專題11新定義問(wèn)題（4）【規(guī)律總結(jié)】※知識(shí)精要新定義型問(wèn)題是學(xué)習(xí)型閱讀理解題，是指題目中首先給出一個(gè)新定義（新概念或新公式），通過(guò)閱讀題目提供的材料，理解新定義，再通過(guò)對(duì)新定義的理解來(lái)解決題目提出的問(wèn)題。其主要目的是通過(guò)對(duì)新定義的理解與運(yùn)用來(lái)考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，便于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣?！c(diǎn)突破解決此類題的關(guān)鍵是（1）深刻理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論;（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；歸納“舉例”提供的分類情況；（3）依據(jù)新定義，運(yùn)用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決題目中需要解決的問(wèn)題?！镜淅治觥坷?．（2020·江西南昌市·七年級(jí)期末）對(duì)平面上任意一點(diǎn)(a，b)，定義f，g兩種變換：f(a，b)＝(﹣a，b)，如f(1，2)＝(﹣1，2)；g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)，據(jù)此得g[f(5，﹣9)]＝（）A．(5，﹣9) B．(﹣5，﹣9) C．(﹣9，﹣5) D．(﹣9，5)【答案】C【分析】根據(jù)f，g兩種變換的定義自內(nèi)而外進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由題意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義坐標(biāo)變換，根據(jù)題意、弄懂兩種變換的方法是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2019·浙江省義烏市望道中學(xué)七年級(jí)月考）對(duì)于正數(shù)規(guī)定，例如，計(jì)算__________．【答案】【分析】根據(jù)規(guī)定式子可得，從而可得，由此即可得．【詳解】因?yàn)閷?duì)于正數(shù)規(guī)定，所以，所以，則原式，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算的規(guī)律型問(wèn)題，根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算式子，找出規(guī)律是解題關(guān)鍵．例3．（2020·寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院九年級(jí)期中）定義：若一個(gè)四邊形能被其中一條對(duì)角線分割成兩個(gè)相似三角形，則稱這個(gè)四邊形為“友愛(ài)四邊形”，這條對(duì)角線叫“友愛(ài)線”．（1）如圖1，在的正方形網(wǎng)格中，有一個(gè)網(wǎng)格和兩個(gè)網(wǎng)格四邊形與四邊形，其中是被分割成的“友愛(ài)四邊形”的是______．（2）如圖2，四邊形是“友愛(ài)四邊形”，對(duì)角線是“友愛(ài)線”，同時(shí)也是的角平分線，若中，，，，求友愛(ài)四邊形的周長(zhǎng)．（3）如圖3，在中，，，的面積為，點(diǎn)D是的平分線上一點(diǎn)，連接，．若四邊形是被分割成的“友愛(ài)四邊形”，求的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形ABCE；（2）13或10；（2）2【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別求出三個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形相似、“友愛(ài)四邊形”的定義判斷；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、兩角相等的兩個(gè)三角形相似證明；（3）AM⊥BC，根據(jù)含30°的直角三角形的特殊性質(zhì)及勾股定理用AB表示出AM，根據(jù)三角形的面積公式得到BC×AB＝12，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，∴＝＝＝，∴ABC∽EAC，∴四邊形ABCE是“友愛(ài)四邊形”，∵≠，∴ABC與ACD不相似，∴四邊形ABCD不是“友愛(ài)四邊形”，故答案為：四邊形ABCE；（2）∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，當(dāng)∠B=∠DAC時(shí)，ABC∽DAC，則＝＝，∵，，，∴＝＝，解得AD＝，CD＝，∴友愛(ài)四邊形的周長(zhǎng)為；當(dāng)∠B=∠D時(shí)，ABC∽ADC，則＝＝＝1，∵，，，∴＝＝1，解得AD＝2，CD＝3，∴友愛(ài)四邊形的周長(zhǎng)為，綜上所述，友愛(ài)四邊形的周長(zhǎng)為13或10；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，則∠AMB＝90°，∵，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝AB，∵ABC的面積為3，∴BC×AB＝3，∴BC×AB＝12，∵四邊形ABCD是被BD分割成的“友愛(ài)四邊形”，且AB≠BC，∴ABD∽DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝12，∴BD＝＝2．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解“友愛(ài)四邊形”的定義是解題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·廣東深圳市·九年級(jí)二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成的周長(zhǎng)與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)，這個(gè)矩形叫做和諧矩形．已知點(diǎn)P(m，n)是拋物線y＝x2+k上的和諧點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（）A．﹣12 B．0 C．4 D．16【答案】A【分析】根據(jù)和諧點(diǎn)的定義與二次函數(shù)的性質(zhì)列出m、n的方程，求得m、n便可．【詳解】解：∵點(diǎn)P（m，n）是拋物線y＝x2+k上的點(diǎn)，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，∴點(diǎn)P（m，n）是和諧點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的和諧矩形的面積為16，∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，當(dāng)n≥0時(shí)，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；當(dāng)n＜0時(shí)，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20．故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出m、n的方程．2．（2020·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，給出下列定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的限變點(diǎn)，例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，如果一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，那個(gè)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義的敘述可知：這個(gè)點(diǎn)和限變點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，當(dāng)橫坐標(biāo)a≥1時(shí)，這個(gè)點(diǎn)和限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變；當(dāng)橫坐標(biāo)a＜1時(shí)，縱坐標(biāo)是互為相反數(shù)；據(jù)此可做出判斷．【詳解】∵＞1

