第十五章狹義相對論基礎(chǔ)

一、基本要求

1.理解愛因斯坦狹義相對論的兩個基本假設(shè)。

2.了解洛侖茲變換及其與伽利略變換的關(guān)系；掌握狹義相對論中同時的相

對性，以及長度收縮和時間膨脹的概念，并能正確進(jìn)行計算。

3.了解相對論時空觀與絕對時空觀的根本區(qū)別。

4.理解狹義相對論中質(zhì)量和速度的關(guān)系，質(zhì)量和動量、動能和能量的關(guān)系，

并能分析計算一些簡單問題。

二、基本內(nèi)容

1.牛頓時空觀

牛頓力學(xué)的時空觀認(rèn)為，物體運(yùn)動雖然在時間和空間中進(jìn)行，但時間的流逝

和空間的性質(zhì)與物體的運(yùn)動彼此沒有任何聯(lián)系。按牛頓的說法是“絕對空間，就

其本性而言，與外界任何事物無關(guān)，而永遠(yuǎn)是相同的和不動的。”，“絕對的，真

正的和數(shù)學(xué)的時間自己流逝著，并由于它的本性而均勻地與任何外界對象無關(guān)地

流逝著?！币陨暇蜆?gòu)成了牛頓的絕對時空觀，即長度和時間的測量與參照系無關(guān)。

2.力學(xué)相對性原理

所有慣性系中力學(xué)規(guī)律都相同，這就是力學(xué)相對性原理（也稱伽利略相對性

原理）。力學(xué)相對性原理也可表述為：在一慣性系中不可能通過力學(xué)實驗來確定

該慣性系相對于其他慣性系的運(yùn)動。

3.狹義相對論的兩條基本原理

（1）愛因斯坦相對性原理：物理規(guī)律對所有慣性系都是一樣的，不存在任

何一個特殊的（例如“絕對靜止”的）慣性系。

愛因斯坦相對論原理是伽利略相對性原理（或力學(xué)相對性原理）的推廣，它

使相對性原理不僅適用于力學(xué)現(xiàn)象，而且適用于所有物理現(xiàn)象。

（2）光速不變原理：在任何慣性系中，光在真空中的速度都相等。

光速不變原理是當(dāng)時的重大發(fā)現(xiàn)，它直接否定了伽利略變換。按伽利略變換,

光速是與觀察者和光源之間的相對運(yùn)動有關(guān)的。這一原理是非常重要的。沒有光

速不變原理，則愛因斯坦相對性原理也就不成立了。

這兩條基本原理表示了狹義相對論的時空觀。

4.洛侖茲變換

（K系->K'系）

①當(dāng)￡-0,y=l得尤'=x-加，y'=y,z，=z,f'=f,洛侖茲變換就變成伽利略

變換。

②“>c,1-尸2<0,洛侖茲變換失去意義。故相對論指出，物體運(yùn)動速度不

能超過真空中光速。

③在狹義相對論中洛侖茲變換是兩條基本假設(shè)的直接結(jié)果。

5.狹義相對論的時空觀

狹義相對論的時空觀認(rèn)為，時間和空間有密切的聯(lián)系，時間、空間與物質(zhì)運(yùn)

動是不可分割的，根本不存在脫離了物質(zhì)運(yùn)動的絕對時間和絕對空間。其中包括

同時的相對性，長度的收縮，時間的延遲等都反映了狹義相對論的時空觀。

(1)同時性的相對性

在某慣性系中同時發(fā)生的兩個事件，在另一相對它運(yùn)動的慣性系中并不一定

同時發(fā)生。如兩事件在K系中同時異地的發(fā)生，在系中的觀察者觀測這兩事

件必定不是同時發(fā)生的。由洛侖茲變換式可得

一￡）--—%））

C

顯然，L=4，X產(chǎn)/，則。一尸0,兩事件在K，系中不同時發(fā)生。

所以同時性是相對的。

(2)時間膨脹

一個事件所經(jīng)歷的時間的量度也與參照系有關(guān)。若一事件在K系中X=5處

發(fā)生，起始于L時刻、終止于〃時刻、經(jīng)歷時間為加=々-0。定義在相對于事

件發(fā)生的地點為靜止的參照系（如K系）中測得的時間間隔為固有時（或原時）,

用飛=，2-°

則在相對K系勻速運(yùn)動的K，系中測得此時間間隔為△「=,稱△廣為運(yùn)

