泛函分析知識(shí)總結(jié)與舉例、應(yīng)用學(xué)習(xí)感悟度量空間和賦范線性空間〔一〕度量空間度量空間在泛函分析中是最根本的概念，它是維歐氏空間〔有限維空間〕的推廣，所以學(xué)好它有助于后面知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解。1．度量定義：設(shè)X是一個(gè)集合，假設(shè)對(duì)于X中任意兩個(gè)元素x，y,都有唯一確定的實(shí)數(shù)d(x,y)與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足以下條件：1°d(x,y)≥0，d(x,y)=0〔非負(fù)性〕2°d(x,y)=d(y,x)〔對(duì)稱性〕3°對(duì)z，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)〔三點(diǎn)不等式〕那么稱d(x,y)是x、y之間的度量或距離〔matric或distance〕，稱為(X,d)度量空間或距離空間(metricspace)。〔這個(gè)定義是證明度量空間常用的方法〕注意:⑴定義在X中任意兩個(gè)元素x，y確定的實(shí)數(shù)d(x,y)，只要滿足1°、2°、3°都稱為度量。這里“度量〞這個(gè)名稱已由現(xiàn)實(shí)生活中的意義引申到一般情況，它用來描述X中兩個(gè)事物接近的程度，而條件1°、2°、3°被認(rèn)為是作為一個(gè)度量所必須滿足的最本質(zhì)的性質(zhì)。⑵度量空間中由集合X和度量函數(shù)d所組成，在同一個(gè)集合X上假設(shè)有兩個(gè)不同的度量函數(shù)和，那么我們認(rèn)為(X,)和(X,)是兩個(gè)不同的度量空間。⑶集合X不一定是數(shù)集，也不一定是代數(shù)結(jié)構(gòu)。為直觀起見，今后稱度量空間(X,d)中的元素為“點(diǎn)〞，例如假設(shè)，那么稱為“X中的點(diǎn)〞。⑷在稱呼度量空間(X,d)時(shí)可以省略度量函數(shù)d，而稱“度量空間X〞。1.1舉例1.11離散的度量空間：設(shè)X是任意的非空集合，對(duì)X中任意兩點(diǎn)x,y∈X，令，那么稱〔X，d〕為離散度量空間。1.12序列空間S：S表示實(shí)數(shù)列〔或復(fù)數(shù)列〕的全體，d(x,y)＝；1.13有界函數(shù)空間B(A)：A是給定的集合，B(A)表示A上有界實(shí)值〔或復(fù)值〕函數(shù)全體，對(duì)B(A)中任意兩點(diǎn)x,y，定義d(x,y)＝1.14可測(cè)函數(shù)空間M(X)：M(X)為X上實(shí)值〔或復(fù)值〕的L可測(cè)函數(shù)全體。1.15C[a,b]空間〔重要的度量空間〕：C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上實(shí)值〔或復(fù)值〕連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)C[a,b]中任意兩點(diǎn)x,y，定義d(x,y)＝1.16：無限維空間〔重要的度量空間〕★例1.15、1.16是考試中?？嫉亩攘靠臻g。2．度量空間中的極限，稠密集，可分空間2.1的—領(lǐng)域：設(shè)〔X，d〕為度量空間，d是距離，定義為的以為半徑的開球，亦稱為的—領(lǐng)域。注：通過這個(gè)定義我們可以從點(diǎn)集這一章學(xué)到的知識(shí)來定義距離空間中一個(gè)點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)及聚點(diǎn)，導(dǎo)集，閉包，開集等概念。2.2度量空間的收斂點(diǎn)列：設(shè)(X，d)是一個(gè)度量空間，是〔X，d〕中點(diǎn)列,如果存在，收斂于，使，即，稱點(diǎn)列是〔X，d〕中的收斂點(diǎn)列，x叫做點(diǎn)列的極限，且收斂點(diǎn)列的極限是唯一的。注：度量空間中點(diǎn)列收斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有許多共同之處。2.3有界集：設(shè)M是度量空間〔X，d〕中的點(diǎn)集，定義為點(diǎn)集M的直徑。