高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)階段檢測(cè)試卷5

第I卷（選擇題）

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一、單選題

1.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M是正方體ABC。-ABC。的側(cè)面4。力必上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），P是棱CG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程為巫

2

B.若保持IP"|=應(yīng)，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為（

C.三棱錐B-G"。的體積最大值為:

D.若M在平面AORA內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且=/，點(diǎn)M的軌跡為拋物線

2.如圖，在棱長(zhǎng)為3#的正方體42CO-AEG。中，點(diǎn)P是平面A8G內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且滿足|OP|+|P8,l=5+2而，則直線用尸與直線AR所成角的取值范圍為（）（參

43

考數(shù)據(jù)：sin530=-,sin370=-）

A.[37。，53。]B.[37。，90°]

C.[53。,90°]D.[37°,127°J

3.已知直線/與橢圓G：f+t=l切于點(diǎn)P,與圓C2:x2+y2=16交于點(diǎn)A3,圓C2在點(diǎn)

84

A8處的切線交于點(diǎn)Q,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOPQ的面積的最大值為

A.2>/2B.2C.72D.I

4.過點(diǎn)P作拋物線C:*2=2），的切線4，4,切點(diǎn)分別為M,N,若APMN的重心坐

標(biāo)為（1,1）,且P在拋物線。：/=如上，則。的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

A.（河B,］別C.仔0

5.已知二次函數(shù)y=x2-2x+nz（mw0）交x軸于4,8兩點(diǎn)（4,8不重合），交y軸于C點(diǎn).

圓M過A8,C三點(diǎn).下列說法正確的是

①圓心M在直線x=l上；

②加的取值范圍是（0是）；

③圓M半徑的最小值為1；

④存在定點(diǎn)N,使得圓M恒過點(diǎn)N.

A.①②③B.①③④C.②③D.①④

6.如圖，在圓錐S。中，A,8是。。上的動(dòng)點(diǎn)，88'是。。的直徑，M,N是SB的

兩個(gè)三等分點(diǎn)，ZAOB=e（^<e<^,記二面角N-04-8,45-3的平面角分

別為a,夕，若aS。,則。的最大值是（）

6

二、多選題

22

7.已知橢圓C:工+匯=1上有一點(diǎn)尸，斗鳥分別為左、右焦點(diǎn)，/￡尸鳥=。.△尸耳月的

169

面積為S,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若。=60。，則5=36B.若S=9,貝［|6=90°

試卷第2頁，共6頁

C.若為鈍角三角形，則SeD.橢圓C內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)范圍是（12,20]

8.已知梯形ABC。，AB=AD=^BC=\,ADIIBC,AD1AB,尸是線段BC上的動(dòng)

點(diǎn)；將△ABD沿著BO所在的直線翻折成四面體ABC。，翻折的過程中下列選項(xiàng)中正

確的是（）

A.不論何時(shí)，與A'C都不可能垂直

B.存在某個(gè)位置，使得A’。，平面48C

C.直線AP與平面8CO所成角存在最大值

D.四面體4BCD的外接球的表面積的最小值為4乃

第H卷（非選擇題）

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三、填空題

9.如圖，圓柱W的底面半徑為1,高為2,平面正是軸截面，點(diǎn)G,G分別是圓

弧ME,NF的中點(diǎn)，H在劣弧NQ上（異于N,G,）,H,G,@在平面MNEE的同

側(cè)，記二面角G-NH—/，G—/7/-N的大小分別為a,夕，則tana—a〃尸的取值范

圍為.

10.如圖所示，底面半徑為3,高為8的圓柱內(nèi)放有一個(gè)半徑為3的球，球與圓柱下底

面相切，作不與圓柱底面平行的平面a與球相切于點(diǎn)F,若平面a與圓柱側(cè)面相交所得

曲線為封閉曲線C,且C是以尸為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，則C的離心率的最大值為.

11.已知拋物線C：V=2Px(p>0)的焦點(diǎn)尸到其準(zhǔn)線的距離為2,圓懷(x-1)2+丁=I,

過尸的直線/與拋物線C和圓何從上到下依次交于A,P,。，B四點(diǎn)，則恒"+4怛。的

最小值為.

