主要內(nèi)容

典型例題空間解析幾何復(fù)習(xí)課一、主要內(nèi)容〔一〕向量代數(shù)〔二〕空間解析幾何向量的線性運(yùn)算向量的表示法向量積數(shù)量積混合積向量的積向量概念〔一〕向量代數(shù)1、向量的概念共線向量、共面向量重要概念:零向量、向量的模、單位向量、(1)加法：2、向量的線性運(yùn)算(2)減法：(3)向量與數(shù)的乘法：4、數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式5、向量積(叉積、外積)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式//6、混合積〔1〕兩個(gè)向量與垂直；與平行×=；三個(gè)向量共面。

〔2〕向量積模的幾何意義：7。幾何意義與關(guān)系〔3〕用向量法證平面幾何題?！?〕向量的加減、數(shù)乘、內(nèi)積和混合運(yùn)算以及加減、內(nèi)積、外積的坐標(biāo)運(yùn)算；要求：〔1〕向量的重要概念；直線曲面曲線平面參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面柱面二次曲面一般方程參數(shù)方程一般方程對(duì)稱式方程點(diǎn)法式方程一般方程空間直角坐標(biāo)系〔二〕空間解析幾何橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)

空間直角坐標(biāo)系空間的點(diǎn)有序數(shù)組空間直角坐標(biāo)系共有一個(gè)原點(diǎn),三個(gè)坐標(biāo)軸,三個(gè)坐標(biāo)面,八個(gè)卦限.它們距離為兩點(diǎn)間距離公式:點(diǎn)P〔x,y,z〕關(guān)于原點(diǎn)，坐標(biāo)軸，坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn).1、平面[1]平面的點(diǎn)法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]兩平面位置特征：//[5]特殊的平面方程：坐標(biāo)面如xoy面：z=02、空間直線[1]空間直線的一般方程[3]空間直線的參數(shù)方程[2]空間直線的對(duì)稱式方程[4]直線方程各種形式的互化，如射影式化為對(duì)稱式[5]特殊的直線的方程[6]直線與平面的交點(diǎn)X軸,y軸,z軸的標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程[7]點(diǎn)到直線的距離LdP1是L外一點(diǎn),設(shè)直線L,求P0到L的距離d.

設(shè)為L(zhǎng)上任一點(diǎn)，如圖SS又于是點(diǎn)到直線的距離公式

1)如果兩個(gè)平面交于一條直線，那么以直線為軸的有軸平面束的方程是其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)。[8]有軸平面束與平行平面束的方程2)由平面決定的平行平面束〔即與平面的全體平面〕的方程是，其中是任意實(shí)數(shù).〔1〕用點(diǎn)法式求平面的方程；〔2〕求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、一般方程；〔3〕運(yùn)用有軸平面束和平行平面束求平面的方程；〔4〕求直線在平面內(nèi)的投影〔射影〕直線的方程。要求：曲面方程的定義：2、曲面〔1〕曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程.〔2〕坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀.研究空間曲面的兩個(gè)根本問(wèn)題：[1]柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.要求：求母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。從柱面方程看柱面的特征：(1)平面1.橢圓柱面xyzO2.雙曲柱面類似討論柱面F(y,z)=0,F(x,z)=0[2]錐面

在空間通過(guò)一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所生成的曲面叫做錐面，這些直線都叫做錐面的母線，那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)，定曲線叫做錐面的準(zhǔn)線。頂點(diǎn)準(zhǔn)線要求：1。求錐面方程的方法；2。由方程判斷是錐面。母線[3]旋轉(zhuǎn)曲面一條曲線繞一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.這條曲線叫母線。要求：求旋轉(zhuǎn)曲面的方程；坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面；由方程判斷旋轉(zhuǎn)曲面。

求旋轉(zhuǎn)曲面的方程設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線，1.旋轉(zhuǎn)曲面的一般方程(一般位置)注：ⅰ寫出這母線上任意一點(diǎn)的緯圓方程或母線族ⅱ寫出參數(shù)的約束條件ⅲ消去參數(shù)得到所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程〔或柱面、錐面的方程〕旋轉(zhuǎn)軸為直線當(dāng)M1遍歷整個(gè)母線Γ

時(shí)，得出旋轉(zhuǎn)曲面的所有緯圓，這些緯圓生成旋轉(zhuǎn)曲面分析：lM1S旋轉(zhuǎn)曲面又可看作以軸l

為連心線的一族緯圓生成的曲面

設(shè)母線，⑴繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面方程；

⑵繞y

軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面方程。2.特殊位置的旋轉(zhuǎn)曲面方程方程特點(diǎn):[4]二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.〔1〕橢球面〔2〕橢圓拋物面〔3〕馬鞍面〔4〕單葉雙曲面〔5〕圓錐面要求：1。用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線〔即截痕〕的形狀，寫出交線的方程；2。求交線為橢圓、雙曲線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)；3。求焦點(diǎn)的軌跡。3、空間曲線

空間曲線的一般方程C：要求：〔1〕求圓的方程；〔2〕寫出平行于坐標(biāo)面的平面與二次曲面的交線的方程。

在空間直角坐標(biāo)系下，

直線L：

旋轉(zhuǎn)生成的圓C的方程.設(shè)M1(x1,y1,z1)是空間中的一點(diǎn)，求它繞M1P0Oxyz(看P119例題2)

分析:圓C可以看成下面的兩個(gè)曲面的交。1、過(guò)點(diǎn)M0且與軸垂直的平面2、以P0(x0,y0,z0)點(diǎn)為中心，的P0M1長(zhǎng)度為半徑的球面。l例1化簡(jiǎn).