動時，用7表示，則由洛侖茲變換式得運(yùn)動的鐘變慢的公式

顯然7〉品，稱為運(yùn)動的時鐘變慢或時間膨脹效應(yīng)。時間膨脹是一種相對論

效應(yīng)，不是鐘的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有了什么變化。若在K系中測得時間為7°,則在K系

中測得時間間隔為T,仍有7="^,這與第一條基本假設(shè)一致。在。<<6■時,

r=r0,與牛頓絕對時空觀相符。

（3）長度收縮

設(shè)一固定在K系中的物體，它沿x軸的長度，在K系測得為/=》2-七（K系

相對于物體沿x方向無相對運(yùn)動），/稱為該物體的固有長度。則在相對K系沿x

方向相對勻速運(yùn)動的K系中，在某時刻「測得該物體長度r=xh-居（應(yīng)在同時

測出則有

P=Q1—-

即r</。這個效應(yīng)稱為長度收縮。

注意：①長度收縮為一相對論效應(yīng)，物體運(yùn)動速度越大，此效應(yīng)越顯著。當(dāng)

o?c時，「=/,收縮效應(yīng)幾乎顯示不出來。②在與相對速度。垂直方向上「=/,

即與相對速度垂直的方向上無長度收縮效應(yīng)。③一般說來，這個長度收縮效應(yīng)用

肉眼很難看到。因為用肉眼看物體時，除有相對論效應(yīng)外，還有光學(xué)效應(yīng)。

6.質(zhì)量與速度的關(guān)系

注意：①物體的運(yùn)動質(zhì)量相與物體相對觀察的運(yùn)動速度U相關(guān)。此處加與經(jīng)

典力學(xué)中變質(zhì)量問題不同。②當(dāng)。<<C,機(jī)一外,回到經(jīng)典力學(xué)中，可認(rèn)為質(zhì)

量與物體運(yùn)動無關(guān)。③光子的靜止質(zhì)量為=0O

7.相對論力學(xué)的基本方程

上式當(dāng)o?c,又回到牛頓第二定律。

8.質(zhì)量和能量關(guān)系

物體的靜止能量E。=〃?“2（物體相對于觀察者靜止時的能量）

物體的運(yùn)動能量七=機(jī)。2（物體相對于觀察者以。的速度運(yùn)動時的能量）

相對論動能E&=加。2-恤/

22

質(zhì)能關(guān)系式E=me,Eo=m0c

9.動量和能量關(guān)系

2222224

E=cp+E^=cp+m0c

式中p為動量，相對論動量〃=曾建

上式具有極重要的意義，它反映了動量和能量間的關(guān)系，也反映了動量和能

量的不可分割性和統(tǒng)一性，如同時間與空間的不可分割性與統(tǒng)一性一樣。如光子,

加°=0,但光子動量為P=￡,光子的質(zhì)量機(jī)=與。

cC

三、習(xí)題選解

15-3一質(zhì)點在慣性系V中作勻速圓運(yùn)動，軌跡為小+嚴(yán)=。2"，=0

（1）試證明對另一慣性系S（S以速率〃沿V正向相對于V運(yùn)動）中觀察

者來說，這一質(zhì)點的運(yùn)動軌跡為一橢圓，橢圓的中心以速率“運(yùn)動；

（2）若不考慮相對論效應(yīng)，又將如何?

解：（1）S以速率〃沿x，正向相對于S，運(yùn)動，根據(jù)洛侖茲變換

,x+ut

X=7,^y=y

2

代入％'+產(chǎn)=a

(x+Ut)222

得a

MI-U)22y~

-^C4=i

a-(\-J3-)+a-

故對慣性系S中的觀察者，質(zhì)點運(yùn)動軌跡為橢圓，半長軸和半短軸分別為a

和ajl—力2,橢圓中心以速率〃運(yùn)動。

（2）若不計相對論效應(yīng)，把+W和代入產(chǎn)+嚴(yán)=標(biāo)得

（x+ut）2+y2=a2

在S系中觀察者看仍為圓，圓心以速率〃運(yùn)動。

15-4設(shè)9系相對于S系以速率a=0.8c沿x軸正向運(yùn)動，在V系中測得兩個

事件的空間間隔為加餐300〃?，時間間隔為△r=i.0xi（r6s,求s系中測得兩個事

件的空間間隔和時間間隔。

解：設(shè)s系中兩事件的坐標(biāo)為（X"|）和（々?。?，在卜系中兩事件的坐標(biāo)

為（?,t\）和（均,t'2）,根據(jù)洛侖茲變換

,

Ax=x2—Xj=y(x2+wf2)—/(x'j+w/*!)