12.已知單位向量;，了，5兩兩的夾角均為。(0<，<〃，且夕工^),若空間向量不滿

^a=xi+yj+zk,(x,y,zeR),則有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)稱為向量。在“仿射”坐標(biāo)系

O-xyz(。為坐標(biāo)原點(diǎn))下的“仿射”坐標(biāo)，記作6=(x,y,z),，有下列命題：

①已知7=(13,—2)”b—(4,0,2)fl,貝。-6=0；

②已知￡=(x,y,0“，B=(0,0,Z)￡,其中x,y,z>0,則當(dāng)且僅當(dāng)x=，時(shí)，向量Z萬的夾

33

角取得最小值；

③已知”=(再,y,zJd,b=(x2,y2,z2)e，則a+3=(4+孫必+丫2，馬+22%；

④已知函=。，°，°)￡，麗=(0,1，。).，OC=(0,0,1).,則三棱錐O-ABC的表面積S=&.

333

其中真命題為(寫出所有真命題的序號(hào)).

四、解答題

試卷第4頁，共6頁

22i

13.已知橢圓C:,+O=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為上

(1)求橢圓C的程；

(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為凡右頂點(diǎn)為G,過點(diǎn)G的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S,與

橢圓交于點(diǎn)H,且破_Lx軸，過點(diǎn)S的另一直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)、，若S*SMG=65慚，

求直線MN的方程.

(3)圓錐曲線問題的關(guān)鍵一步是條件的翻譯，所以請(qǐng)同學(xué)們不用解答，翻譯下面的條

件，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式：

①若直線y=h+f與雙曲線￡-1=1(。>08>0)交于4、8兩點(diǎn)，與其漸近線交于C、D

a-b~

兩點(diǎn)，求證：AC=BD.

②橢圓的寧+y2=l左頂點(diǎn)為。，上頂點(diǎn)為B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),過點(diǎn)。的直線L

與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,與直線A8交于點(diǎn)Q,設(shè)L的斜率為K,若

微=3&sinNA。。，求斜率K的值.

③橢圓的《+產(chǎn)=1左頂點(diǎn)為4,過點(diǎn)A作直線/與橢圓交于另一點(diǎn)8,若直線/交y軸

4

于點(diǎn)C,且OC=8C,求直線/的斜率.

2

14.已知橢圓：^-+x2=\,過橢圓左頂點(diǎn)A的直線4交拋物線y2=2px(p>0)于B,C

4

兩點(diǎn)，且就=2與，經(jīng)過點(diǎn)C的直線4與橢圓交于。，E兩點(diǎn)，且4=-24.

(1)證明：直線4過定點(diǎn).

(2)求四邊形的面積最大值及P的值.

15.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》

一書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)”與兩定點(diǎn)Q,P的距

MQ\,、

離之比高='2>°乂#1，兀是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，

MP\'

圓心在直線尸。上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為f+丁=4,定點(diǎn)分

?21

別為橢圓C:,+}=l(a>人>0)的右焦點(diǎn)f與右頂點(diǎn)A,且橢圓C的離心率為e=；.

(2)如圖，過右焦點(diǎn)F斜率為左伙>0)的直線/與橢圓C相交于8,D(點(diǎn)6在x軸上

方)，點(diǎn)S,T是橢圓C上異于8,。的兩點(diǎn)，SF平分ZBSD,TF平分NBTD.

BS|

①求鬲的取值范圍；

②將點(diǎn)S、F、T看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若ASb外接圓的面積為券，求

O

直線/的方程.

22

16.已知點(diǎn)F為橢圓E：%+親■=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)

構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線：+]=1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M.

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)直線;+]=1與y軸交于尸，過點(diǎn)尸的直線/與橢圓E交于兩不同點(diǎn)A,B,若

A\PMf=\P^-\PB\,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

試卷第6頁，共6頁

參考答案

1.AB

【分析】

A選項(xiàng)，把兩個(gè)平面展開到同一平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間，線段最短進(jìn)行求解，注意展開方式

可能有多種；B選項(xiàng)，找到點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，再求解弧長(zhǎng)；C選項(xiàng)，利用

等體積法和建立空間直角坐標(biāo)系，求出//她的最大值，即為乙-CM最大值；D選項(xiàng)，在空

間直角坐標(biāo)系中利用余弦定理得到點(diǎn)M的軌跡方程為線段.

