限拓撲空間R中，區(qū)間[4力）是（）

①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉答案：③

46、設(shè)X是一個拓撲空間，ABuX,且滿足d（A）u8uA,則8是（）

①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉答案：②

47、設(shè)*={1,2,3},丁={。,*,{1,2},{1,3},{1},{2}}是乂的拓撲,4={1,2},則X的子空間A的拓撲為

（）

①T={么{2},{1,2}}②T={么X,{1},{2},{1,2}}

③T={0,A,⑴,{2}}④T=W，X,{1},⑵}答案：③

48、設(shè)乂={1,2,3},丁={。,乂,{1,2},{1,3},{1},{2}}是乂的拓撲,A={1,3},則X的子空間A的拓撲為

()

①T={0,{1},{3},{1,3}}②T={。,4{1}}

③T={0,X,{1},{3},{1,3}}④T={/,X,{l}}答案：②

49、設(shè)乂={1,2,3},丁={。,乂,{1,2},{1,3},{1},{2}}是乂的拓撲,A={2,3},則X的子空間A的拓撲為

()

①T={0,{3},{2,3}}②T={0,A,⑵,{3}}

③T={0,X,{2},{3},{2,3}}④T={</>,X,{3}}答案：②

50、設(shè)乂={1,2,3},丁={。,乂,{1,2},{1,3},{1},{2}}是乂的拓撲，A={1},則X的子空間A的拓撲為

①T={么{1}}②T={0,A,{1,2}}③T={。/,{1},{3},{1,3}}④T="X,{1}}答案：①

51、設(shè)乂={1,2,3},丁={。,乂,{1,2},{1,3},{1},{2}}是*的拓撲,5={2},則X的子空間A的拓撲為

（）

①T={。,{2},{1,2}}②T={</>,A]③T={0,X,{2}}?T={0,X,{1,2}}答案：②

52、設(shè)乂={1,2,3},丁={。,乂,{1,2},{1,3},{1},{2}}是乂的拓撲，A={3},則X的子空間A的拓撲為

（）

①T={0,{2},{1,2}}②T={0,{X},{1,3}}

③丁士以乂,9}}@T={。,⑶}答案：④

53、設(shè)R是實數(shù)空間，Z是整數(shù)集，則R的子空間Z的拓撲為（）

①T=MZ}②T=P（Z）③T=Z④T={Z}答案：②

54、設(shè)X=X|XX2XxX6是拓撲空間X”X2，.,X6的積空間.q是X到X1的投射，則打是（）

①單射②連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射答案：④

55、設(shè)X=X]XX2XxX6是拓撲空間X1,X2，,乂6的積空間.心是X到X2的投射，則心是（）

①單射②連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射答案：④

56、設(shè)X=X|XX2X*X6是拓撲空間乂，乂2，,X6的積空間.6是X到X3的投射，則舄是（）

①單射②連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射答案：④

57、設(shè)X=XdX2XxX6是拓撲空間X1,X2，,X6的積空間.々是X到X4的投射，則舄是（）

①單射②連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射答案：④

4

58、設(shè)X=X|XXzXxX6是拓撲空間X],X2，.，X6的積空間.居是X到的投射，則心是（)

①單射②連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射答案：④

59、設(shè)X=X|XXzXxX6是拓撲空間X”X2，,X6的積空間.穌是X到X6的投射，則州是（)

①單射②連續(xù)的單射③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射答案：④

60、設(shè)X]和X?是兩個拓撲空間，乂亡乂2是它們的積空間，4<=乂|,BuX2,則有（)

@AxB^AxB②AxB=AxB③(AxB)xB@a(AxB)-a(A)x5(B)答案:②

61、有理數(shù)集。是實數(shù)空間R的一個（)

①不連通子集②連通子集③開集④以上都不對答案：①

62、整數(shù)集Z是實數(shù)空間R的一個（)

①不連通子集②連通子集③開集④以上都不對答案：①

63、無理數(shù)集是實數(shù)空間R的一個（)

①不連通子集②連通子集③開集④以上都不對答案：①

64、設(shè)y為拓撲空間X的連通子集,z為I的子集,若yuzu7,貝1|2為（)

①不連通子集②連通子集③閉集④開集答案：②

65、設(shè)X”X2是平庸空間，則積空間乂°乂2是（)

①離散空間②不一定是平庸空間③平庸空間④不連通空間答案：③

66、設(shè)X1,X2是離散空間，則積空間X|xX2是（)