例3

用向量法證明：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.例2向量，互相垂直，向量與，的夾角都為600，且=1，=3，=2，計(jì)算：，二、典型例題1．向量代數(shù)例４證明直徑上的圓周角是直角．例５證明三角形三條高交于一點(diǎn)．例4

試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.例3

用向量方法證明：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證設(shè)ΔABC兩邊AB，AC之中點(diǎn)分別為M，N，那么所以且上一頁(yè)返回解三角形ABC的面積為例6解由題設(shè)條件得解得例1兩點(diǎn)，〔1〕求過(guò)點(diǎn)M1且與直線垂直的平面方程；〔2〕求線段的垂直平分面的方程。2.直線與平面解先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面再求直線與該平面的交點(diǎn)N,令代入平面方程得,交點(diǎn)取所求直線的方向向量為所求直線方程為另解求兩平面的交線分析:關(guān)鍵是求得直線上另外一個(gè)點(diǎn)M1.M1在過(guò)M且平行于平面P的一個(gè)平面P1上,待求直線又與直線相交,交點(diǎn)既在P1上,又在L上,因此是L與P1的交點(diǎn).

例

3求過(guò)點(diǎn)M(-1,2,-3),且平行于平面又與直線相交的直線方程.解

過(guò)M作平行于平面P的一個(gè)平P1

PMLP1M1求平面P1與直線L的交點(diǎn)P1:

即P1:例4解所求投影直線方程為例1xOyz3?？臻g曲線解：解：或可見(jiàn)，空間曲線的一般方程的表示不是唯一的。例2、寫出軸的方程。

軸可看成兩個(gè)平面的交線，如例3、求在坐標(biāo)面上，半徑為R，圓心為原點(diǎn)的圓的方程。例3

方程組表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.

例4在空間直角坐標(biāo)系下，

直線L：

旋轉(zhuǎn)生成的圓C的方程.設(shè)M1(x1,y1,z1)是空間中的一點(diǎn)，求它繞M1P0Oxyz(看P119例題2)

分析:圓C可以看成下面的兩個(gè)曲面的交。1、過(guò)點(diǎn)M0且與軸垂直的平面2、以P0(x0,y0,z0)點(diǎn)為中心，的P0M1長(zhǎng)度為半徑的球面。l

例母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程推導(dǎo)過(guò)程P123拋物柱面平面拋物柱面方程：平面方程：上一頁(yè)下一頁(yè)返回4。曲面〔柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面，二次曲面〕從柱面方程看柱面的特征：〔其他類推〕實(shí)例橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，母線//軸母線//軸母線//軸

例2

錐面S的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且準(zhǔn)線為，求錐面S的方程.解答見(jiàn)教材P130例2答案例3解由于高度不變,故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為分析：這一族的橢圓方程為即,從而橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為消去參數(shù)h得測(cè)驗(yàn)題DCBDD一、判斷1、設(shè)a,b,c是兩不共線的矢量，試問(wèn)以下等式是否成立？〔1〕ab=a2;()(2)a2=|a|2()(3)(ab)2=a2b2

()(4)a(ab)=a2b

()(5)(ab)c=a(bc)()2、設(shè)a,bc是三個(gè)非零矢量，試問(wèn)以下推斷是否正確？(1)如果ab=0,ac=0,那么bc=0;()(2)如果ab=0,ac=0,那么bc=0;()(3)如果ab=0,ac=0,那么(bc)a=0;()(4)如果ab=ac,那么b=c;()(5)如果ab=ac,那么b=c.()

二、填空1、矢量的和統(tǒng)稱為矢量的線性運(yùn)算；2、兩個(gè)矢量a,b垂直

；平行

；三個(gè)矢量共面

。3、設(shè)a,b,c為三個(gè)不共面的矢量，如果ra=0,rb=0,rc=0，則r=.4、設(shè){a,b,c}是右旋矢量組，且a,b,c兩兩垂直，又知|a|=4,|b|=2,|c|=3,則(a,b,c)=.加法數(shù)乘ab=0ab=0(a,b,c)=002407、點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為。8、點(diǎn)P(1,-1,2)到x軸的距離等于。9、設(shè)那么。

。16、球面的中心坐標(biāo)為，半徑為。17、空間中，在xoy面上，半徑為R,中心在原點(diǎn)的圓的方程為。19、曲面x2+y2+16z2=64與xoz面的交線方程為20、空間曲線對(duì)xoy面的射影柱面的方程為。。。30、平面Ax+By+Cz+D=0平行于x軸的充要條件是AB≠0，C=0，D≠0。31、平面x-y+z-5=0的法矢量是，它的方位矢量為。32、直線的對(duì)稱式方程為。