立體幾何題型與方法（理科）

1.平面

平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。

（1）.證明點共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據(jù)：由點在線上，線在面內(nèi)，

推出點在面內(nèi)），這樣可根據(jù)公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。

（2）.證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的

公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。

（3）.證共面問題一般先根據(jù)部分條件確定一個平面，然后再證明其余的也在這個平面內(nèi)，或者用同一法證

明兩平面重合

2.空間直線.

（1）.空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面.相交直線：共面有且僅有一個公共點；平行直線：共面

沒有公共點；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無公共點

［注］:①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（X）（也可能兩條直線平行，也可能是點

和直線等）

②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交

③若直線a、6異面，a平行于平面a,。與a的關(guān)系是相交、平行、在平面a內(nèi).

④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.

⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（X）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）

⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（義）（并非是從平面外丁點向這個平面所引的垂線段和

斜線段）

⑦a,b是夾在兩平行平面間的線段，若a=則a.b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.

⑧異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在

任何一個平面內(nèi)的兩條直線）

（2）.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方

向相同，那么這兩個角相等（如右圖）.

（直線與直線所成角Oe［0,90°］）

（向量與向量所成角0e［O,180］）

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

（3）.兩異面直線的距離：公垂線段的長度.

空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.

［注］：/"2是異面直線，則過口/外一點尸，過點尸且與/"2都平行平面有一個或沒有，但與一，2距離相等的

點在同一平面內(nèi).（人或人在這個做出的平面內(nèi)不能叫3與人平行的平面）

3.直線與平面平行、直線與平面垂直.

（1）.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

（2）.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平

面平行.（“線線平行=>線面平行”）

［注］:①直線。與平面a內(nèi)-條直線平行，則“〃a.（X）（平面外一條直線）

②直線。與平面a內(nèi)一條直線相交，則“與平面a相交.（X）（平面外一條直線）

③若直線a與平面a平行，則a內(nèi)必存在無數(shù)條直線與a平行.（J）（不是任意一條直線，可利用平行的傳

遞性證之）

④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（X）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一個平面的兩直線平行.（X）（兩直線可能相交或者異面）

⑥直線/與平面a、/所成角相等，則a〃夕.（X）（a、/可能相交）

（3）.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果?條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那

么這條直線和交線平行.（“線面平行n線線平行”）

（4）.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一

點有且只有一個平面和一條直線垂直.R

?若Pa±AO,得“，尸O（三垂線定理），Z/V—//

?三垂線定理的逆定理亦成立.

直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這

個平面.（“線線垂直n線面垂直”）

直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于?個平面，那么另?條也垂直于這個平面.

性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.

（5）.a.垂線段和斜線段長定理：從平面外7,卓向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線

段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線

段短.

［注］:垂線在平面的射影為一個點.［一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（X）］

b.射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平

分線上。

4.平面平行與平面垂直.

（1）.空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.

（2）.平面平行判定定理：如果一個平血內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行線

面平行n面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.

［注］:一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.

（3）.兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平

行n線線平行”）

（4）.兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.

兩個平面垂直判定二：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面線面垂直n

面面垂直”）

注：如果兩個二面角的平面分別對應(yīng)互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.

（5）.兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一

個平面.p

推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.于

簡證：如圖，在平血內(nèi)過0作OA、0B分別垂直于乙（，

因為PMu夕,04_L尸,PMua,_La則PA/_LO4PM，03.所以結(jié)論成立

（6）.兩異面直線任意兩點間的距離公式：1=6+1-2fmicOS。（9為銳角取減，鈍角取加,

綜上，都取減則必有（0,、）AKx

（1）.a.最小角定理：cos0=cos6）,cos0-,（“為最小角，如圖）/1~

b.最小角定理的應(yīng)用（/PBN為最小角）°^\1//圖2

圖1

簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.

成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.

成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.

成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.

