專題06平面向量

歷年考題細(xì)目表題型年份考點(diǎn)試題位置單選題2017充分必要條件2017年北京文科07單選題2015充分必要條件2015年北京文科06單選題2014平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2014年北京文科03單選題2010平面向量的數(shù)量積2010年北京文科04填空題2019平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2019年北京文科09填空題2018平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2018年北京文科09填空題2017平面向量的數(shù)量積2017年北京文科12填空題2016平面向量的數(shù)量積2016年北京文科09填空題2013平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2013年北京文科14填空題2012平面向量的數(shù)量積2012年北京文科13填空題2011平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2011年北京文科11

歷年高考真題匯編1．【2017年北京文科07】設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得λ”是“?0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：，為非零向量，存在負(fù)數(shù)λ，使得λ，則向量，共線且方向相反，可得?0．反之不成立，非零向量，的夾角為鈍角，滿足?0，而λ不成立．∴，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得λ”是?0”的充分不必要條件．故選：A．

2．【2015年北京文科06】設(shè)，是非零向量，“||||”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：（1）；∴時(shí)，cos1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分條件；（2）∥時(shí)，的夾角為0或π；∴，或；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要條件；∴總上可得“”是“∥”的充分不必要條件．故選：A．

3．【2014年北京文科03】已知向量（2，4），（﹣1，1），則2（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）【解答】解：由（2，4），（﹣1，1），得：22（2，4）﹣（﹣1，1）＝（4，8）﹣（﹣1，1）＝（5，7）．故選：A．

4．【2010年北京文科04】若，是非零向量，且⊥，||≠|(zhì)|，則函數(shù)f（x）＝（x）（x）是（）A．一次函數(shù)且是奇函數(shù) B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù) C．二次函數(shù)且是偶函數(shù) D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù)【解答】解：∵⊥，∴?0∴f（x）＝（x）（xb）＝xx，∵||≠|(zhì)|，∴所以f（x）＝（）x所以函數(shù)f（x）是一次函數(shù)且是奇函數(shù)故選：A．

5．【2019年北京文科09】已知向量（﹣4，3），（6，m），且⊥，則m＝．【解答】解：由向量（﹣4，3），（6，m），且⊥，得，∴m＝8．故答案為：8．

6．【2018年北京文科09】設(shè)向量（1，0），（﹣1，m）．若⊥（m），則m＝．【解答】解：向量（1，0），（﹣1，m）．m（m+1，﹣m）．∵⊥（m），∴m+1＝0，解得m＝﹣1．故答案為：﹣1．

7．【2017年北京文科12】已知點(diǎn)P在圓x2+y2＝1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），O為原點(diǎn)，則?的最大值為．【解答】解：設(shè)P（cosα，sinα）.（2，0），（cosα+2，sinα）．則?2（cosα+2）≤6，當(dāng)且僅當(dāng)cosα＝1時(shí)取等號．故答案為：6．

8．【2016年北京文科09】已知向量（1，），（，1），則與夾角的大小為．【解答】解：∵向量（1，），（，1），∴與夾角θ滿足：cosθ，又∵θ∈[0，π]，∴θ，故答案為：．

9．【2013年北京文科14】已知點(diǎn)A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面區(qū)域D由所有滿足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點(diǎn)P組成，則D的面積為．【解答】解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則（2，1），（1，2），（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)滿足不等式組作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F(xiàn)（3，0）∵|CF|，點(diǎn)E（5，1）到直線CF：2x﹣y﹣6＝0的距離為d∴平行四邊形CDEF的面積為S＝|CF|×d3，即動點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積為3故答案為：3

10．【2012年北京文科13】已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)．則的值為．【解答】解：因?yàn)?．故答案為：1

11．【2011年北京文科11】已知向量（，1），（0，﹣1），（k，）．若與共線，則k＝．【解答】解：∵與共線，∴解得k＝1．故答案為1．

考題分析與復(fù)習(xí)建議本專題考查的知識點(diǎn)為：平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，平面向量的數(shù)量積，平面向量的綜合應(yīng)用等.歷年考題主要以選擇填空題型出現(xiàn)，重點(diǎn)考查的知識點(diǎn)為：平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，平面向量的數(shù)量積等，預(yù)測明年本考點(diǎn)題目會比較穩(wěn)定，備考方向以知識點(diǎn)平面向量的線性運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積，平面向量的綜合應(yīng)用等為重點(diǎn)較佳.最新高考模擬試題