假設(shè)，那么稱M為〔X，d〕中的有界集。〔類似于，我們可以證明一個(gè)度量空間中收斂點(diǎn)列是有界點(diǎn)集〕2.4閉集：A是閉集A中任意收斂點(diǎn)列的極限都在A中，即假設(shè)，n=1,2，.,那么。〔要會(huì)證明〕2.5舉例n維歐氏空間中，點(diǎn)列依距離收斂依分量收斂。C[a,b]空間中，點(diǎn)列依距離收斂依分量一致收斂。序列空間S中，點(diǎn)列依坐標(biāo)收斂。可測(cè)函數(shù)空間M(X)：函數(shù)列依測(cè)度收斂于f，即。2.6稠密子集和可分度量空間有理數(shù)集在實(shí)數(shù)集中的稠密性，它屬于實(shí)數(shù)集中，現(xiàn)把稠密性推廣到一般的度量空間中。2.6.1定義：設(shè)X是度量空間，E和M是X的兩個(gè)子集，令表示M的閉包，如果E?，那么稱集M在集E中稠密，當(dāng)E=X時(shí)，稱M為X的一個(gè)稠密子集，如果X有一個(gè)可數(shù)的稠密子集，那么稱X為可分空間。注：可分空間與稠密集的關(guān)系：由可分空間定義知，在可分空間X中一定有稠密的可數(shù)集。這時(shí)必有X中的有限個(gè)或可數(shù)個(gè)點(diǎn)在X中稠密。舉例①n維歐式空間是可分空間：坐標(biāo)為有理數(shù)的全體是的可數(shù)稠密子集。②離散度量空間X可分X是可數(shù)集。〔因?yàn)閄中無稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身〕③是不可分空間。數(shù)學(xué)知識(shí)間都有聯(lián)系，現(xiàn)根據(jù)直線上函數(shù)連續(xù)性的定義，引進(jìn)了度量空間中映射連續(xù)性的概念。3.連續(xù)映射3.1定義：設(shè)X=〔X，d〕Y=〔Y，〕是兩個(gè)度量空間，T是X到Y(jié)中的映射?X，如果對(duì)ε>0，δ>0，使對(duì)X中一切滿足d〔x，〕<δ的x，有，那么稱T在連續(xù)。〔度量空間之間的連續(xù)映射是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)概念的推廣，特別，當(dāng)映射是值域空間時(shí)，映射就是度量空間上的函數(shù)?！匙ⅲ簩?duì)于連續(xù)可以用定義證明，也可以用鄰域的方法證明。下面用鄰域描述：對(duì)T的ε-鄰域U，存在的某個(gè)δ—鄰域V，使TVU，其中TV表示V在映射T作用下的像。3.2定理1：設(shè)T是度量空間〔X，d〕到度量空間〔Y，〕中映射，T在連續(xù)?當(dāng)時(shí)，必有。在映射中我們知道像與原像的概念，下面對(duì)原像給出定義。3.3原像的定義：映射T在X的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱T是X上的連續(xù)映射，稱集合{x∣x∈X，Tx?M?Y}為集合M在映射T下的原像，簡記為?！锟梢姡瑢?duì)于度量空間中的連續(xù)映射可以用定理來證明，也可以用原像的定義來證明。3.4定理2：度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射?Y中任意開集M的原像是X中的開集〔除此之外，利用〔M的補(bǔ)集〕=〔〕的補(bǔ)集，可將定理中開集改成閉集，定理也成立?！匙ⅲ合耖_原像開，像閉原像閉，映射連續(xù)。在數(shù)學(xué)分析中有學(xué)過收斂點(diǎn)列，柯西點(diǎn)列，但研究都在R中。現(xiàn)在我們可類似的給出度量空間中柯西點(diǎn)列的概念。4.柯西〔〕點(diǎn)列和完備的度量空間。4.1柯西點(diǎn)列的定義：設(shè)X=〔X，d〕是度量空間，{}是X中的點(diǎn)列，對(duì)ε>0，正整數(shù)N=N〔ε〕，使當(dāng)ｎ，ｍ>N時(shí)，必有ｄ〔，〕<ε，那么稱{}是X中的柯西〔Cauchy〕點(diǎn)列或根本點(diǎn)列?！緯?huì)判斷：柯西點(diǎn)列是有界點(diǎn)列】我們知道實(shí)數(shù)集的完備性，同時(shí)在學(xué)習(xí)數(shù)列收斂時(shí)，數(shù)列收斂的充要條件是數(shù)列是Cauchy列，這由實(shí)數(shù)的完備性所致。