復變函數(shù)第二章答案_第1頁
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./第二章解析函數(shù)1．用導數(shù)定義,求下列函數(shù)的導數(shù)：<1>解:因當時,上述極限不存在,故導數(shù)不存在；當時,上述極限為0,故導數(shù)為0.2．下列函數(shù)在何處可導?何處不可導?何處解析?何處不解析?<1>解:這里要,當且當而均連續(xù),故僅在處可導,處處不解析.<2>解:這里四個偏導數(shù)均連續(xù)且處處成立,故在整個復平面上處處可導,也處處解析.3．確定下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點,并求出導數(shù).<1>解:當時,除外在復平面上處處解析,為奇點,當時,顯然有,故在復平面上處處解析,且.4.若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析,并滿足下列條件之一,試證必為常數(shù).<1>在區(qū)域內(nèi)解析;<2><3>在內(nèi)為常數(shù);<4>證<1>因為在中解析,所以滿足條件又也在中解析,也滿足條件從而應有恒成立,故在中為常數(shù),為常數(shù).<2>因在中解析且有,由條件,有則可推出,即<常數(shù)>.故必為中常數(shù).<3>設,由條件知,從而計算得,化簡,利用條件得所以同理即在中為常數(shù),故在中為常數(shù).<4>法一：設則求導得由條件故必為常數(shù),即在中為常數(shù).設則,知為常數(shù),又由條件知也必為常數(shù),所以在中為常數(shù).法二：等式兩邊對求偏導得：,由條件,我們有,而,故,從而為常數(shù),即有在中為常數(shù).5.設在區(qū)域內(nèi)解析,試證:證:設而又解析,則實部及虛部均為調(diào)和函數(shù).故則6.由下列條件求解解析函數(shù)<1>解:因所以又則.故<2>解:因由解析,有又而所以則故<3>解:因由的解析性,有又而所以則故由得推出即7.設求的值使為調(diào)和函數(shù),并求出解析函數(shù)解:要使為調(diào)和函數(shù),則有即所以時,為調(diào)和函數(shù),要使解析,則有所以即故8．試解方程：<1>解:故<2>解:9

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