1．在中，，，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)是的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以有：，因此，故本題選D.2．已知非零向量,的夾角為,且滿足,則的最大值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榉橇阆蛄?的夾角為,且滿足,所以，即，即，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號；所以，即；因此，.即的最大值為.故選B3．設(shè)，均為單位向量，則“與夾角為”是“”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】因?yàn)椋鶠閱挝幌蛄?，若與夾角為，則；因此，由“與夾角為”不能推出“”；若，則，解得，即與夾角為，所以，由“”不能推出“與夾角為”因此，“與夾角為”是“”的既不充分也不必要條件.故選D4．在矩形中，,．若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，.∴.故選：C．5．已知為等邊三角形所在平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，滿足，若，則（）A． B．3 C．6 D．與有關(guān)的數(shù)值【答案】C【解析】如圖：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)闉榈冗吶切嗡谄矫鎯?nèi)的一個動點(diǎn)，滿足，所以點(diǎn)在直線，所以在方向上的投影為，因此.故選C6．已知向量，且，則的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，解得所以答案選B.7．已知向量、為單位向量，且在的方向上的投影為，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)橄蛄?、為單位向量，且在的方向上的投影為，則有，變形可得：，即，又由，則，故選A．8．在矩形中，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖：由，得：，又又本題正確選項(xiàng)：9．已知直線y=x+m和圓x2+y2=1交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立，得2x2+2mx+m2-1=0，∵直線y=x+m和圓x2+y2=1交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴△=4m2+8m2-8=12m2-8＞0，解得m＞或m＜-，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-m，，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，=（-x1，-y1），=（x2-x1，y2-y1），∵+y12-y1y2=1+m2-m2=2-m2=，解得m=．故選：C．10．已知菱形的邊長為2，，點(diǎn)，分別在邊，上，，，若，則的值為（）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，且：，故，解得：.故選：B.11．已知正的邊長為4，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，那么的值為（）A． B． C．1 D．3【答案】B【解析】由已知可得：EB=EC=，又所以所以故選：B．12．在中，，向量在上的投影的數(shù)量為，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵向量在上的投影的數(shù)量為，∴．①∵，∴，∴．②由①②得，∵為的內(nèi)角，∴，∴．在中，由余弦定理得，∴．故選C．13．在△ABC中，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樗訮為的重心，所以,所以,所以因?yàn)椋怨蔬x：A14．在中，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)所以，所以，所以，得所以故選：B15．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因?yàn)?

所以

,

，所以，故選C.16．已知△ABC中，．點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由，可得，即，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為．故選：D．17．如圖中，，，平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)，設(shè)，，則向量（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：設(shè)圓的半徑為，在中，，，所以，，平分線交的外接圓于點(diǎn)，所以，則根據(jù)圓的性質(zhì)，又因?yàn)樵谥?，，所以四邊形為菱形，所以．故選：C．18．在中，，，，設(shè)點(diǎn)、滿足，，若，則（）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，則，所以.由已知，，則.選.19．已知點(diǎn)為扇形的弧上任意一點(diǎn)，且，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：設(shè)半徑為1，由已知可設(shè)OB為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，其中A（，），B（1，0），C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ有（λ，μ∈R）即：（cosθ，sinθ）＝λ（，）+μ（1，0）；整理得：λ+μ＝cosθ；λ＝sinθ，解得：λ，μ＝cosθ，則λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ），其中；易知λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ），由圖像易得其值域?yàn)閇1，2]故選：D．20．在同一平面內(nèi)，已知A為動點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，且∠BAC=，，BC=1，P為BC中點(diǎn)．過點(diǎn)P作PQ⊥BC交AC所在直線于Q，則在方向上投影的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三點(diǎn)在一個定圓上，且弦BC所對的圓周角為，所以圓心角為.圓心在BC的中垂線即軸上，且圓心到直線BC的距離為，即圓心為，半徑為.所以點(diǎn)A的軌跡方程為：，則，則，由在方向上投影的幾何意義可得：在方向上投影為|DP|=|x|，則在方向上投影的最大值是，故選：C．21．已知圓的弦的中點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，則的值為______．【答案】【解析】設(shè)，圓心，∵，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，，∴所在直線方程為，即，聯(lián)立方程可得，，設(shè)，，則，令可得，，故答案為：-5．22．已知向量，若，則______．【答案】【解析】解：；；；；解得．故答案為：．23．向量，，若，則_________.【答案】【解析】向量，，所以，又因?yàn)?，所以，即，解得，故答案?24．設(shè)向量的模分別為1,2，它們的夾角為，則向量與的夾角為_____．【答案】【解析】又向量與的夾角為：本題正確結(jié)果：25．已知平面向量，，，滿足，，則當(dāng)_____，則與的夾角最大．【答案】【解析】設(shè)，，的起點(diǎn)均為，以為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，則，，由可得，即，∴的終點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，同理的終點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上．顯然當(dāng)，為圓的兩條切線時(shí)，最大，即，的夾角最大．設(shè)圓心為，則，∴，，∴，設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知軸，且，∴.故答案為：．26．如圖，已知P是半徑為2，圓心角為的一段圓弧AB上一點(diǎn)，，則的最小值為_______．【答案】5﹣【解析】設(shè)圓心為O,AB中點(diǎn)為D,由題得.取AC中點(diǎn)M，由題得,兩方程平方相減得，要使取最小值，就是PM最小，當(dāng)圓弧AB的圓心與點(diǎn)P、M共線時(shí)，PM最小.此時(shí)DM=,所以PM有最小值為2﹣，代入求得的最小值為5﹣．故答案為：5﹣27．如圖，在邊長為2的正三角形中，、分別為邊、上的動點(diǎn)，且滿足（為定常數(shù)，且），若的最大值為，則________.【答案】【解析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎切芜呴L為2，所以，，，則，，因?yàn)闉檫吷系膭狱c(diǎn)，所以設(shè)，其中，則，所以；又，所以，因此，所以，，故，因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，整理得，解得或（舍）故答案為28．在中，已知邊上的中線，且，，成等差數(shù)列，則的長為________.【答案】【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，所以，由正弦定理可得，又由余弦定理可得，所以，故，又因?yàn)檫吷系闹芯€，所以，因?yàn)椋?，即，?即的長為.故答案為29．如圖，在平面四邊形中，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．若()，則的值為_______．【答案】【解析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB＝BC＝2，則有A