①離散空間②不一定是離散空間③平庸空間④連通空間答案：①

67、設(shè)X1,X2是連通空間，則積空間X|XX2是（)

①離散空間②不一定是連通空間③平庸空間④連通空間答案：④

68、實數(shù)空間彳中的連通子集6為（)

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對答案：④

69、實數(shù)空間中的不少于兩點的連通子集《為（)

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對答案:③

70、實數(shù)空間R中的連通子集￡為（)

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④區(qū)間或一點答案：④

71、下列敘述中正確的個數(shù)為（)

（I）單位圓周『是連通的；（IDR—｛0｝是連通的

（JII）R2一｛（o,o）｝是連通的(IV)R2和R同胚

①1②2③3④4答案：②

72、實數(shù)空間R（)

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對答案：③

73、整數(shù)集Z作為實數(shù)空間R的子空間（)

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對答案：③

5

74、有理數(shù)集。作為實數(shù)空間R的子空間（）

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對答案：③

75、無理數(shù)集作為實數(shù)空間R的子空間（）

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對答案：③

76、正整數(shù)集Z+作為實數(shù)空間R的子空間（）

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對答案：③

77、負整數(shù)集2_作為實數(shù)空間H的子空間（）

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對答案：③

78、2維歐氏間空間A?（）

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對答案：③

79、3維歐氏間空間N（）

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對答案：③

80、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（）

①平庸性②連通性③離散性④第一可數(shù)性公理答案：②

81、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（）

①第一可數(shù)性公理②連通性③第二可數(shù)性公理④平庸性答案：②

82、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（）

①第一可數(shù)性公②可分性③第二可數(shù)性公理④離散性答案：②

83、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（）

①平庸性②可分性③離散性④第二可數(shù)性公理答案：②

84、設(shè)X是一個拓撲空間，若對于均有{x}H{y},則乂是（）

①I,空間②7；空間③T2空間④以上都不對答案：①

85、設(shè)*={1,2},T={X,0,{1}},則（乂,?。┦牵ǎ?/p>

①7；空間②7；空間③4空間④以上都不對答案：①

86、設(shè)乂={1,2},T={X,0,{2}},則（乂,?。┦牵ǎ?/p>

①7；空間②Z空間③與空間④道路連通空間答案：①

87、設(shè)乂={1,2,3},T={X,0,{1}},貝乂X,?。┦牵ǎ?/p>

①八空間②7；空間③了?空間④以上都不對答案：④

88、設(shè)乂={1,2,3},T={X,。,⑵3}},則。,丁）是（）

①7；空間②7；空間③心空間④以上都不對答案：④

6

89、設(shè)乂={1,2,3},T={X，0，{L3}},則?,丁)是()

①7；空間②匯空間③心空間④以上都不對答案：④

90、設(shè)乂={1,2,3},T={X,0,{1,2}},則。,丁)是()

①八空間②7；空間③篤空間④以上都不對答案：④

91、設(shè)*={1,2,3},T={X,0,{1},⑵,{1,2}},則。,丁)是()

①"空間②7；空間③T2空間④以上都不對答案：①

92、設(shè)X是一個拓撲空間，若X的每一個單點集都是閉集，

則X是（）

①正則空間②正規(guī)空間③7；空間④7；空間答案：③

93、設(shè)X是一個拓撲空間，若X的每一個有限子集都是閉集，

則X是（）

①正則空間②正規(guī)空間③7；空間④7；空間答案：③

94、設(shè)X是一個拓撲空間，若對VxwX及x的每一個開鄰域U,都存在x的一個開鄰域V,使得MuU,

則X是（）

①正則空間②正規(guī)空間③7；空間④7；空間答案：①

95、設(shè)X是一個拓撲空間，若對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U,都存在A的一個開鄰域V,

