第18講數(shù)論綜合二興趣篇1、有4個(gè)不同的正整數(shù)，它們中任意2個(gè)數(shù)的和都是2的倍數(shù)，任意3個(gè)數(shù)的和都是3的倍數(shù)。要使這4個(gè)數(shù)的和盡可能小，這4個(gè)數(shù)應(yīng)該分別是多少？【分析】對(duì)于2，3同余，對(duì)于6同余。答案：1，7，13，192、已知算式的結(jié)果可表示為個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。請(qǐng)問(wèn)：共有多少個(gè)滿足要求的自然數(shù)？答案：5個(gè)【分析】3，9，223，669，20073、有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)之和的形式，并且在不計(jì)加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有4種。所有滿足上述條件的自然數(shù)中最小的一個(gè)是多少？答案：11【分析】2+9=3+8=5+6=7+44、甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的乘積比甲數(shù)的平方小2008。滿足上述條件的自然數(shù)有幾組？答案：4組【分析】甲（甲-乙）=2008=2×2×2×251=2008×1=1004×2=502×4=251×85、兩個(gè)不同兩位數(shù)的乘積為完全平方數(shù)，它們的和最大可能是多少？答案：170【分析】170=98+726、個(gè)自然數(shù)，它們的和乘以它們的平均數(shù)后得到2008。請(qǐng)問(wèn)：最小是多少？答案：502【分析】2008=23×251是平均數(shù)的倍數(shù)。平均數(shù)盡量大，和是平均數(shù)的倍數(shù)，和為1004，平均數(shù)為2。7、一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“智慧數(shù)”，比如，16就是一個(gè)“智慧數(shù)”。請(qǐng)問(wèn)：從1開(kāi)始的自然數(shù)數(shù)列中，第2008個(gè)“智慧數(shù)”是多少？答案：2680【分析】所有的奇數(shù)均可，a2-b2=(a-b)(a+b)所有4的倍數(shù)均可，所有除以4余2的均不行。2008÷3=669……1669×4=26762676+4=26808、將分別除以2,3,4…，100，可以得到99個(gè)余數(shù)（余數(shù)有可能為0）。這樣99個(gè)余數(shù)的和是多少？答案：4565【分析】余數(shù)分別為1，1，3，0，1，2……95和為45659、小悅、冬冬和阿奇三人經(jīng)常去電影院，小悅每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿奇每隔6天去一次。今天他們?nèi)硕既ル娪霸?，將?lái)會(huì)有連續(xù)三天都有人去電影院。如果今天是第1天，那么最早出現(xiàn)的具有上述性質(zhì)的連續(xù)三天是哪三天？答案：第50天、第51天和第52天【分析】6，7，8先看3和5，第6，7連續(xù)，第11，10天連續(xù)10、有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們的平方從小到大依次是10、9、8的倍數(shù)。這三個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是多少？【分析】三數(shù)分別是10，3，4的倍數(shù)，最大數(shù)所以最小的數(shù)是50拓展篇1、有一個(gè)正整數(shù)，它加上100后是一個(gè)完全平方數(shù)，加上168后也是一個(gè)完全平方數(shù)。這個(gè)正整數(shù)是多少？答案：156【分析】168-100=68=2×34兩平方數(shù)為182與162。162-100=1562、已知甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，兩數(shù)之和為1998。滿足上述條件的數(shù)一共有多少組？答案：108組【分析】1998÷=333333=3×3×37，把333拆成兩數(shù)之和，不含3或37的因子就行。333-111-6=216216÷2=1083、冬冬往一個(gè)水池里仍石頭。