【詳解】

將平面ABB,A,與平面3CC蜴展開到同一平面內(nèi)，連接AP,此時(shí)AP=｛（l+l?+=半，

也可將平面ABC。與平面CDRG展開到同一平面內(nèi)，此時(shí)AP=J12+[I+；]=半，

叵〈叵，故A正確；

22

過點(diǎn)P作PE±。。交于點(diǎn)E,連接EM,則E為DDt的中點(diǎn)，PE=\,且PEL平面ADD,^,

EMu平面A￡>"A，所以因?yàn)橛煽芍?，EM=\IPM2-PE2=1>故M

在側(cè)面上得軌跡為以E為圓心，1為半徑的半圓，故點(diǎn)〃在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為

連接C18,CtD,BD,MD,MB,g,則比）=6。=?！?e，所以2際=￥'（回=乎,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則。（0,0,0）,80,1,0）,q（0,1,1）,設(shè)（0<m<l,0<?<1）,設(shè)平面&8。的

答案第1頁，共26頁

法向量為7=（x，y，z），則|；注二二°0,令片1，得：x=z=T,所以3=（-1/,-1）,

DW?川卜機(jī)一|機(jī)+〃]

設(shè)”（八0,〃）到平面GBD的距離為〃,則〃=故當(dāng)〃?=1,n=l

j+1+i-6

時(shí)，力取得最大值，為與二空,此時(shí)三棱錐B-GM。體積最大,

V33

B、D\_夜_后所以cosNMRB=半，連接M。，MB,因?yàn)镸（〃7,0,〃）,

cosNB\D\B=亞一耳一丁

(0<zn<l,0<n<l),所以MR=攢+(1)2,MB=yj(m-l)2+\+n2.

M邛+BD；—MB?2m-2n+2_5/6

cosNMD、B=化簡(jiǎn)得：（〃葉〃一lf=0,所以

2MD[BD\2y/3yjm2+(H-1)23

機(jī)+〃-1=0,可知M點(diǎn)的軌跡不是拋物線，D錯(cuò)誤.

答案第2頁，共26頁

故選：AB

【點(diǎn)睛】

對(duì)于立體兒何中的滿足一定條件下的點(diǎn)的軌跡問題，往往需要建立空間直角坐標(biāo)系來進(jìn)行求

解，當(dāng)然建立空間直角坐標(biāo)系還可以求解角度和距離，將幾何問題代數(shù)化可以大大減少思考

難度，提高做題效率.

2.B

【分析】

取BG的中點(diǎn)E，作點(diǎn)4在平面ABG內(nèi)的投影。，過。作。尸〃BG交4B于點(diǎn)F,連結(jié)4。、

AE,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。尸、0E、。片所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)尸a,y,0),利用iPD|+|PBj=?+Vi7求出的關(guān)系，然后根據(jù)

cos(西，西＞=懸需的范圍求角的范圍.

I尸4HgI

【詳解】

解：取BG的中點(diǎn)E,作點(diǎn)在平面A8G內(nèi)的投影。，過。作OF//BG交AB于點(diǎn)F,連

結(jié)及。、A.E,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OE、。用所在直線為x、y、z軸建立空間

根據(jù)題意，得。(0,0,-6),B,(0,0,3),B4卡，逑，0),C,(-|V6,逑，0),

2222

設(shè)P(X,y,()),

則麗=(-x,-N,-6),西=(-x,-y,3),螞=(-36，o,o),

■.]DP\+\PBt1=5+2713,

y]x2+y2+36+M+V+9=后+序，

x2+y2=i6,.-.|PSj=5,

答案第3頁，共26頁

記a為直線8f與直線8G所成的角，則a即為直線耳P與直線A"所成的角,

?"西'國(guó)>=湍猿丁蒜

???點(diǎn)尸的軌跡在平面48G內(nèi)是以。為圓心，4為半徑的圓,

4

.,.Y領(lǐng)k4,效k）s<西，西〉5-

又Qa為銳角或直角，???0^os<*,BC；>-,

44

,/sin53°=-,則cos37°=—

55

「?直線BF與直線AD.所成角的取值范圍為[37。,90°],

故選：B.

3.A

【分析】

設(shè)點(diǎn)P（x。,%）,。（八〃），利用四點(diǎn)Q，A,0,8共圓，求得以。。為直徑的圓，與已知圓

的方程相減得出直線AB的方程，直線與過點(diǎn)尸的橢圓的切線重合，兩個(gè)方程相等，可得

機(jī)=2x。,"=4%,再由橢圓的參數(shù)方程和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模，結(jié)合三角形的

面積公式和三角恒等變換以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)求出所求的最大值.