5.棱柱.棱錐

（1）.棱柱.

a.①直棱柱側(cè)面積：S=Ch（C為底面周長，》是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.

②斜棱住側(cè)面積：S=C"（G是斜棱柱直截面周長，/是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖

為平行四邊形得出的.

b.｛四棱柱｝n1平行六面體｝n｛直平行六面體｝n｛長方體｝n｛正四棱柱｝n｛正方體｝.

｛直四棱柱｝n｛平行六面體｝=｛直平行六面體｝.

四枝柱平黑黑”行六面體，鬻直,直平行六而體噂?”長方體,雅，郵蠅底需靠球正方體

c.棱柱具有的性質(zhì):

①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是

全等的矩形.

②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.

③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.

注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.（X）/\/

（直棱柱不能保證底面是矩形，可如圖）

②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.，/7

d.平行六面體：'/

定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.

［注］:四棱柱的對角線不一定相交于一點.

定理二：長方體的一條對角線長的平方等于?個頂點上三條棱長的平方和.

推論-r長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為a,P，y,則cos?a+cos?/+cos2y=1.

推論二：長方體一-條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為a,夕,y,則cos?a+cos?/?+cos2y=2.

［注］:①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）（斜四棱柱的兩個平行的平面可以為矩形）

②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（X）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）

③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（X）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）

④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有?條側(cè)棱與底面的兩條邊垂（兩條邊可能相交，可能不

相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）

（2）.棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.

［注］:①一個三棱錐四個面可以都為直角三角形.

②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以V梭柱=Sh=3V梭柱.

a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.

［注］:i.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）

ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等

iii.正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.

②正棱錐的側(cè)面積：S」ch'（底面周長為C,斜高為〃’）

2

<?

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：Sf"=，幺（側(cè)面與底面成的二面角為a）一

附：以知C_L/,cosaa=b,a為二面角

則Si=4a?/①，S2=-l-b@,cosa”=b③=>①②③得5惻

22'cosa

注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個三角形面積和的方法）.

b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它

叫做正棱錐的斜高）.

②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成?個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也

組成一個直角三角形.

C.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置:

①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.

②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.

③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.

⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.

⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；

⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心/是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.

［注］:i.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（X）（各個側(cè)面的等腰三角形不知

是否全等）

ii.若一個三棱錐，兩條相對棱互相垂直，則第三組相對棱必然垂直.

簡證：AB±CD,AC±BD=>BC1AD.^AB=a,AD=c,AC=b

得正=就_凝=石工,而二=正.而=￡_荔，已知>1.二）=0

=><7C-Zc=0則靛.赤=0.

iii.空間四邊形0ABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.

iv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.

簡證：取AC中點0\貝IJZC,803XCn/CJ.平面OOZnZC18。nNFG"=90°易知EFGH為平行四邊形

nEFGH為長方形.若對角線等，則

EF=FG=EFGH為正方形.

（3）.球：

a.球的截面是?個圓面.

①球的表面積公式：5=4成2.②球的體積公式：/=上成3.

3

b.緯度、經(jīng)度：

①緯度：地球上一點P的緯度是指經(jīng)過尸點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).

②經(jīng)度：地球上48兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù),

特別地，當(dāng)經(jīng)過點Z的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是8點的經(jīng)度.

附：①圓柱體積：V=m'2h（尸為半徑，。為局）

②圓錐體積：V=-m-2h（r為半徑，h為高）

3

③錐體體積：V=—Sh（S為底面積，h為高）

3

（1）.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時，設(shè)邊長為a,h=*a,$底邛。L$惻=裊，得

V3V6V3D162DDV24r：V2HV6.

—a2---a=—a"2-R4--------aR=>R=—a/—>J3=a-yJ3=—a./K

434344344/%\

注：球內(nèi)切于四面體：VB_M=；S惻R-3+gs庇1<=5底11。/R;［匚、

②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.

6.空間向量.

（1）.a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.