第一次仍1顆石頭，第二次仍2顆石頭，第三次仍3顆石頭，第四次仍4顆石頭……他準(zhǔn)備扔到水池的石子總數(shù)是106的倍數(shù)。請(qǐng)問(wèn)：冬冬最少需要仍多少次？答案：52次【分析】n，n+1一奇一偶，n+1=53n=524、數(shù)學(xué)老師把一個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)告訴了小悅，聰明的小悅仔細(xì)思考了一下后算出了這個(gè)數(shù)。同學(xué)們，你們知道這個(gè)數(shù)可能是多少嗎？答案：64或36【分析】根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式，個(gè)數(shù)為2，3，4，5，6，8，10，12選擇不只一個(gè)，個(gè)數(shù)為7，9的只有1個(gè)，分別是26=64，22×32=365、在一個(gè)正整數(shù)的所有約數(shù)中，個(gè)位數(shù)字為0，1,2,…，9的數(shù)都出現(xiàn)過(guò)，這樣的正整數(shù)最小是多少？答案：270【分析】10，1，2，3，4，5，6，27，18，9分別都是此數(shù)約數(shù)。6、求最小的正整數(shù)，使得是完全平方數(shù)?！痉治觥孔罱咏?006并大于2006的平方數(shù)是2025，不行下一個(gè)2025+91=2116，不行下一個(gè)2116+93=2209，n=297、請(qǐng)寫(xiě)出由不同的兩位數(shù)組成的最長(zhǎng)的等比數(shù)列。答案：16，24，36，54，81【分析】令公比為，其中，若有6項(xiàng)，則末項(xiàng)為，是b5的倍數(shù)，超過(guò)100，所以至多5項(xiàng)。8、有一些自然數(shù)，它們不能用三個(gè)不相等的合數(shù)之和來(lái)表示。這樣的自然數(shù)中的最大一個(gè)是多少？答案：17【分析】18以上任何數(shù)都可以9、有些數(shù)既能表示成5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，還能表示成7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。例如：105就滿足上述要求，；；。請(qǐng)問(wèn)：在1至1000中一共有多少個(gè)滿足上述要求的數(shù)？答案：5個(gè)【分析】此數(shù)是5的倍數(shù)，7的倍數(shù)，除以6余3，最小105，最大945，共5個(gè)10、一個(gè)特殊的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為連續(xù)自然數(shù)數(shù)列?，F(xiàn)在設(shè)定指針第一秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為度（為小于360的整數(shù)），則其第二秒轉(zhuǎn)動(dòng)度，第三秒轉(zhuǎn)動(dòng)度……如果指針在第一圈內(nèi)恰好能指回出發(fā)位置，那么一共有幾種設(shè)定方法？最小可以被設(shè)成多少？答案：5種；15度【分析】連續(xù)自然數(shù)和為360設(shè)有n個(gè)（a+a+n-1）×n÷2=360（2a-1+n）×n=720一奇一偶720=16×32×5，奇數(shù)有6種取法，除去取1的情況，共5種。n=16時(shí)，a最小，a=15。11、某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門(mén)牌號(hào)分別是1,2,3，…，12。他們的電話號(hào)碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號(hào)碼都能被這家的門(mén)牌號(hào)碼整除。已知這些電話的首位數(shù)字都小于6，并且門(mén)牌號(hào)碼是9的這一家的電話號(hào)碼能被13整除。請(qǐng)問(wèn)：這一家的電話號(hào)碼是多少？答案：388089【分析】[2，3，4，……，12]=27720門(mén)牌9的這家為27720k+9當(dāng)k=1時(shí)，是13的倍數(shù)，27729再考慮是6位數(shù)27729+27720×13=38808912、在等差數(shù)列1,8,15,22,29,36,43，…中，如果前個(gè)數(shù)乘積的末尾0的個(gè)數(shù)比前個(gè)數(shù)乘積的末尾0的個(gè)數(shù)少3個(gè)，那么最小是多少？