【詳解】

設(shè)P*0，%）,。?！?〃），由AQ_LA。，BQ130,可得四點(diǎn)Q,A,0,8共圓，

可得以。。為直徑的圓，方程為―學(xué)+⑺-今、”了，

聯(lián)立圓G：/+V=16,相減可得AB的方程為如+利-16=0,

又4B與橢圓相切，可得過戶的切線方程為警+*=1,即為2/x+4y°y-16=0,

由兩直線重合的條件可得〃7=2%,〃=4），°,

由于尸在橢圓上，可設(shè).J=2應(yīng)cosa,y0=2sina,0?a<2TT,

即有機(jī)=4夜cosa，〃=8sina,

uuuuuu

22

可得OPOQ=o+nyQ=16cosa+16sina=16,

且|OP|=xlscos2a+4sin2a=2>J\+cos2a,|OQ|=^31cos2a+64sin2a=4\f2xli+sin2a，

答案第4頁，共26頁

即有SA由?=gl而H詼l?sin<麗，OQ>=^(\OP\4OQ\)2-(OP^OQ)2

=g^/128(1+cos2a)(l+sin2a)-256=gJ128(2+siFacos？a)-256

=—^32siir2a=2>/2|sin2a|?2夜,當(dāng)sin加=±1即a=工或型或包或衛(wèi)時(shí),

24444

S&OPQ的面積取得最大值2忘.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和圓的方程的應(yīng)用，考查直線和橢圓、直線與圓相切的條件，以及運(yùn)用參數(shù)方

程和三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力與分析問題的能力，屬于難題.

4.A

【分析】

由已知設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為巾2與，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線《，4的方程，聯(lián)立求出交

點(diǎn)P坐標(biāo)x="且，》=羅，代入重心坐標(biāo)公式利用已知條件可求出P的坐標(biāo)為

再代入拋物線力：_/=WX方程，求出“，進(jìn)而求。的焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

/2X/2\

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為川西春，Nx2,^-,

2

由V=2y,得了=上，所以y=x,

2

故直線4的方程為y-f=x"…J,即），=中-1，

2

同理直線12的方程為y=x2x-^-,

答案第5頁，共26頁

聯(lián)立《，4的方程可得X=土產(chǎn)，y=竽，

2

X1+x2X]X；X龍2

設(shè)APAW的重心坐標(biāo)為(七,%),則_4+%+—--__2+2+2_1，

%=3=1%=3=1

即卜:*2=2_A所以則尸的坐標(biāo)為(1,—1),

IA-1+X?+X]X20IX]X2

將尸點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線。：V=加^,得至U(T>=mxl,解得加=1,

故。的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(；，0).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與拋物線的相切問題，三角形重心的坐標(biāo)公式以及拋物線的性質(zhì)，考查

了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

5.D

【分析】

根據(jù)圓的的性質(zhì)得圓心橫坐標(biāo)為1；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)與*軸有兩個(gè)焦點(diǎn)可得

加的取值范圍；假設(shè)圓方程為(》-1)2+(丫-力2=尸，用待定系數(shù)法求解，根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)和”?的取值范圍求圓半徑的取值范圍，再根據(jù)圓方程的判斷是否過定點(diǎn).

【詳解】

二次函數(shù)卜=工2-2_￥+〃?(,〃工0)的對(duì)稱軸為》=1,

因?yàn)閷?duì)稱軸X=1為線段A8的中垂線，

所以圓心在直線x=l上，故①正確；

因?yàn)槎魏瘮?shù)與x軸有兩點(diǎn)不同交點(diǎn)，

所以A=4—4加>0,即〃?<1,故②錯(cuò)誤；

不妨設(shè)A在5的左邊，則A(1—,C(0,w)

設(shè)圓方程為(x—l)2+(y—力J產(chǎn)，則

，2

(l-VT^-l)'+(0-^)2=r2…

:,解得，

+(/n-Z?)2=r2

.m+121/i\2i

b=------,廣=一("z—1)+1

24V7

答案第6頁，共26頁

因?yàn)椤?<1,所以尸=；(加一1)2+1>1即/?>1,故③錯(cuò)誤；

由上得圓方程為(XT)'+。一空尸+1.

即x2-2x+J—y-〃?(y—l)=0,恒過點(diǎn)N(O,1),故④正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的應(yīng)用，關(guān)鍵在于結(jié)合圖形用待定系數(shù)法求圓方程，曲線方程恒過定點(diǎn)問

題要分離方程參數(shù)求解.

