1.

/(x)=lim-

,2w+ln+\

~X

kl

>0

可寫(xiě)為

—,0<IxI<1

X

./■(X)=O,x=-1

2,x=1

l.|x|>1

2.

//(x)=—,x>0

x

可寫(xiě)為

n，7

g）=;，K〃+L〃wN

0,0<x<1

3.極限的定義

lim=/'（工）=/。\/￡>0,皿>0,當(dāng)％）<》<%0+附，

n->x^

4.使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)?，將函數(shù)（或數(shù)列）放大與縮小成一個(gè)新的函數(shù)（或數(shù)

列），而新的與原來(lái)的只差一個(gè)無(wú)窮小量。

5.單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。

使用該準(zhǔn)則時(shí)，通常是用如下兩個(gè)結(jié)論之一：

a.單調(diào)遞增且有上界則極限存在；

b.單調(diào)遞減且有下界則極限存在。

有界性的證明通常采用數(shù)學(xué)歸納法，而證明單調(diào)性則用作差或作商的方法。

一般地，利用該準(zhǔn)則時(shí)，先證明有界性，后證明單調(diào)性.但有時(shí)先證明單調(diào)性，再

證明有界性。

6.當(dāng)x趨近于零時(shí)，一般性的等價(jià)無(wú)窮小可以歸納如

下：x~sinx~tanx

~arcsinx~arctanx~

X

e

T~ln（l+x）

aX

-l^xlna（1+x

、a

）—1

ax

1-cosx

X

2

7.下列說(shuō)法中與

[im=a

W->CO

的定義等價(jià)的是（A）

A.

V￡G(O,1)JN,

當(dāng)n>N時(shí)，有

\xn-a|<1OOe

B.

Vf>0,3N,

當(dāng)n>N時(shí)，有

\x?~n\<￡-

8.當(dāng)

x->1

時(shí)，函數(shù)

2i1

X

x-1

的極限（D)

A.2B.0C.無(wú)窮D不存在

9.求

i+x-1+x+l

lim—,

―00yinx

解:

,4,十一一1

T

-2x

yjx+sinxt

-x

10.極坐標(biāo)：

x=cos夕".p=M+產(chǎn)

<J=sin,其中,

0=arctan上

x

11.重要極限

lim(1+0)8=e

%—>8或0

12.求

111

lim(*+*+…+4廣

X-^i-00〃

利用重要極限求解.

13.求

122〃2

lim(z,-----+/+…+.)

+〃姬+2"娘+〃2

利用夾逼準(zhǔn)則求解.

14.

M

表示x的取整函數(shù).試求

Hm

解:

?/x-1<[x]<X

,則有

i-i<Wa

XX

1)當(dāng)x〉0時(shí)，

(--l)x<x—<—?X

xLxJx

，由夾逼準(zhǔn)則得，極限為1;

2)當(dāng)x<0時(shí)?，

(—l)x>x_b—X

xxX

,由夾逼準(zhǔn)則得，極限為1.

15.設(shè)

X1

=10,

16+Z

,其中n=l,2,3…，試證數(shù)列

kJ

極限存在，并求此極限.

用數(shù)學(xué)歸納法證明此數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列單調(diào)遞減，且數(shù)列每一項(xiàng)都大于

零，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知此數(shù)列有極限；設(shè)

limx=A

〃一>8n

,對(duì)

j6+x“

兩邊取極限，有A=

/6+A

16.設(shè)a>0,

Xi=8

x2=八+石,…x〃+]=Ja+x“

，其中n=l,2,3…,求

Hmxn

先用數(shù)學(xué)歸納法證明單調(diào)遞增，但上界不易證明，為此可先假設(shè)

limxn

=A,則可知A=

1+J4a+1

2

,此即為數(shù)列的一個(gè)上界，但此上界形式較為復(fù)雜，論證不太方便?？蓪⑵溥m當(dāng)放

大化簡(jiǎn)：

1+J4a+1

2

<

1+""1+4.=1+.

討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法是一種簡(jiǎn)潔有效的方法。

17.求

37si?nx+x2cos1

lim-----------------------------------

*f。(1+cosx)ln(1+x)

x~ln(1+x)

lim

xcos

18.已知

1?[sinx勺*

hm------------=3,求

32X-1

Hm烏.

x-0X2

2

X

-1

~xln2,

lnfl+^1

Lsinxj

?

/(x)

sinx

X

飛inx

19.討論函數(shù)法f(x)

爐+2_短

lim-------------

Xn+X-n

的連續(xù)性。

-1,0<|X|<1

/(x)=.0,|x|=l

/，w>i

,很顯然，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)無(wú)意義。

20.討論函數(shù)

x(x+2).