使得MuU,則X是（）

①正則空間②正規(guī)空間③7；空間④7；空間答案：②

96、設(shè)X={1,2,3},T={X,0,{1},{2,3}},則小,丁）是（）

①及空間②7；空間③7；空間④正規(guī)空間答案：④

97、設(shè)X={1,2,3},T={X,0,{2},{1,3}},則?,?。┦牵ǎ?/p>

①Z）空間②7；空間③7；空間④正規(guī)空間答案：④

98、設(shè)*={1,2,3},T={X,0,{3},{1,2}},則0,?。┦牵ǎ?/p>

①”空間②7；空間③4空間④正則空間答案：④

99、設(shè)乂={1,2,3},T={X,。,⑴,{2},{1,2}},則5,?。┦牵ǎ?/p>

①心空間②正則空間③方空間④正規(guī)空間答案：④

100、設(shè)乂={1,2,3},T={X/,{1},{3},{1,3}},則（乂,?。┦牵ǎ?/p>

①72空間②正則空間③看空間④正規(guī)空間答案：④

101、設(shè)*={1,2,3},T={X,0,{2},{3},{2,3}},則（X,T）是（）

①72空間②正則空間③方空間④正規(guī)空間答案：④

102、若拓撲空間X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間X是一個（）

①連通空間②道路連通空間③緊致空間④可分空間答案：③

103、緊致空間中的每一個閉子集都是（）

①連通子集②道路連通子集③緊致子集④以上都不對答案：③

104、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是（）

①連通子集②開集③閉集④以上都不對答案：③

7

105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集是（）

①連通子集②開集③閉集④以上都不對答案：③

106、拓撲空間X的任何一個有限子集都是（）

①連通子集②緊致子集③非緊致子集④開集答案：②

107、實數(shù)空間R的子集A={1,2,3}是（）

①連通子集②緊致子集③開集④非緊致子集答案：②

108、實數(shù)空間R的子集A={1,2,3,4}是（）

①連通子集②緊致子集③開集④非緊致子集答案：②

109、如果拓撲空間X的每個緊致子集都是閉集，則乂是（）

①7；空間②緊致空間③可數(shù)補空間④非緊致空間答案：①

二、填空題（每題1分）

1、設(shè)乂={〃/},則X的平庸拓撲為;答案：T={X,。}

2、設(shè)*={兄。},則乂的離散拓撲為洛案：T={X,</>,{a},}

3同胚的拓撲空間所共有的性質(zhì)叫;答案：拓撲不變性質(zhì)

4、在實數(shù)空間斤中，有理數(shù)集0的導集是.答案：R

5、當且僅當對于x的每一鄰域。有；答案：Uc（A—{x}）w。

6、設(shè)A是有限補空間X中的一個無限子集，則d（A）=;答案：X

7、設(shè)A是有限補空間X中的一個無限子集，則入=;答案：X

8、設(shè)A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集，則d（A）=;答案：X

9、設(shè)A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集，則彳=;答案：X

10、設(shè)X={1,2,3},X的拓撲T={X,0,{2},{2,3}},則X的子集A={1,2}的內(nèi)部

為;答案：{2}

11、設(shè)X={1,2,3},X的拓撲T={X,0,{I},{2,3}},則X的子集A={1,3}的內(nèi)部

為;答案：{1}

12、設(shè)X={1,2,3},X的拓撲T={X,0,{1},{2,3}},則X的子集A={1,2}的內(nèi)部

為;答案：⑴

13、設(shè)X={1,2,3},X的拓撲T={X,0,{2},{2,3}},則X的子集A={1,3}的內(nèi)部

為;答案：劭

14、設(shè)乂=他力,或，則乂的平庸拓撲為;答案：T={X,。}

15、設(shè)*={。,。?,則X的離散拓撲為;答案：T={X,（f）,{a},[b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}

16、設(shè)X={1,2,3},X的拓撲T={X,0,{2},{3},{2,3}},則X的子集A={1,3}的內(nèi)部

為;答案：{3}

17、設(shè)X={1,2,3},X的拓撲T={X,0,{1},⑶,{1,3}},則X的子集A={1,2}的內(nèi)部

為;答案：⑴

18、/：x->y是拓撲空間x到y(tǒng)的一個映射，若它是一個單射，并且是從x到它的象集/（X）的一個

同胚，則稱映射/是一個.答案：嵌入

8

19、/：x-丫是拓撲空間x到y(tǒng)的一個映射，如果它是一個滿射，并且y的拓撲是對于映射了而言的

商拓撲，則稱/是一個；答案：商映射

20、設(shè)x,y是兩個拓撲空間，/：x9丫是一個映射，若x中任何一個開集u的象集/（U）是y中的一

個開集，則稱映射/■是一個；答案：開映射

21、設(shè)x,y是兩個拓撲空間，/：x->y是一個映射，若x中任何一個閉集u的象集八。）是y中的一

個閉集，則稱映射/是一個；答案：閉映射

22、若拓撲空間X存在兩個非空的閉子集A,8,使得ACB=4,A9B=X，則X是一

個;答案：不連通空間

23、若拓撲空間X存在兩個非空的開子集,使得AcB=0，Au8=X，則X是一

個；答案：不連通空間

24、若拓撲空間X存在著一個既開又閉的非空真子集，則X是一個；答案：不連通空間

25、設(shè)y是拓撲空間x的一個連通子集，zux滿足yuZuF,則z也是x的一個；

答案：連通子集

26、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則

稱這個性質(zhì)是一個;答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)