6.B

【分析】

設(shè)底面圓的半徑為JOS=。,以夕8所在直線為X軸，以垂直于B4所在直線為y軸,以0s所

在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用法向量求得二面角N-04-3與

〃-河-3夾角的余弦值.結(jié)合a《尸即可求得。的取值范圍，即可得。的最大值.

【詳解】

設(shè)底面圓的半徑為『,OS=a,以夕B所在直線為x軸，以垂直于所在直線為)‘軸，以O(shè)S所

在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：

則由44。8=。(0<，<乃)

可得0(0,0,0)，網(wǎng)廠,0,0),S(0,0,a),A(rcos6,rsin0),夕(一八,0,0)

M,N是SB的兩個(gè)三等分點(diǎn)

則M*0,5,N《畔a

33

所以O(shè)Z=(rcos0,rsin^,0),0?/=

答案第7頁，共26頁

設(shè)平面NOA的法向量為機(jī)=（玉,加4）

(3,X,zJ?(rcos6,rsin8,0)=0

in-OA-0八、

則麻麗=。,代入可得

a，y,z)去嗚=。

cos6+yjsin6=0

化簡(jiǎn)可得，2中+%_0

—+T=

cos0_2r

令玉=1，解得》=-

sinJ'"a

cos3

所以衛(wèi))

'sin0'aJ

平面。Afi的法向量為"=（0,0,1）

由圖可知，二面角N-。4-8的平面角a為銳二面角，所以二面角的平面角a滿

足

m-n

cosa=

同洞|+鵬+二

sin-0a

設(shè)二面角用一43'-8的法向量為E=（X2，y2，Z2）

r八.八2a

B'A=[r+rcos0,rsin0,O),AM=--rcos^,-rsin6^,—

(x,y,z)(r+rcos0,rsin6,0)=0

第:沁可得222

則

(x2,y2,z2)J^-rcos0,-rsin亂仔)=0

.r2r+x2rcos0+y2rsin0=O

化簡(jiǎn)可得

x2r.△2az2八

——x2rcos6^-^2rsin^+—=0

,&力加-l-cos02r

A令*2=1，解得丫2=---~?z2=-------

sin"a

,(.-l-cos<92r\

所以Az=L—，-一

Isin夕a)

平面AB'B的法向量為萬=（0,0,1）

由圖可知，二面角的平面角夕為銳二面角，所以二面角的平面角夕

滿足

答案第8頁，共26頁

由二面角的范圍可知OWc4/4萬

結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知cosaNcos尸

化簡(jiǎn)可得cos"」,且0＜。＜萬

2

所以0＜"?

所以。的最大值是整

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,

求得平面的法向量，即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡(jiǎn)較為復(fù)雜，屬于難題.

7.ACD

【分析】

用橢圓的焦點(diǎn)三角形和內(nèi)接矩形等知識(shí)分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

22

對(duì)于橢圓「+斗=1（。＞10）,設(shè)0不文，|珠|=八ZFtPF2=0,則

a~h

r+^=2a2b2

2Gn，由此可得…①，

4c=Aj+弓-2代cos。-1+cos。

所以△尸耳居的面積S=—sin0=————----sin0=b2.‘訪。=環(huán)tan—.

21'2l+cos/91+cos。2

對(duì)于選項(xiàng)A：若。=60，則S=9tan30=3。，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：由①知2—=4（山_丫=.2（當(dāng)且僅當(dāng)｛=4即點(diǎn)尸是短軸端點(diǎn)時(shí)取等

l+cos0\2）

答案第9頁，共26頁

2〃21

號(hào)），所以cos。？%-1=L因此。不可能是90，故B錯(cuò)誤；

a28

對(duì)于選項(xiàng)C：由以上分析可知，。不可能是鈍角，由對(duì)稱性不妨設(shè)NP6K是鈍角.先考慮臨

界情況，當(dāng)2尸耳馬=90時(shí)，易得|詞=；,此時(shí)s=g比周==乎，結(jié)合圖形可

知，當(dāng)ZP4鳥是鈍角時(shí)0<5〈場(chǎng)，故C正確；

4

,,一，fx=4cosa（4、

對(duì)于選項(xiàng)D：令,0,-,

[y=3sina12）

則橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為4（3sina+4cosa）=20sin（a+。），其中銳角9滿足sine=1,

3

cos（p=《.