答案：108【分析】第n+1個(gè)數(shù)是125的倍數(shù)，125k是除以7余1，k最小為6125×6=750（750-1）÷7+1=108超越篇1、有一些正整數(shù)，它可以表示成連續(xù)20個(gè)正整數(shù)的和，而且當(dāng)把它表示成連續(xù)正整數(shù)之和（至少2個(gè)）的形式時(shí)，恰好有20種方法。這樣的正整數(shù)最小是多少？（寫(xiě)出質(zhì)因數(shù)分解）答案：【分析】是10的奇數(shù)倍，最小的話，考慮2×3a×5b的數(shù)（2首項(xiàng)-1+項(xiàng)數(shù)）×項(xiàng)數(shù)÷2=2×3a×5b（2首-1+項(xiàng)）×項(xiàng)=22×3a×5b（a+1）（b+1）=20+1=21=3×7a=6，b=2時(shí)最小2、有些自然數(shù)可以表示成兩個(gè)合數(shù)相乘再加上一個(gè)合數(shù)的形式，例如：。請(qǐng)問(wèn)：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是多少？答案：35【分析】4×4+4=2020以上的偶數(shù)都可以4×4+9=2525以上除以8余1的奇數(shù)都可以4×4+15=3131以上除以8余7的奇數(shù)都可以最大為354×4+21=3737以上除以8余5的奇數(shù)都可以4×4+27=4343以上除以8余3的奇數(shù)都可以3、在給定的圓周上有100個(gè)點(diǎn)。任取一點(diǎn)標(biāo)上1；按順時(shí)針?lè)较驈臉?biāo)有1的點(diǎn)往后數(shù)2個(gè)點(diǎn)，標(biāo)上2；從標(biāo)有2的點(diǎn)再往后數(shù)3個(gè)點(diǎn)，標(biāo)上3……依此類推，直至在圓周上標(biāo)出100。對(duì)于圓周上的這些點(diǎn)，有的點(diǎn)可能標(biāo)上多個(gè)數(shù)，有的點(diǎn)可能沒(méi)有被標(biāo)數(shù)。請(qǐng)問(wèn)：標(biāo)有100的那個(gè)點(diǎn)上標(biāo)出的數(shù)最小是多少？答案：75【分析】標(biāo)100的點(diǎn)是5050，所以是第50個(gè)點(diǎn)，的奇數(shù)倍?？紤]n為25的倍數(shù)周?chē)臄?shù)，n=75，n+1=76滿足4、三個(gè)聰明的初中生聚在一起玩一個(gè)推理的游戲。小強(qiáng)與小花各選了一個(gè)自然數(shù)并分別將它告訴小安。小安告訴小強(qiáng)和小花，他將分別把這兩個(gè)數(shù)的和與乘積寫(xiě)在不同的紙上。小安寫(xiě)好后，將其中一張紙藏起來(lái)，把另一張紙亮出來(lái)給小強(qiáng)和小花看（這張紙上寫(xiě)著2008）。小安請(qǐng)小強(qiáng)和小花互猜對(duì)方所選的數(shù)，小強(qiáng)首先宣稱他無(wú)法確定小花所選的數(shù)，小花聽(tīng)完小強(qiáng)的話后，也說(shuō)她無(wú)法確定小強(qiáng)所選的數(shù)。請(qǐng)問(wèn)：小花所選的數(shù)是多少？答案：1004【分析】2008=2×2×2×251小花與2008的差與商都是2008的約數(shù)。5、已知三個(gè)互不相等的正整數(shù)成等差數(shù)列，且三個(gè)數(shù)的乘積是完全平方數(shù)，那么這三個(gè)數(shù)的和最小是多少？答案：36【分析】假設(shè)三數(shù)為k，2k，3k，乘積是6k3，只要令k=6即滿足此時(shí)三數(shù)分別是6，12，186、是否存在一個(gè)完全平方數(shù)，它的每一位上的數(shù)字完全都相同（至少是兩位數(shù)）？如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【分析】平方數(shù)個(gè)位0，1，4，5，6，90排除，奇數(shù)平方十位數(shù)是偶數(shù)，1，5，9排除顯然不是4的倍數(shù)排除，，而顯然不是完全平方數(shù)。7、有一根均勻木棍，先用紅色刻度線將它分成等份，再用藍(lán)色刻度線將它分成等份，。然后按所有刻度線將該木棍鋸成小段，一共可以得到170根長(zhǎng)短不一的小棍，其中最長(zhǎng)的小棍恰有100根。求和。答案：135；40【分析】不用8、是否存在這樣