—；----,x<0,x*-n.nGN

f(x)=Jsin

sinx

2i，x20

x-1

的間斷點(diǎn)及其類型。

當(dāng)X

T-n

時(shí)，

lim

x(x+2)

sin加

00

?當(dāng)X

T—2

時(shí)，

lim

x—>-2

x{x十2)

sin*

=-

2

71

當(dāng)X

f1

時(shí)

lirr

x-A

sinx

x2-l-

21.當(dāng)既要證明存在性，又要證明唯一性時(shí)，存在性通常用零點(diǎn)定理來(lái)證明,

唯一性常用單調(diào)性或用反證法來(lái)證明。

22.設(shè)函數(shù)f（x）在

M

上連續(xù)，

9

t,>O,(i=l,2,…，〃

），且

n

>，=L

i=0

試證至少存在一點(diǎn)

ce\a,b\

使得

/(￡)=)+-)+-"，).

解：由于函數(shù)

./（X）

在

M

上連續(xù)，所以有最值定理可知

./（X）

的最大值與最小值存在，☆M-axf

./（X）

XG卜㈤

},in=min(

./（X）

I

1

xe[a,Z>]

},于是對(duì)任何

xE\a,h]

都有m

<f(x)<M

0由于

Xe[a,同

t,>0,(i=l,2,…,〃

）。所以m二

4.

/=1

n

zy(x”,《?

丑叫<M

/=1

從而有介值定理知至少存在一點(diǎn)

4'G[?,/>]

使得

/（￡）=tj&）+t2f（x2）+…fJ（x“）.

o證畢。

23.設(shè)函數(shù)

./（X）

Sin7DC

，則（D）

A.有無(wú)窮多個(gè)第一類間斷點(diǎn)B.只有1個(gè)可去間斷點(diǎn)

C.有2個(gè)可去間斷點(diǎn)D.有3個(gè)可去間斷

24.求

r1.|l+x

Iim—In------

I。4V1-x

去根號(hào)，等價(jià)無(wú)窮小。

25.計(jì)算

limsin2(^V^2+〃)

n—>co

降幕。

26.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo),F(x)=f(x)(1+|sinx|),貝!|f(0)=0是F(x)在x=0處

可導(dǎo)的充要條件。

解：由導(dǎo)數(shù)的定義F'(0)=

F(x)-F(0)

hm--------------

a。x-0

,矢口

F'_(0)=

F(x)-F(0)

hm--------------

XTO-X-0

=f，

(0)-f(0)=f'(o)-f(0)

F'

F(x)-F(O)

lim---------------

x”X-0

二f，

(0)-f(0)=f'(0)-f(0)

27.設(shè)f(0)=0,則f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)的充要條件為(B)

A.

/(I-cosh)

lim

h-tO

存在B.

lim--------------

ioh

存在

B.

/(/?-sinh)

lim、

7h2

存在D.

-〃2〃)-/(〃)

lim-----------

goh

存在

解：注意到1-cosh

>

0,且

lim(l-cosh)=0

hr。

.如果

lim/(l-cosh)

3)h

，則

20h

/(I-cosh)-f(0)1-coshi

lim[

0l-cosh-0h2

2

/(l-cosh)-/(0)

lim---------------------------

D]-cosh-0

J_

2

「/(w)-/(0)

lim-------------------

w—0

所以A成立只保證f'

(0)成立，而不是f'(0)存在的條件

A-?Oh

存在，則

A->0h

Hm巫。二幽.旦

*i.->o.vn1-ec*-0AIt

1加/。一？/(°)

hAfS°1—C八4—C0\

=-f'(0),因此B是充要條件。

如果

lim維普

Dh2

存在，則

1.f(h-sinh)-/(0)h-sinh

lim-------------------------........-

h-sinh-0

注意到

h-sinh

lim-----2-——

/1Toh

=0,

所以若f'(0)若存在，則由右邊推知左邊極限存在且為零。若左邊極限存

在，則

/(A-sinh)-/(0)

lim-----------------------

Dsinh-0

可能不存在，故f'(0)可能不存在。

至于D

A->0h

lim；(/(2A)-/(0))-1(/(A)-/(0))

2。hh

,若f'(0)存在，上述右邊拆項(xiàng)分別求極限均存在，保證了左邊存在。而左邊存

在，不能保證右邊拆項(xiàng)后極限也存在。

28.設(shè)

1-COSX

------7=~,X>。

/(X)=\yfx

/g(x),x<0

，其中

g(x)

是有界函數(shù)，則

./(X)

在x=o處可導(dǎo)。(用定義做)

29.已知

./(X)

在x=a處可導(dǎo)且

/(?)