由ae（0,5）得a+9e[《+“，所以，周長(zhǎng)的范圍是[20加6+9],2（^1^，即（12,20],

故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

丫22n

結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于橢圓二+與=1（a>6>0）,"7與=9,則△PK居的面積S=〃tan￡

a~b-2

8.AD

【分析】

利用反證法可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分別取8。、BC的中點(diǎn)0、M,連接。M、A'O,以

點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OM所在直線分別為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量

法可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)四面體438的外接球心為Q0,行,z，求出四面體438外

接球半徑的最小值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

答案第10頁，共26頁

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，在梯形A8CD中，AB=AO=』8C=1,AD//BC,ADYAB,

2

BD=y/AB2+AD2=>/2>且=貝ljNCB￡>=?，

因?yàn)?c=2,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC?BDcos%=2,

4

..BD'+CDr=BC2,:.BD±CD,

若8DJLAC,且A'CnCZ)=C,，8￡)_L平面AC。，

TT

?.?4'。(=平面467)，，4￡>，8￡>,事實(shí)上NA08=工，矛盾，

故不論何時(shí)，8。與A'C都不可能垂直，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，若A'￡)_L平面HBC,HCu平面48C,則A'￡)_LA'C,

所以，AC=JCO2-A￡>2=1,而AB=1,BC=2,即A'3+A'C=BC，

則4、B、C無法構(gòu)成三角形，不合乎題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤：

對(duì)于C選項(xiàng)，分別取8。、BC的中點(diǎn)0、M,連接。例、A0,則。M〃CD,

-,-CDVBD,OM/ICD,則BO_LQM,

-.-AB=AD,。為8。的中點(diǎn)，則A'O_L8。，

VA:0^0M=0,故平面AOM,

C~,^2,0,M0,——-,0

12JI2J

答案第11頁，共26頁

設(shè)三棱錐A!-BCD的球心為。。與

7

由忸Q|=|A'Q|可得—...-cos6+z——sin0^=1+z-,解得z=-&.~,

設(shè)三棱錐A'-38的外接球半徑為「，貝1"=47相21，當(dāng)且僅當(dāng)6=］時(shí)，等號(hào)成立,

因此，四面體A'BCD的外接球的表面積的最小值為4*D選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)麗=2麗=4（&,-3,0）=（夜4一&40）,

麗=麗+麗=(&,-&,0)+一烏紋

222

f>/22-cos0-5/22,^-si

1222J

易知平面BCD的一個(gè)法向量為7=（0,0,1）,

____.?\n-PA'\—sin0

cos<PA>=pj-i----7=—f=2

I附網(wǎng)『

+—cos0-V22+—sin20

212J2

sin，,sin。夜sin6

------------'一<------------,‘———’’

0?-2N(1+cos0)+10J(l+cos6j(l+cos0)*)^4-(1+cos0)2，

2sin?2-2COS26?2(COS6>+1)、4

而-----------T=-------------------X—=---------------=2--------------e

4-(1+cos^)'3-2cos^-cos_dcos0+3cos^+3

血sin?

即當(dāng)0＜，＜/時(shí),無最大值，進(jìn)而可知直線AP與平面88所成角無最大

^4-(l+cos0)2

值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面兒

何問題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心

到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；

答案第12頁，共26頁

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元

素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的；

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

9.(4,+oo)

【分析】

以點(diǎn)。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系u一孫z,設(shè)

H(m,n,2)(0<m<l,-l<n<0),且加+/=1,設(shè)平面NHG的法向量m=(x,y,z),求出加,

設(shè)平面GF”的法向量3=(a,b,c),求出力設(shè)平面FN”的法向量為2=((),()/)，利用向量

夾角公式可得cosa'cos(加秫可得tancr,由-cos?=,os伍“，可得tan/7,代入

tana-tan尸中整理可得答案

【詳解】

解：以點(diǎn)。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。26,0亞,。2。1為X，y，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系。2-肛Z,

所以N(0,-l,2),G(l,0,0),F(0,l,2),

設(shè)”(，加〃,2)(0＜機(jī)＜1,-1＜〃＜0),且病+〃2=1,NH=(/?,?+1,0)

設(shè)平面N，G的法向量機(jī)=(x,y,z),GN=(-1,一1,2),人月=(，％"+1,0)

m-GN=0f-x—y+2z-0—(m-n-\\

由V-----，得1Jn,得"=w+L-m,---------

m-NH=0[/nx+(?+l)y=012)