在度量空間中，這一結(jié)果未必成立。但在度量空間中確實(shí)存在完備的度量空間。4.2完備的度量空間的定義：如果度量空間〔X，d〕中每一個(gè)柯西點(diǎn)列都在〔X，d〕中收斂，那么稱〔X，d〕是完備的度量空間．★但要注意，在定義中要求X中存在一點(diǎn)，使該柯西點(diǎn)列收斂到這一點(diǎn)。4.3舉例〔記住結(jié)論〕4.3.1有理數(shù)全體按絕對(duì)值距離構(gòu)成的空間不完備，但n維歐式空間是完備的度量空間。4.3.2在一般度量空間中，柯西點(diǎn)列不一定收斂，但是度量空間中的每一個(gè)收斂點(diǎn)列都是柯西點(diǎn)列：C、C[a,b]、也是完備的度量空間。4.4定理完備度量空間X的子空間M，是完備空間M是X中的閉子空間。P［ａ，ｂ］〔表示閉區(qū)間［ａ，ｂ］上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體，作為C［ａ，ｂ］的子空間〕是不完備的度量空間．5.度量空間的完備化。5.1等距映射：設(shè)〔X，d〕，是兩個(gè)度量空間，T是從X到上的映射，即對(duì)x,y,(Tx,Ty)=d(x,y),那么稱T是等距映射。5.2定義：設(shè)〔X，d〕，是兩個(gè)度量空間，如果存在一個(gè)從X到上的等距映射T，那么稱〔X，d〕和等距同構(gòu)，此時(shí)T稱為X到上的等距同構(gòu)映射。〔像的距離等于原像的距離〕注：在泛函分析中往往把兩個(gè)等距同構(gòu)的度量空間不加區(qū)別而視為同一的。5.2定理1〔度量空間的完備化定理〕：設(shè)X=〔X，d〕是度量空間，那么一定存在完備度量空間，使X與的某個(gè)稠密子空間W等距同構(gòu)，并且在等距同構(gòu)下是唯一的,即假設(shè)〔，〕也是一個(gè)完備的度量空間，且X與的某個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，那么與〔，〕等距同構(gòu)。(不需要掌握證明但是要記住結(jié)論)定理1的改述：設(shè)是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間，使為的稠密子空間。6.壓縮映射原理及其應(yīng)用〔重點(diǎn)內(nèi)容，要求掌握并會(huì)證明〕學(xué)習(xí)完備度量空間概念，就需要應(yīng)用，而壓縮映像原理是求解代數(shù)方程、微分方程、積分方程，以及數(shù)值分析中迭代算法收斂性很好的工具，另外要學(xué)會(huì)如何求不動(dòng)點(diǎn)。6.1壓縮映射定義：X是度量空間，T是X到X的映射，如果存在一個(gè)數(shù)α，，使對(duì)x，y，d〔Tx，Ty〕≦αd〔x，y〕那么稱T為壓縮映射。6.2〔壓縮映射定理〕設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)〔即方程Tx=x，有且只有一個(gè)解〕?！瞲是T的不動(dòng)點(diǎn)x是方程Tx=x的解〕這個(gè)定理對(duì)代數(shù)方程、微分方程、積分方程、數(shù)值分析的解的存在性和唯一性的證明中起重要作用。6.3壓縮映射原理的應(yīng)用：在眾多情況下，求解各種方程的問題可以轉(zhuǎn)化為求其某一映射的不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程〔1〕為例來說明這一點(diǎn)。求微分方程〔1〕滿足初始條件的解與求積分方程〔2〕等價(jià)。我們做映射那么方程〔2〕的解就轉(zhuǎn)化為求，使之滿足。也就是求這樣的，它經(jīng)映射作用后仍變?yōu)椤Ｒ虼?，求解方程?〕就變?yōu)榍笥成涞牟粍?dòng)點(diǎn)，這種求解方程變?yōu)榍蠼庥成涞牟粍?dòng)點(diǎn)的做法在數(shù)學(xué)中是常用的。那么如何求解映射的不動(dòng)點(diǎn)呢？在中求方程解的逐次逼近法給了我們啟示。這種迭代原理是解決映射不動(dòng)點(diǎn)問題最根本的方法。在解決上述問題中，看到實(shí)數(shù)完備性的重要作用。