>0.求

解:

./■(x)

在X=J處可導(dǎo)，則

f(a+—)-f(a)

lim--------\------------

n->coj

/I(a)

且當(dāng)r充分大時(shí)

./(?+—)

n

>0.故

=exp

=exp

/(?+)-/(a)

+-------------------)

f/(a)

=exp

f(a+X)-f(a)

limw---------匚

f/(a)

=exp

/(a)

30.討論函數(shù)

/(x)=x|x(x-l)|

的可導(dǎo)性。

解：

../W-/(0)

lim---------------

X-><)-x-0

limx(x-1)

x->0-

=0

1沁小)一〃°)

I?！疿-0

-limx(x-1)

=0

./■(x)

在x=0處可導(dǎo)。

lim如⑨

Xi+X~1

].X3-X2

lim---------

3+x-1

=1

../(x)-/⑴

lim---------------

x—1

].x3-x2

lim---------

3+x-1

=-1

/(X)

在x=l處不可導(dǎo)。

綜上所述,

./（X）

只有在X=1處不可導(dǎo),

./（X）

在（-

00

,1）

U

（1,+

O0

）

31.設(shè)函數(shù)

./（X）

連續(xù)，且

/'（0）>0

，則存在

J>0

,使得（C）

A.

./（X）

在

（0,0

乃內(nèi)單調(diào)遞增B.

./（X）

在

3,0）

內(nèi)單調(diào)減少

C.對(duì)任意的

（o3）

有

./（X）

>

/（0）

D.對(duì)任意的

有

./（X）

>

/（0）

解:

/'(0)>0

/(O)

lim---------------

XT。x-0

>0.

則當(dāng)

x>()

時(shí)，

./（X）

>

/(0)

32.設(shè)不恒為零的奇函數(shù)

./（X）

在

x=0

處可導(dǎo)。試說(shuō)明

x=0

為函數(shù)

/(%)

X

的哪一類間斷點(diǎn)。

解：

./（X）

為奇函數(shù)，

/(0)

=0o

XTOX-0

存在，則

lim--------

XTOx

存在，但是函數(shù)

/⑺

X

在

x=0

處無(wú)意義。所以

x=Q

為函數(shù)

/(X)

X

的可去間斷點(diǎn)。

33.設(shè)函數(shù)

./(X)

/l->ooV11

,則

./（X）

在

(—00,+8)

內(nèi)（）

A.處處可導(dǎo)B.恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)

C.恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)D.至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)

解：

/（X）

'中日

x3,x>1

—,X<一1

(

lim

n->oo

醐3（Wk

)

/；(!)

lim^^

11+x—1

—3,

(1)

=0,故

在X=1處不可導(dǎo);

同理

./■（X）

在X=~l處也不可導(dǎo)。

34.設(shè)

b(x)=max{/；(x)/(x)}

的定義域?yàn)椋?1,1）,其中

/(X)=X+1/(X)=(X+1)2

，試討論

F(X)

的可導(dǎo)性。若可導(dǎo)，求

其導(dǎo)數(shù)。

解：

尸（X）

(X+1)2,(0,1)

<l,x=0

x+l,(-l,0)

尸(x)

2(x+l),(0,l)

limiT

x->0+X-0

=2,

lim----------

XTO-一x—0

=lo

即

*（X）W

F;(x)

,所以

爪x)

在x=0處不可導(dǎo)。故

/(x)

2(x+l),(0,l)

35.設(shè)

y=xa°+a+aa,a>0.求——

d、

解:

y

dx

相產(chǎn)+

xaIna

?

a-xu1Ina

+

axIna

e

?

axIn2a

36.設(shè)

y=s\nf(x)

且f有二階導(dǎo)數(shù)。求

2

dy

d2

x

解：

y=cos/(x2)-/'(x2)-2x

y'=-sin/(x2).[/'(x2)-2x]2+

COS/(X2).[/"(X2)4X2+2/'(X2)]

37.已知函數(shù)

./（X）

具有任意階導(dǎo)數(shù)且

r(x)=L/W.

則當(dāng)n為大于2的

正整數(shù)時(shí)

是（B）

A.

〃[/（X）產(chǎn)

B.

磯/（為產(chǎn)

C.

[/(x)]2B

D.

現(xiàn)“X）產(chǎn)

解：

/⑵（尤）

=2

./（X）

/'（X）

=2

[/（X）]3.

/⑶（X）

=2?3

/(無(wú))2

/'W

=2?3

[/(X)]4.