注：①若1與分共線，3與l共線，則Z與】共線.（X）［當(dāng)％=6時，不成立］

②向量共面即它們所在直線共面.（X）［可能異面］

③若則存在小任一實數(shù)2,使J=（X）［與i=6不成立］

④若）為非零向量，則0；=。.（V）［這里用到志（石聲0）之積仍為向量］

b.共線向量定理：對空間任意兩個向量￡加170）,?〃，的充要條件是存在實數(shù)4（具有唯一性），使1=

c.共面向量：若向量;使之平行于平面a或［在a內(nèi)，則1與a的關(guān)系是平行，記作Z〃a.

d.①共面向量定理：如果兩個向量）1不共線，則向量A與向量）亟共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y使

P=xa+yh.

②空間任一點0和不共線三點A、B、C,則OP=xO/+yOB+zOC（x+y+z=l）是必比1四點共面的充要條

（簡證：OP^（\-y-z）OA+yOB+zOC^AP^yAB+zACA,B、C四點共面）

注：①②是證明四點共面的常用方法.

（2）.空間向量基本定理：如果三個向量m不去阿，那么對空間任一向量力,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)

組x、y>z,使p=x〃+y%+zc.

推論：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組X、八z使

OP=xdA+ydB+zOC（這里隱含x+y+z^l）.

注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，AB=b,AC=c,AD=d,^

中Q是aBCD的重心，則向量而=；（）+2+，用而=商+再即證.

對空間任一點0和不共線的三點A、B、C,滿足方=赤+Z0Q,

則四點P、A、B、C是共面。x+y+z=l

（3）.a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱坐標(biāo)），

z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.

①令。=（&,生,8）,1=（4也也），則

a+b=（at+bt,a2+b2,ay+b3）>Aa=6R）,a》=a1b\+a2b?+a3b3,

a//b^>a［=%b］,a2=2,a3=4b3（AeR）-^-=—-=---。

bib2b}

aLb0%々+0262+03。3=00

H=h?a=《aj+aj+aj（向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：>F=a?an卜［=a）

空間兩個向量的夾角公式cos<a,b>=［"自

同".1叫=括+蠟+才西+優(yōu)+片

（a=（apa2,a3）,b=（"也也））。

②空間兩點的距離公式：d-］（工2-Xi）?+（乃-為『+92-Z］）2.

b.法向量：若向量）所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂直于平面a,記作Jia,如果11a那么向量:

叫做平面a的法向量.

c.向量的常用方法：

①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面a的法向量，AB是平面a的一條射線，其中力ea,則

點B到平面a的距離為?一?.

|〃|

CD^n

②.異面直線間的距離d=一（人人是兩異面直線，其公垂向量為3,C、。分別是人4上任一點，d

H

為4,4間的距離）?

AB,m一

③.直線AB與平面所成角（3=a心③一一（加為平面a的法向量）.

\AB^m\

④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)1，大分別是二面角a-/-夕中平面a,〃的法向量，則［，Z所成的

角就是所求二面角的平面角或其補角大?。↖，工方向相同，則為補角，無反方，則為其夾角）.

m?n加?〃——

二面角。一/一/?的平面角6="ccos=-=或〃-awcos=——（m,〃為平面a,4的法向量）.

|加|w||?|

d.證直線和平面平行定理：已知直線。（Z平面a,A,B￡a,C,Dwa,且C、I）、E三點不共線，則a〃。的

充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對4,〃使罰=4而+〃無.（常設(shè)標(biāo)=%無+〃無求解人〃若兒〃存在即證畢，若4〃不

存在，則直線AB與平面相交）.

-€

T空間兩直線忤行加交、昇面I

直

線J線面平行I

.