代數(shù)方程、微分方程、積分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一個(gè)一般原理，即壓縮映射原理，壓縮映射原理就是某一類映射不動(dòng)點(diǎn)存在性和惟一性問題，不動(dòng)點(diǎn)可以通過迭代序列求出。注：〔1〕從定理的證明過程中發(fā)現(xiàn)，迭代序列的初始值可任意選取，最終都能收斂到惟一不動(dòng)點(diǎn)?！?〕該定理提供了近似計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的誤差估計(jì)公式，即因?yàn)橥陚涠攘靠臻g的任何子集在原有度量下仍然是完備的，所以定理中的壓縮映射不需要在整個(gè)空間上有定義，只要在某個(gè)閉集上有定義，且像也在該閉集內(nèi)，定理的結(jié)論依然成立。在實(shí)際應(yīng)用過程中，有時(shí)本身未必是壓縮映射，但的假設(shè)干次復(fù)合是壓縮映射，這時(shí)仍然有惟一不動(dòng)點(diǎn)，下面是壓縮映射原理的應(yīng)用及相關(guān)證明。例1線性代數(shù)方程均可寫成如下形式〔3〕其中,。如果矩陣滿足條件那么式〔3〕存在惟一解，且此解可由迭代求得。證明：取，定義度量為構(gòu)造映射為，那么方程〔3〕的解等價(jià)于映射的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)于，由于記，由條件，因此是壓縮映像，于是有惟一不動(dòng)點(diǎn)，所以方程〔3〕有惟一解，且此解可由如下迭代序列近似計(jì)算求得。例2考察如下常微分方程的初值問題〔4〕如果在上連續(xù)，且關(guān)于第二元滿足條件，即這里是常數(shù)，那么方程〔4〕在上有惟一解。證明：方程〔4〕的解等價(jià)于如下方程〔5〕的解。取連續(xù)函數(shù)空間，定義其上的映射為那么積分方程〔5〕的解等價(jià)于的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，，由于令，那么，故是壓縮映射，從而有惟一不動(dòng)點(diǎn)，即積分方程〔5〕有唯一解，從而微分方程〔4〕在上有惟一解。例3設(shè)是定義在上的二元連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)于任何常數(shù)及任何給定的連續(xù)函數(shù)，如下型積分方程(6)存在唯一解。證明：取連續(xù)函數(shù)空間，其上定義映射：為那么方程〔6〕的解等價(jià)于的不動(dòng)點(diǎn)。由于在上連續(xù)，于是在有最大值，記為，即對(duì)任何兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，由于一般地，對(duì)自然數(shù)，歸納可得因此注意到，因此存在自然數(shù)，滿足這說明是壓縮映射，由壓縮映射原理可知，有惟一不動(dòng)點(diǎn)，亦即型積分方程〔6〕有惟一解。例4〔隱函數(shù)存在定理〕設(shè)函數(shù)在帶狀域,中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。如果存在常數(shù)和，滿足,那么方程在區(qū)間上必有惟一的連續(xù)函數(shù)作為解，即證明：在完備空間中作映射，使對(duì)于任意的函數(shù)，有按定理?xiàng)l件，是連續(xù)的，所以也是連續(xù)的，即，故是到的映射。現(xiàn)證是壓縮映射，由微分中值定理存在使又所以令，那么,且按中距離的定義，有，所以是壓縮映像，存在使，即，即，所以★可見，壓縮映射原理在處理迭代數(shù)列的收斂、微分方程定解等問題上有著重要的應(yīng)用，其觀點(diǎn)與方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支如常微分方程、數(shù)值計(jì)算，加深了各分支間的相互聯(lián)系，應(yīng)用壓縮映射原理解決問題也十分簡潔、靈活和方便。〔二〕賦范線性空間1.線性空間設(shè)是非空集合，是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，稱為上的線性空間，如果滿足以下條件：對(duì)兩個(gè)元素，中惟一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記為，且滿足：〔1〕交換律；〔2〕結(jié)合律；〔3〕在中存在一個(gè)元素，稱為零元，使；〔4〕對(duì)每個(gè)，存在，使，稱為的負(fù)元。