=x，i)+

Ax*uAf

把Ar'=300也"=l.Ox10?s,"=0.8c代入上式

Ax=500m+400m=900m

X-y(f2+—x'2)-/(/]+彳)=加，+彳必

=1.666x10%+1.333x10%=3x10%

15-5在宇宙飛船上的人從飛船后面向前面的靶子發(fā)射一顆高速子彈，此人

測得飛船長60機(jī)，子彈的速率是0.8c,求當(dāng)飛船對地球以0.6c的速率運(yùn)動時，地

球上的觀察者測得子彈飛行的時間是多少？

解：以飛船為參照系SL飛船長度—=總-到=60/〃,子彈射中靶子的飛行

時間為加，=2二=也，以地面為參照系S,子彈飛行的時間為

0.8c0.8c

Af=?2f■—fX'2)—■一)

cc

=/aT'l)+/彳(x’2W)=W+7彳Ax'

cc

1U.,

=.=7Ar+,=-Ar

PF戶算

=4.625x10-7§

15-6一短跑選手，在地球上以10s的時間跑完100m，在飛行速率為0.98c的

飛船中觀察者看來，這選手跑了多長時間和多長距離？設(shè)飛船運(yùn)動與選手奔跑同

方向。

解：以地球為參照系S,選手跑過的距離X=100〃?，所用時間為

&=，2-乙=10s,飛船速率〃=0.98c,由洛侖茲變換，以飛船為參照系S，，選手跑

了的距離為

AY=X’2Tl-/(%一〃幻—八七~Ut\)

=/(x2.X1)—yu(t2_G=7Ax-yu\t

=i1(Ax-必=-1.48x10“。％

PF

選手用的時間為Af=t'2-t\=/(r9-x2)-/(r,-x,)

c.c

=j1(Ar-=Ax)=50.25s

L(0.98c)2c

15-7設(shè)想有一艘飛船，以M=0.8C的速率在地球上空飛行。從飛船上沿飛船

速度方向拋出一物體，該物體相對于飛船的速率為0.9c,問從地面上觀察該物的

速率為多少？

解：根據(jù)洛侖茲速度變換，地面上觀察該物的速率為

v'x+u

把"=0.8c',%=0.9c代入上式，得=0.988Co

15-8兩艘宇宙飛船相互靠近。

(1)若每艘飛船相對于地球之速率為0.6c,那么一艘飛船相對于另一艘之速

率各為多少？

(2)若每艘飛船相對于地球之速率為3xl()4〃2.sT,那么，一艘飛船相對于另

一艘的速率為多少？

解：(1)設(shè)地球為參照系S,一飛船為參照系V。相對于S以速率M=0.6c

沿S系x軸正方向運(yùn)動。另一飛船對地球的速率為%=-0.6c。由洛侖茲速度變

換，兩飛船之相對運(yùn)動速率為嘰=幺」=-0.882c

1-華

(2)若〃=3xl()4m=-3xl04m-5-1則

v\=———=-6xl04m-^-1,

i憶

17

由此可見，在M?C時，洛倫茲速度變換就過渡到伽俐略速度變換式。

15-9一束光在9系里以速率c沿y軸正向運(yùn)動，而'系以速率〃相對于S

系沿X軸正向運(yùn)動。

(1)求出光速在S系的X分量和y分量；

(2)證明在S系里光速仍為c；

(3)求光在S系中傳播的方向

解：(1)在9系中光速沿v軸和y軸的分量為*=o,%=c。在s系中根據(jù)

洛侖茲速度變換可得，此光束在x軸和y軸的速度分量

v'+u

%=-匕,，="