∴這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-1）

故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)的坐標(biāo)，解題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出這個(gè)點(diǎn)與限變點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與a的關(guān)系即可．二、填空題3．（2020·全國(guó)七年級(jí)單元測(cè)試）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為b+a，則稱該方程為“和解方程“．例如：方程2x＝﹣4的解為x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，則方程2x＝﹣4為“和解方程”．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：（1）已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝a是“和解方程”，則a的值為_(kāi)____；（2）已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝ab+b是“和解方程“，并且它的解是x＝b，則a+b的值為_(kāi)____．【答案】【詳解】解：（1）解方程3x＝a得x＝，∵關(guān)于x的一元一次方程3x＝a是“和解方程”，∴＝3+a，解得a＝﹣；（2）∵方程﹣2x＝ab+b的解是x＝b，∴﹣2b＝ab+b，∵方程﹣2x＝ab+b是“和解方程“，∴b＝ab+b﹣2，即b＝﹣2b﹣2，解得b＝﹣，∴a＝﹣3，∴a+b＝﹣3﹣＝﹣．故答案為﹣，﹣．4．（2020·浙江杭州市·九年級(jí)）已知兩個(gè)正數(shù)a，b，可按規(guī)則擴(kuò)充為一個(gè)新數(shù)c在a，b，c三個(gè)數(shù)中取兩個(gè)較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)，依次下去，將每擴(kuò)充一次得到一個(gè)新數(shù)稱為一次操作，（1）若，按上述規(guī)則操作三次，擴(kuò)充所得的數(shù)是_________；（2）若，經(jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)為（m，n為正整數(shù)），則的值為_(kāi)_______．【答案】25521【分析】（1）a=1，b=3，按規(guī)則操作三次，第一次：c=7，第二次：c=31，第三次：c=255由此即可求解；

（2）p>q>0，按規(guī)則重復(fù)兩次，第一次得：，第二次得：，所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，故經(jīng)過(guò)6次擴(kuò)充，所得數(shù)為，即可求解．【詳解】（1）第一次，；第二次，；第三次，；