38.設(shè)

./（X）

=3

x3+x2|x|,

則使

/伙0)

存在的最高階數(shù)n為（C)

A.0B.1C.2D.3

解：逐階計(jì)算導(dǎo)數(shù)來(lái)驗(yàn)證，記

工㈤

=3

易見(jiàn)

6”）（勸

都存在；令記

AM

啟X)

x3,x>0

-x3,x<0

9

x

/2()

3X2,X>0

-3X2,X<0'

6x,x>0

-6x,x<0'

即

/2"U)

=6

W

，則有

f；(x)

/2"U)

=0.由

W

在x=0不可導(dǎo)，知

"((J)

不再存在。

39.求對(duì)數(shù)螺線

p—e°

在點(diǎn)（

)=

處的切線的直角坐標(biāo)方

程。

解：由

p—^

知

x-e°cos。

y=e°sin0

，點(diǎn)

I，2J

的直角坐標(biāo)為

0,e2

O

又由

dy/九

dx/人

cos。+sin。

cos。一sin〃

可知，當(dāng)

0

n

2

時(shí)

dx

=-1

故所求切線方程為

n

y-e2

=(-1)(x-1)即

It

x+y-e2

=0o

40.已知

./(X)

是周期為5的連續(xù)函數(shù)，其在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式

/(I+sinx)-3/(1-sinx)=8x+a(x),

其中

?(x)

是當(dāng)

x—>0

時(shí)比

X

高階的無(wú)窮小且

./,(X)

在

X

=1處可導(dǎo)。求曲線

y=/(x)

在點(diǎn)(6,

/(6)

)處的切線方程。

解：由題設(shè)條件有

+sinx)-3/(1-sinx)]=lim[8x+a(x)J,

x->0XTO

從而

/(1)-3/(1)=0,

得

,/(1)=0

o又

liml/(l+Sinx)-3/(l-sinx)|二.巴士但1二

XTOxXTO%

8,

從而

1./(14-sinx)-3/(1-sinx)sinx

lim?=o

I。sinxx

即

lim/(l+sinx)-3/(l-sinx)=8

osinx

令t=sinx,則有

Hm/(l+sinx)-3/(lTinx)-Hm/(I+Z)-3/(1-Q=&

x-*osinx，T°I

即

^/(1+/)-3/(1-/)

1l：im-----------------=

，T°t

+0-/(1)..

lim--------------1-3-

/->oi

/(I-0-/(1)

lim-------------

/->0—i

=4

/'(I)=8

所以

./''(I)

=2,由

./■(x)

/(x+5)

,可得

/'(x)

/,(X+5)

o則

/(I)

/(6)

=0,

/'(I)

/'(6)

=2

故所求切線方程為

y-0=2(x-6)

,即

2x—y-12=0

為所求。

41.擴(kuò)音器插頭為圓柱形截面半徑R為0.15cm,長(zhǎng)度L為4cm,為了提高它的

導(dǎo)電性能，要在圓柱形的側(cè)面鍍一層厚度為0.001cm的銅，問(wèn)每個(gè)插頭需要用多少

克純銅？(銅的密度為8.9g/cm

3

解：圓柱體V=

成2LZW=2兀RLAR,以R=。.15,L=4,AR=0.001

代入得

AV?

8

兀

x0.15x0.001

0.0037699銅的密度為8.9g/cm

3

,故每個(gè)插頭所需要銅的質(zhì)量為：m=

/?AF

=0.03355g.

42.泰勒中值定理

如果函數(shù)

在含有

的某個(gè)開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一

xe

(a,b),有

2

/(x)=/(xo)+/VoXx-xJ+^^(x-xJ+-+^^(x-xor+/?,(x)

其中

此（0

=

（〃+1）尸”。）代

是介于

與

X

的某個(gè)值），稱

此㈤

為拉格朗日型余項(xiàng);若

此（何

o[(x-Xo)"]

,稱

R.(x).

為佩亞諾型余項(xiàng)。

X2X”

=l+x+—+-+—+o(xn)

2!n\

(

-00<X<-H?

)

r3r5r2n-l

sinx=x-—+-——+(-l)n+1———+o(x2"-')

3!5!(2〃一1)!

(

-00<X<+00

)

2462n-2

.XXX/八"]X/2n-2X

COSX=1--------1-------------F…+(―1)-------------FO(X)

2!4!6!(2〃-2)!

(

-oo<x<+00

)

ln(l+x)=x-—+---------+;xn+o(xn)

23n

(

x

>-1)

------=l+x+x2+???+x〃+o(x")

1-x

(1+X)=1+/MX+------X+???+---------------------------------X+O(X)

2!w!

43.設(shè)