(2)證明：在S系中的光速為

/22[~22~C2U2

+%寸-+c--丁

故在S系中光速的大小仍為C。

(3)設(shè)在s系中光速與x軸夾角為e

?%,cLu2P~~

tan0=—==J--1

15.10在S系中觀察到兩個事件同時發(fā)生在x軸上，其間距是加，在6系中

觀察這兩個事件之間的距離是2根，求在V系中觀察這兩個事件的時間間隔。

解：在系中兩事件之間的距離為

Ar'=x'2-x\=/(x2-ut2)-/(Xj_〃?)=ylsx-yubt

把Ax=Im,Ax'=2八加=0代入上式得

/=2u——

2

V系中兩事件的時間間隔為

加'=/?2-=々)--二為)=加-4Ax=-0.577x103

■CCC

故兩事件的時間間隔在V系中為0.577X10-8秒。

15-11一米尺相對于你以"=0.6c,的速率平行于尺長方向運(yùn)動，你測得米尺

長為多少？米尺通過你得花多少時間？

解：設(shè)米尺為參照系S1你為參照系S。由洛侖茲變換，6系中米尺的長度

Ax'=1m

Ax*=x'2—x\-y(x2—ut2)—-ut{)

=y(x2-X])-w?2F)

S系中的你在同一時刻測量米尺，故/2=4，你測得米尺長度為

._Ax'_,1_U_卜（0.6c）2_

AuX=W-“1=—=八（11—~=1x[1-----7—=0.8根

米尺通過你所花時間為7=^=91=0.444x10-85

u0.6c

15-12斜放的直尺以速率〃相對于慣性系S沿x方向運(yùn)動，它的固有長度為

1°,在與之共動的慣性系V中它與才軸的夾角為夕。試證明：對于S系的觀察者

來說，其長度/和與x軸的夾角6分別為/=/。、1-土

vC2^-u2/c2

證：S'系中尺子的長度為固有長度/。，小=，ocos夕.=/“sin夕。在S系中

UOxUoyO

測得尺長為/，與X軸夾角為。。直尺長度收縮只沿運(yùn)動方向（X軸）發(fā)生，/在

X軸和）軸的分量為

lx-Icosff=—

Y

ly=/sin。=loy.=losinO'

9cos6'Jl—!)2+(/°sine')2

故

2

="cos**22

cos夕+sin2O'=ZocosO'

lsin6?'tan，'

tan/9o

I。cos''J1-3

15-13/介子是不穩(wěn)定的，它在衰變之前存在的平均壽命（相對于它所在

的參考系)約為2.6x10%。

(1)如果一介子相對于實驗室運(yùn)動的速率為0.8c,那么，在實驗室中測得它

的平均壽命是多少？

(2)衰變之前在實驗室中測得它運(yùn)動的距離是多少？

解：設(shè)萬+介子所在參照系為SL它的本征壽命△r=2.6x10-',實驗室所在

參照系測得萬+介子的壽命為4,運(yùn)動的距離為以

(1)一介子在V系中靜止，故A/=0

,u.

Ar=ybt+/—Ax

c

-yZ'-尸=4.33x10

(2)Ax=uAt-0.8cA/^=0.8x3x108x4.33xIO-8=10.4m

15-14從地球上測得地球到最近的恒星半人馬座a星的距離是4.3xl(y6〃?，

設(shè)一宇宙飛船以速率0.999c從地球飛向該星。

(1)飛船中的觀察者測得地球和該星間的距離為多少？

(2)按地球上的鐘計算，飛船往返一次需多少時間？如以飛船上的鐘計算，

往返一次的時間又為多少？

解：(1)設(shè)飛船為參照系V,地球為參照系S。S系中地球與半人馬座。星

16

的距離Ar=x2-%)=4.3X10OT

設(shè)在S1系中同一時刻，測量地球與該星的距離為Ax'o由長度收縮效應(yīng)得

Ax=x2-%)=心/

(0.999c)2

故"=竺=一1.92x10%

c2

(2)以地球鐘計算，飛船往返一次所需時間

,2Ar2x4.3x06

Af=---=-----------=2.87x1085=9.1年

U0.999c

以飛船鐘計算，往返一次所需時間

2Ar'_2xl.92xlQ15

1.28X1075=0.41年

0.999c

15-15地球上的觀察者發(fā)現(xiàn)一艘以速率0.6c向東航行的宇宙飛船將在5秒后

同一個以0.8c速率向西飛行的彗星相撞。

（1）飛船上的人看到彗星以多大速率向他們接近？

（2）按照他們的鐘，還有多少時間允許他們離開原來航線而脫險？

解：設(shè)地球為參照系5,x軸方向向東。飛船為參照系V,沿x軸以速率

“=0.6c相對于S系運(yùn)動。在S系中彗星速度%=-0.8c

（1）'系中彗星向飛船的接近速度為

(2)在S系中，設(shè)初始時刻r0=0,飛船在坐標(biāo)4處；在t=5s,飛船到達(dá)與

彗星的相撞點x

Ar=x-x0=0.6cx5=3c

在飛船參照系S'中，上述兩事件所發(fā)生的時刻為/'0和f

&'=』'()='(/-=x)-y?o--yA：0)=/(r-/0)-y-^-(x-x0)

ccc

,",、1"c、1k0.6c?.