設(shè)平面GF”的法向量3=(a,6,c),而=(〃?,〃-1,0),濟(jì)=(-1,1,2)

n-FH=0[ma+(n-\]b-0-(m+n-l\

由＜----,得＜\',、，得"=一--

n-GF=0[-a+6+2c=0I2J

設(shè)平面FN"的法向量為％=(0,0,1),則

答案第13頁，共26頁

所以tana二也

tn-[n+\)

\-n-m

2_\-n-m

%1)2I后I》5(1—〃丫+5川—2小(1一〃)，

4

所以-tan即巫^

l-n-m

所以tana-tan/=2ggy++m22y/2yJ\+n

771-(724-1)\-n-m-機(jī)-一(7-〃-+-1)----\--n---m-

4萬

=2x/2>4(〃-―1)

dl-n-J+n

故答案為：（4，+?）

【點(diǎn)睛】

此題考二面角的余弦值的求法，向量夾角公式，數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能

力，屬于難題.

10-1

【分析】

根據(jù)題意，找到橢圓離心率最大的位置點(diǎn)是關(guān)鍵，要保證該橢圓是以切點(diǎn)尸為焦點(diǎn)，則需要

新加一個(gè)相同大小的球從圓柱上方放入，使得平面。也與該球相切，最后通過建立平面直角

坐標(biāo)系，求得橢圓的離心率

【詳解】

答案第14頁，共26頁

1/

根據(jù)題意，可再新增一個(gè)半徑為3的球從圓柱上方放入，設(shè)平面a分別交兩個(gè)球于點(diǎn)5和點(diǎn)

6,則可得：點(diǎn)環(huán)和點(diǎn)乃是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)*在圓柱上平面上時(shí)，此時(shí)橢圓的離心率取得最大值

如上圖所示，&C為圓柱的高，為球的半徑，則耳耳為2c,G0為2a,然后建立以A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4月為X軸，以AG?為>軸的平面直角坐標(biāo)系，

易知：G2A=8-3=5,3

圓。1的方程為：（*-3）2+丁=9

答案第15頁，共26頁

設(shè)直線6a的斜率為左，則該直線的方程為：y=kx+5

根據(jù)相切可知：點(diǎn)。?到直線G02的距離為3

則有:

Q

解得：

Q

故直線GG?的方程為：y=-j+5

則有：G髭

則|GG|=2a=y

因Q6八G1G2,則直線。田的方程為：y=[Q-3)

8「

y=x+5

聯(lián)立直線GE2和直線。內(nèi)的方程：.'5

尸"-3)

可解得:嘿卷

9

則。耳=a-c=-

Q

解得：

故橢圓的最大離心率為：e=—=

a17

O

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

立體幾何與圓錐曲線相結(jié)合的題目，難度較大，可先將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何進(jìn)行分析,

進(jìn)而簡(jiǎn)化問題，然后運(yùn)用平面幾何的知識(shí)求解問題.

11.4

【分析】

根據(jù)已知條件先求出拋物線的方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算“IA尸|+4|8尸|-5”的最小值，通

過拋物線的焦半徑公式將IAF|+418尸|-5表示為坐標(biāo)的形式，采用直線與拋物線聯(lián)立的思

想，根據(jù)韋達(dá)定理和基本不等式求解出最小值.

【詳解】

答案第16頁，共26頁

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,所以P=2,所以拋物線方程為V=4x,

如下圖，|PF|=|Q「|=1,

因?yàn)閨AP|叫BQ|=(|AFHPFI)+4(|M|-|QF|)=|AF|M|8/|-5,

設(shè)A(x,,y),8(%,%),所以|AF|=玉+=演+1,|BF|=X?+=X?+1，

所以|API+4|8。|=4+4%,

v2—4Y

設(shè)/:x=my+l,所以1，X2-(2+W)X+1=0,所以中2=1，

x=沖+1

所以|4日+4|3。|=%+4%22歷，=4,當(dāng)且僅當(dāng)再=4乙，即%=2,%=g取等號(hào).