對(duì)任意數(shù)及，存在中惟一元素與之對(duì)應(yīng)，記為，稱為與的數(shù)乘，且滿足：〔1〕結(jié)合律：〔2〕；〔3〕數(shù)乘對(duì)加法分配律；〔4〕加法對(duì)數(shù)乘分配律。如果，稱為實(shí)線性空間；如果〔復(fù)數(shù)域〕，稱為復(fù)線性空間。對(duì)于線性空間：是線性空間〔滿足加法和數(shù)乘運(yùn)算〕，是的非空子集，任意及任意α?R，都有及，那么按中加法和數(shù)乘運(yùn)算也成為線性空間，稱為的子空間，和{0}是平凡子空間。假設(shè)，那么稱是的真子空間。2.賦范線性空間和巴拿赫〔Banach〕空間〔重點(diǎn)內(nèi)容〕2.1定義：設(shè)X為實(shí)〔或復(fù)〕的線性空間，如果對(duì)每一個(gè)向量，有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，記為║x║與之對(duì)應(yīng)，并且滿足：〔1〕║x║≥0且║x║=0x=0〔2〕║αx║=α║x║其中α為任意實(shí)〔復(fù)〕數(shù)〔3〕║x+y║≤║x║+║y║那么稱║x║為向量x的范數(shù)，稱按范數(shù)║x║成為賦范線性空間擴(kuò)展：①║║是的連續(xù)函數(shù)。〔要會(huì)證明〕②設(shè){}是X中的點(diǎn)列，如果，使║║→0〔n→∞〕那么稱{}依范數(shù)收斂于，記為〔n→∞〕或③如果令d〔x，y〕=║x-y║〔〕，{}依范數(shù)收斂于{}按距離d〔x，y〕收斂于，稱d〔x，y〕為是由范數(shù)║║導(dǎo)出的距離。★注意：線性賤范空間一定是度量空間，反過來不一定成立。2.2完備的線性賦范空間稱為巴拿赫〔Banach〕空間2.2.1巴拿赫空間的舉例①n維歐式空間Req\o(\s\up5(ｎ),\s\do3())②C[a，b]③④Leq\o(\s\up6(ｐ),\s\do3())[a，b]⑤2.2.2其他：①霍爾德Horder(不等式)：dt；②閔可夫斯基不等式：?！灿涀〗Y(jié)論并會(huì)應(yīng)用〕二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函1.算子定義：賦范線性空間X到另一個(gè)賦范線性空間Y的映射，被稱為算子，如果Y是數(shù)域，那么被稱為泛函。2.線性算子和線性泛函2.1定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)同為實(shí)〔或復(fù)〕的線性空間，(?)是X的線性子空間，T為到Y(jié)中的映射，如果對(duì)任何x，y∈及數(shù)α，都有T〔x+y〕=Tx+Ty〔1〕T〔αx〕=αTx〔2〕那么稱T為到Y(jié)中的線性算子，其中稱為T的定義域，記為〔T〕，T稱為T的值域記為(T)，當(dāng)T取值于實(shí)〔或復(fù)〕數(shù)域時(shí)，稱T為實(shí)〔或復(fù)〕線性泛函。2.2幾種常見的線性算子和線性泛函的例子：①相似算子Tx=αx當(dāng)α=1時(shí)為恒等算子；當(dāng)α=0時(shí)為零算子；②P[0，1]是[0，1]上的多項(xiàng)式全體，定義微分算子：，假設(shè)t0∈[0，1]，對(duì)x?P[0，1]，定義〔x〕=x′〔t0〕那么是P[0，1]上的線性泛函。③積分算子：x∈C[a，b]Tx〔t〕=∫eq\o(\s\up5(ｔ),\s\do3(ａ))x由積分線性性質(zhì)知T為線性算子，假設(shè)令=∫eq\o(\s\up5(ｂ),\s\do2(ａ))x那么是C[a，b]中的線性泛函④乘法算子：x∈C[a，b]Tx〔t〕=tx〔t〕⑤Req\o(\s\up5(ｎ),\s\do3())中的線性變換是線性算子3.有界線性算子3.1定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)線性賦范空間，T是X的線性子空間〔T〕到Y(jié)中線性算子，如果存在常數(shù)c，使對(duì)所有x∈〔T〕，有：║Tx║≤c║x║