27、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性

質(zhì)是一個;答案：可商性質(zhì)

28、若任意〃21個拓撲空間X”X2，,乂“，都具有性質(zhì)產(chǎn)，則積空間*2乂2*—><乂.也具有性質(zhì)「,則

性質(zhì)P稱為;答案：有限可積性質(zhì)

29、設(shè)X是一個拓撲空間，如果X中有兩個非空的隔離子集A,8,使得Au5=X，則稱X是一

個；答案：不連通空間.

30、若X1,Xz滿足第一可數(shù)性公理，則積空間X|XX2滿足L答案：第一可數(shù)性公理

31、若%,乂2滿足第二可數(shù)性公理，則積空間XxX?也滿足L答案：第二可數(shù)性公理

32、如果一個拓撲空間具有性質(zhì)P,那么它的任何一個子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)P

為；答案：可遺傳性質(zhì)

33、設(shè)。是拓撲空間X的一個子集，且力=X，則稱。是X的一個；答案：稠密子集

34、若拓撲空間X有一個可數(shù)稠密子集，則稱X是一個；答案：可分空間

35、設(shè)X是一個拓撲空間，如果它的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱X是一個；

答案：LindelOff空間

36、如果一個拓撲空間具有性質(zhì)P,那么它的任何一個開子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)P

為；答案：對于開子空間可遺傳性質(zhì)

37、如果一個拓撲空間具有性質(zhì)P,那么它的任何一個閉子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)P

為;答案：對于閉子空間可遺傳性質(zhì)

38、設(shè)X是一個拓撲空間，如果則稱X是一個叫空間；

答案：X中任意兩個不相同的點中必有一個點有一個開鄰域不包含另一點

39、設(shè)X是一個拓撲空間，如果則稱X是一個7；空間；

9

答案：X中任意兩個不相同的點中每一點都有一個開鄰域不包含另一點

40、設(shè)X是一個拓撲空間，如果則稱X是一個T2空間；

答案：X中任意兩個不相同的點各自有一個開鄰域使得這兩個開鄰域互不相交

41、正則的7；空間稱為；答案：7；空間

42、正規(guī)的7；空間稱為；答案：7；空間

43、完全正則的7；空間稱為；答案：（5空間或Tychonoff空間

44、設(shè)X是一個拓撲空間.如果X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間X是一

個.答案：緊致空間

45、設(shè)x是一個拓撲空間，y是x的一個子集.如果丫作為x的子空間是一個緊致空間，則稱丫是拓撲

空間X的一個.答案：緊致子集

46、設(shè)X是一個拓撲空間.如果X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓撲空間X是一

個.答案：可數(shù)緊致空間

47、設(shè)X是一個拓撲空間.如果X的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓撲空間X是一

個.答案：列緊空間

48、設(shè)X是一個拓撲空間.如果X中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓撲空間X是一

個,答案：序列緊致空間

三.判斷（每題4分，判斷1分，理由3分）

1、.從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射（）答案：J

理由：設(shè)x是離散空間，y是拓撲空間，/：x-丫是連續(xù)映射，因為對任意Auy,都有/T（A）UX,

由于x中的任何一個子集都是開集，從而/T（A）是x中的開集，所以—y是連續(xù)的.

2、設(shè)丁|,12是集合X的兩個拓撲，則T|CT2不一定是集合X的拓撲（）答案：X

理由：因為⑴丁,丁2是X的拓撲，故X，0wT“從而X,0eT|CT2；

（2）對任意的A,6G「CTZ,則有且A,6GTZ,由于T,,T?是X的拓撲，故

且ACBGT?,從而24cBeT1CT2；

（3）對任意的T'uT]cT?，則T'uT”T'<=丁2，由于「，T?是X的拓撲，從而U,GTUITI,

U，€r"WT2,故UrWr在TCTz;綜上有TiCTz也是X的拓撲.