A一/-----

=y(Af--Ax)=(5一一rx3c)=—(5———x3c)=4s

故按規(guī)定照飛船上的鐘，還有4秒他們與彗星相撞。

15-16把一個電子從靜止加速到0.1c,需對它作多少功？如果將電子從0.8c

加速到0.9c,又需對它作多少功？

m22

解：電子動能Ek=mc~-moc-=,°c-moc

把電子從速率H=0加速到％=（He時需做的功為電子動能的增量

4=3=Ek2-Eki

=4.13xl()T6/

同理把電子從速率0=0.8c力□速至U%=0.9。時需做功

pI

2

A,=A￡,=/?JOC(-^^=--,)=5.14x10*j

'A/1-0.92Vl-0.82

15-17已知實驗室中一個質(zhì)子的速率為0.99c,求它的相對論總能量和動量

是多少？動能是多少？(質(zhì)子靜質(zhì)量加0=1.67x10-27左g)

-27

解：質(zhì)子速率v=0.99c,靜質(zhì)量m0=1.67X10kg

質(zhì)子的總能量E1.07x1OV

質(zhì)子動量P=mv=FI=3.52xl()T隈

2

質(zhì)子動能Ek=me

=一°。一gc2=9.16xl(T")J

F?F

15-18一個靜質(zhì)量為人的質(zhì)點在恒力尸=人的作用下開始運(yùn)動，經(jīng)過時間

t,它的速度。和位移x各是多少？在時間很短U?mnc/F)和時間很長

(f〉＞加0c/F)的兩種極限情況下，。和x的值又各是多少？

解：根據(jù)相對論力學(xué)的基本方程

V

Fdt—

由初始條件r=0,o=0;f=/,。=。。等式兩邊積分

Fdt=

Ftc

d（旦）

m^c

由初始條件，=0,x=0；Z=f,x=x。等式兩邊積分

=Jvdt

oo

在時間很短的極限情況下，水〈二因

F

—r?l

在時間很長的極限情況下t>>?日

F

FtFt

----C

mcm.c

-----Q------rx—^(―c=c

Ft

rl/Ft、22

1+()m°c

moc

I?

=Q1l+(與1=應(yīng)&

FmQcFmQc

15-19一立方體，沿其一棱方向以速率“相對于觀察者運(yùn)動，試證明體積和

其中加。、匕各為其靜質(zhì)量、靜體積。

解：設(shè)立方體截面積為S,一棱長為/。，靜體積％=S/°。沿此棱方向以速

率〃相對于觀察者運(yùn)動，據(jù)長度收縮效應(yīng)，則觀察者測得此棱的長度/會縮短。

1=尸。

2

立方體的體積為V=/S=S/0Jl-^-=V0Jl--4

立方體的質(zhì)量

密度

15-20氫原子的結(jié)合能（從氫原子移去電子所需的能量）為13.6eV。當(dāng)電子

和質(zhì)子結(jié)合為氫原子時損失了多少質(zhì)量？

解：電子和質(zhì)子結(jié)合為氫原子時損失了能量

A￡=13.6eV=2.176x10*1

由質(zhì)能關(guān)系bE=c1Zn

損失的質(zhì)量為Am=華=2.42x1Of依

C

15-21試證：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場月中與月垂直的平面上作圓運(yùn)動時的軌道

半徑為R=QE°E廿EQ?

qBc

其中4、既、4分別為粒子的靜止能量、動能、電量。

證明：（1）帶電粒子在磁場中作圓周運(yùn)動，向心力為洛侖茲力

V2

qvB=m——

R

帶電粒子的運(yùn)動質(zhì)量m故

”,2

假設(shè)帶電粒子的軌道半徑為

(2EE+E2)2

[\一Qkk

qBc

2222

由E。=mQcEk=me-moc=z/zoc(7-1)

=叱獷