5.3.1函數的單調性（第2課時）復習回顧1.函數f(x)的單調性與導函數f′(x)的正負之間的關系：

在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增；

在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞減.

2.在區(qū)間(a,b)上f′(x)>0是函數f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數的充要條件嗎？充分不必要條件.

二次函數是一類重要的函數，之前我們已經學習過二次函數的單調性，而三次函數的導函數是二次函數，所以三次函數也是一類特殊而重要的函數，那么三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的單調性如何呢？這里我們不妨以一具體的三次函數為例進行研究.新知探究解：

x=-1和x=2把函數定義域劃分成三個區(qū)間，f′(x)在各個區(qū)間的正負，以及f(x)的單調性如表所示：x(－∞,－1)－1(－1,2)2(2,+∞)f′(x)f(x)xyO-11?2?判斷函數y=f(x)的單調性的步驟：

第1步，確定函數的定義域；

第2步，求出導數f′(x)的零點；

第3步，用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性.方法總結注意：如果一個函數具有相同單調性的單調區(qū)間不止一個時，應用“及”“和”等連接或直接用逗號隔開，不能寫成并集的形式．變式1.設f(x)=ax3+x恰有三個單調區(qū)間,試確定a的取值范圍,并求其單調區(qū)間.解:若a>0,對一切實數恒成立,此時f(x)只有一個單調區(qū)間,矛盾.若a=0,此時f(x)也只有一個單調區(qū)間,矛盾.若a<0,則,易知此時f(x)恰有三個單調區(qū)間.故a<0,其單調區(qū)間是:單調遞增區(qū)間:單調遞減區(qū)間:和變式練習解析易知f′(x)＝3x2－a.因為f(x)在R上單調遞增，所以f′(x)≥0恒成立，即a≤3x2恒成立，故a≤(3x2)min＝0.經檢驗，當a＝0時，符合題意，故實數a的取值范圍是(－∞，0]．變式2.已知函數f(x)＝x3－ax－1(a∈R)．若函數f(x)在R上單調遞增，則實數a的取值范圍為________.變式3.解析因為f′(x)＝x2－3x＋a，又函數f(x)的單調遞減區(qū)間為[－1,4]，所以－1,4是方程f′(x)＝0的兩根．所以a＝－1×4＝－4.例2.已知函數f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，討論f(x)的單調性．(1)涉及含參數的函數的單調性問題，一定要判斷參數對導數f′(x)在某一區(qū)間上的正負是否有影響．若有影響，則必須分類討論，討論時要做到不重不漏，最后進行總結．(2)求含參函數y＝f(x)的單調區(qū)間，實質上就是解含參數的不等式f′(x)>0，f′(x)<0.感悟提升討論含參函數的單調性的關鍵點:鞏固練習探究:研究對數函數y=lnx與冪函數y=x3在區(qū)間(0,＋∞)上增長快慢的情況.xyO(2)xyO1?(1)

一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得較快，這時函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數在這個范圍內變化得較慢，函數的圖象就比較“平緩”.xyO(2)xyO1?(1)導數的絕對值變化函數圖象變化趨勢變大“陡峭”變小“平緩”xyO解：B鞏固練習1.函數單調性與導數符號的關系是：2.判定函數