（2）第一次，；第二次，；第三次；第四次，；第五次，；第六次，，所以．

故答案為（1）255；（2）21．【點(diǎn)睛】本題考查了推理與論證，整式規(guī)律探究，新定義運(yùn)算，主要考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，求出經(jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)是關(guān)鍵．三、解答題6．（2020·首都師范大學(xué)附屬育新學(xué)校九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)角滿足，對(duì)圖形與圖形給出如下定義：將圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形．為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上的任意一點(diǎn)，稱長(zhǎng)度的最小值為圖形與圖形的“轉(zhuǎn)后距”．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，記線段為圖形．①畫出圖形；②若點(diǎn)為圖形，則“轉(zhuǎn)后距”為_(kāi)________；③若線段為圖形，求“轉(zhuǎn)后距”；（2）已知點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)，記線段為圖形，線段為圖形，對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角，“轉(zhuǎn)后距”大于1，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②2；③轉(zhuǎn)后距為；（2）或【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②線段OC的長(zhǎng)即為所求．③如圖2中，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OC于E，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D．求出線段OD的長(zhǎng)即可．（2）觀察圖象可知，只要線段PA上的任意一點(diǎn)到陰影部分圖形上的任意一點(diǎn)的距離大于1時(shí)，即可滿足條件．【詳解】（1）①如圖，線段OA′，即為圖形M′：②觀察圖象可知，點(diǎn)C為圖形N，則“轉(zhuǎn)后距”為線段OC的長(zhǎng)＝2，故答案為2；③連接，作于，作于，如圖．依題意，的長(zhǎng)度即為所求轉(zhuǎn)后距．∵，，∴，，．在中，．∵，∴．∴轉(zhuǎn)后距為．（2）如圖3中，由題意記線段AB為圖形M，線段PQ為圖形N，對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角α，“轉(zhuǎn)后距”大于1，觀察圖象可知，只要線段PA上的任意一點(diǎn)到陰影部分圖形上的任意一點(diǎn)的距離大于1時(shí)，即可滿足條件，即滿足條件的m的取值范圍為：m＜?5或0＜m＜2．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形，“轉(zhuǎn)后距”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，第二個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用圖象法解決問(wèn)題．6．（2020·成都市田家炳中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀理解：定義：A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B的時(shí)距離的n（n為大于1的常數(shù)）倍，則稱點(diǎn)C是（A，B）的n倍點(diǎn)，且當(dāng)C是（A，B）的n倍點(diǎn)或（B，A）的n倍點(diǎn)時(shí)，我們也稱C是A和B兩點(diǎn)的n倍點(diǎn)．例如，在圖1中，點(diǎn)C是（A，B）的2倍點(diǎn)，但點(diǎn)C不是（B，A）的2倍點(diǎn)．（1）特值嘗試．①若，圖1中，點(diǎn)________是（D，C）的2倍點(diǎn)．（填A(yù)或B）②若，如圖2，M，N為數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M表示的數(shù)是，點(diǎn)N表示的數(shù)是4，數(shù)________表示的點(diǎn)是（M，N）的3倍點(diǎn)．（2）周密思考：圖2中，一動(dòng)點(diǎn)P從N出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)t秒，若P恰好是M和N兩點(diǎn)的n倍點(diǎn)，求所有符合條件的t的值．（用含n的式子表示）（3）拓展應(yīng)用：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)30個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，稱這兩點(diǎn)處于“可視距離”．若（2）中滿足條件的M和N兩點(diǎn)的所有n倍點(diǎn)P均處于點(diǎn)N的“可視距離”內(nèi)，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．（不必寫出解答過(guò)程）【答案】（1）①B；②或7；（2）或或；（3）【分析】（1）①直接根據(jù)新定義的概念即可得出答案；②根據(jù)新定義的概念列絕對(duì)值方程求解即可得出答案；（2）設(shè)點(diǎn)P所表示的數(shù)為，再根據(jù)新定義的概念列方程求解即可；（3）分，，三種情況分別表示出PN的值，再根據(jù)PN的范圍列不等式組求解即可．【詳解】（1）①由數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，點(diǎn)C表示的數(shù)為1，點(diǎn)D表示的數(shù)為0，，，，數(shù)點(diǎn)A不是【D，C】的2倍