所以|APIM|BQI的最小值為4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查圓與拋物線的綜合應(yīng)用，其中涉及拋物線的焦半徑公式的運(yùn)用.常見拋

物線的焦半徑公式如下：(〃為焦準(zhǔn)距)

(1)焦點(diǎn)廠在x軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)P(%為)，則|尸產(chǎn)|=%+個(gè)

⑵焦點(diǎn)廠在x軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)P(毛,%),則陽=-%+5：

(3)焦點(diǎn)尸在)，軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)P(%%),則|PF|=%+5；

(4)焦點(diǎn)廠在y軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)P&,%),則忸川=-%+勺

12.②③

【分析】

①利用定義表示￡與坂，并利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義來進(jìn)行驗(yàn)證；

答案第17頁，共26頁

②作出圖形，設(shè)麗=分，OA=a，結(jié)合圖形得出當(dāng)小。8的面積取最小值時(shí)￡與各的夾角最

小，從而判斷結(jié)論的正誤；

③利用“仿射”坐標(biāo)的定義，結(jié)合空間向量加法的運(yùn)算律來進(jìn)行驗(yàn)證；

④根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義判斷出三棱錐0-A8C是棱長(zhǎng)為1的正四面體，于此可得出該三棱

錐的表面積.

【詳解】

①由定義可得荽=（1，3,-2）,.（4,0,2）廣。+31一2斗（4；+21）

=4+12；?./-4=12cos<9，

"：G<0<71,.4.1中0，故①錯(cuò)誤；

②如圖，設(shè)麗=B，OA=a，則點(diǎn)A在平面xOy上，點(diǎn)8在z軸上，

由圖易知當(dāng)x=y時(shí)，A4Q8取得最小值，即向量￡與弓的夾角取得最小值，故②正確；③根

據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義可得0+5=（芭,y,Z]）?+⑸%，Z2%=（x/+yJ+紙）+（七，+y2J+Z2^）

=（再+（y+%）J+（Z[+Z2）E=（xl+x2,yl+y2z,+z2）0,故③正確；

④由已知可知三棱錐。-ABC為正四面體，棱長(zhǎng)為1,其表面積為S=4x^x且=力，即④

22

錯(cuò)誤.

故答案為②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量的新定義，在驗(yàn)證各命題時(shí)要嚴(yán)格根據(jù)題中定義來理解，結(jié)合空間向量加

減法以及數(shù)量積的運(yùn)算律來計(jì)算，考查推理能力，屬于難題.

13.

答案第18頁，共26頁

(2)y=^^x+l或)'=-"^.r+l;

22

(3)答案見解析.

【分析】

(1)根據(jù)給定條件求出橢圓C的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)即可作答.

(2)根據(jù)給定條件求出點(diǎn)H,S的坐標(biāo)，推得|SG|=2|〃S|,再由面積定理導(dǎo)出砒=3而，

然后分直線MN斜率存在與不存在討論即可推理計(jì)算作答.

⑶分析各問題，探討出解決相應(yīng)問題的關(guān)鍵條件并用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出即得.

(1)

丫2V21e1

因橢圓C：T+2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為:，則2a=4,即a=2,半焦距為C,有上=彳，

22

ab2a2

解得c=l,于是得層=/一/=3,

所以橢圓C的程是反+反=1.

43

(2)

x=-\fx=-l

由(1)知，尸(-l,0),G(2,0),由2得3,因“尸_Lx軸，且GH交y軸正半軸于

43I'12

3

s,則有”(-1,萬)，

又端=留=9,則l°S|=l，即5(0,1)，|SG|=2|S"|,

|FHI|GFI3

因S.SMG=6S,SHN，即;ISMIISG|sinZMSG=6?工|SH||SN|sinZNSH，則有|SM|=31SN|,

當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，直線MN方程為x=0,必有點(diǎn)M(0,-石),N(0,>/5),

咧=半土1=2+6，不符合題意，

|S7V|6-1

因此，直線MN斜率存在，設(shè)直線的方程為：y=Zcr+l,

IA?—+1

由仁142iJ肖去y并整理得：(4*2+3"+8依-8=°，設(shè)知(內(nèi),苗),%。2，%)，

[3x+4y=12

QLQ

貝lj有玉+*2=-京一,再々=-量工，由ISM|=3|SN|可得詬=3而\即

(-x,,l-yI)=3(x2,y2-l),

答案第19頁，共26頁

84

X,+X=-------

92

'-4k+3r

8解得：爐=。，即4=±亞,

于是得石=一3工2，由，

x.x=-----——22

12-必2+3N

x}=-3X2

所以直線用N的方程為>=逅1+1或〉=一如工+1.

2