3、從拓撲空間X到平庸空間丫的任何映射都是連續(xù)映射（）答案：J

理由：設(shè)fy是任一滿足條件的映射，由于y是平庸空間，它中的開集只有匕“，易知它們在/

下的原象分別是x,。，均為x中的開集，從而/：x->y連續(xù).

4、設(shè)A為離散拓撲空間X的任意子集，則d（A）=。（）答案：J

理由：設(shè)〃為X中的任何一點，因為離散空間中每個子集都是開集，

所以｛p｝是X的開子集，且有｛p｝（A—｛p｝）=0,即p史d（A）,從而d（4）=。.

5、設(shè)A為平庸空間X（X多于一點）的一個單點集，則d（A）=。（）答案：X

理由：設(shè)4=｛用，則對于任意x有唯一的一個鄰域X,且有yeXc（A—x）,從而

Xc（A—X）H。，因此x是A的一個凝聚點，但對于y的唯一的鄰域X,有Xc（4—y）=。，所以有

d（A）=X—A

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6、設(shè)A為平庸空間X的任何一個多于兩點的子集，則d（A）=X（）答案：J

理由：對于任意xeX,因為A包含多于一點，從而對于x的唯一的鄰域X,且有XC（A—X）H。，因

此x是A的一個凝聚點，即xed（A）,所以有d（A）=X.

7、設(shè)X是一個不連通空間，則X中存在兩個非空的閉子集A,8,使得ACB=0,AD8=X（）答

案：V理由：設(shè)X是一個不連通空間，設(shè)是X的兩個非空的隔離子集使得AuB=X，顯然

A8=。，并且這時有：^=ACX=（BCA）U（8CB）=3從而6是X的一個閉子集，同理可證

A是X的一個閉子集，這就證明了A,B滿足AC8=0,ADB=X.

8、若拓撲空間X中存在一個既開又閉的非空真子集，則X是一個不連通空間（）案：V

理由：這是因為若設(shè)A是X中的一個既開又閉的非空真子集，令5=4,則A3都是X中的非空閉

子集，它們滿足AD3=X,易見A,8是隔離子集，所以拓撲空間X是一個不連通空.

9、設(shè)拓撲空間X滿足第二可數(shù)性公理，則X滿足第一可數(shù)性公理（）答案：V

理由：設(shè)拓撲空間X滿足第二可數(shù)性公理，B是它的一個可數(shù)基，對于每一個xeX,易知

B,={8eB|xeB}是點x處的一個鄰域基，它是B的一個子族所以是可數(shù)族，從而X在點x處有

可數(shù)鄰域基，故X滿足第一可數(shù)性公理.

10、若拓撲空間X滿足第二可數(shù)性公理，則X的子空間丫也滿足第二可數(shù)性公理（）答案：V

理由：由于x滿足第二可數(shù)性公理，所以它有一個可數(shù)基B,因為y是x的子空間，則

B|y={BcY|BeB}是丫的一個可數(shù)基，從而X的子空間丫也滿足第二可數(shù)性公理.

11、若拓撲空間X滿足第一可數(shù)性公理，則X的子空間丫也滿足第一可數(shù)性公理（）答案：V

理由：由于X滿足第一可數(shù)性公理，所以對VxeY,X在點x處有一個可數(shù)鄰域基V,,因為丫是X

的子空間，則vjy={Vcy|VeVj是y在點x的一個可數(shù)鄰域基，從而x的子空間y也滿足第

一可數(shù)性公理.

12、設(shè)乂={1,2,3},T={X,0,{2},{3},{2,3}},則（X,T）是汽空間.（）答案：X

理由：因為{1,3}是X的一個閉集，對于點2和{1,3}沒有各自的開鄰域互不相交，所以X不是正則

空間，從而不是刀空間.注：也可以說明X不是7；空間.

13、設(shè)乂={1,2,3},T={X,0,{1},{2},{1,2}},則（X,T）是7；空間.（）答案：X

理由：因為{2,3}是X的一個閉集，對于點1和{2,3}沒有各自的開鄰域互不相交，所以X不是正則

空間，從而不是7；空間.注：也可以說明X不是7；空間.

14、設(shè)乂={1,2,3},T={X,0,{1},{3},{1,3}},則（X,T）是7；空間.（）答案:X

理由：因為對于點1和點2,2沒有開鄰域不包含1,從而X不是7；空間.

注：也可以考慮點2和點3.

15、設(shè)乂={1,2,3},T={X,0,{1},