彘—I直線和平面~T線面相交、垂直j

U三垂線定理I

程

兩平面平司

肇~~|空間兩平

球

恒立曜3

國提朝金繇H聶薔掾每看屋睡至困

—?枝錐I正枝錐

線線平行線線垂直

及

三

其

判

性

垂

判

逆

質(zhì)

定

線

定

定

定

定

定

定

理理

理

理

理

判

性

定

質(zhì)

定

定線面垂直

理

理線面

性

判

質(zhì)

定

定

定

理

理

理

面面平行面面垂直

一、經(jīng)典例題剖析

考點一空間向量及其運算

1.已知48,c三點不共線，對平面外任一點，滿足條件加=:8+］礪+|雙，

試判斷：點尸與4民。是否一定共面？

解析：要判斷點P與4B,C是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對xj使"=xNX+y就或?qū)?/p>

空間任一點0,有9=E+x益+丁就。

答案：由題意：5OP^OA+2OB+2OC,

：.(OP-OA)=2(OB-OP)+2(dC-OP),

：.AP^2PB+2PC,即方=-2萬—2定，

所以，點尸與4民。共面.

點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對

照形式將已知條件進行轉(zhuǎn)化運算.

2.如圖，已知矩形Z8C。和矩形ZOE/所在平面互相垂直，點N分別在對角線8。，AEL,且

BM=-BD,AN=-AE.求證：MN〃平面CDE.

33

解析：要證明MN〃平面CDE,只要證明向量兩可以用平面CDE內(nèi)的兩

個不共線的向量而和DC線性表示.

答案:證明：如圖，因為〃在8。上，且=所以

3

MB^-DB^-DA+-AB.同理京=,而+,瓦，又

33333

CD^BA=-AB,所以礪=礪+或+而

1一1——.1一1一2—1—2—1———■

=(—DA+—AB)+BA+(—AD+—DE)=—BA+—DE=—CD+—DE.又CD與。E不共線，根據(jù)共面向

33333333

量定理，可知加，CD,無共面.由于aW不在平面C0E內(nèi)，所以又乂〃平面C0E.

點評：空間任意的兩向量都是共面的.與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開.

考點二證明空間線面平行與垂直

3.如圖，在直三棱柱N8C一481G中，ZC=3,8c=4,/小=4,點。是的中點，⑴求證：ZCJ_8G；(II)

求證：/CW平面CQ8|；

解析：(1)證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂

直；(2)證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.

答案:解法一：⑴直三棱柱Z8C-48|G，底面三邊長ZC=3,BC=4AB=5,

：.ACLBC,且8G在平面/8C內(nèi)的射影為8C,ACLBC^

(II)設(shè)C5與GB的交點為E,連結(jié)DE,D是ZB的中點，E是

2G的中點，

DE//ZG，VDEU平面CD',4G(Z平面CDG，

/C|〃平面CD&；

解法二：?.?直三棱柱/8C-48G底面三邊長/C=3,BC=4,AB=5,：.AC,BC、GC兩兩垂直，如圖，以C

為坐標(biāo)原點，直線C4、CB、GC分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3,0,0),

G(0,0,4),B(0,4,0),5,(0,4,4),D(-,2,0)

2

(1)VAC=(-3,0,0),BC[=(0)-4,0),AAC?BCt=0,：.ACA-BCx.

—*3—*1-----

(2)設(shè)與。出的交戰(zhàn)為E,則E(0,2,2).,:DE=0,2),AC,=（—3,0,4）.DE=—AC、

22

???DE〃/G.

1

點評：2.平行問題的轉(zhuǎn)化：

轉(zhuǎn)介好心

面面平行＜----＞線面平行線線平行;

,為

主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理.

4.(2007武漢3月)如圖所示，四棱錐P—ABCD中,AB_LAD,CDJ_AD,

PA_L底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點。

(1)求證：BM〃平面PAD；

(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點N,使MNL平面PBD：

(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，

二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.

AB

p

答案：(1)???〃是PC的中點，取PD的中點E,則

ME^-CD,又ABgLCD

22

四邊形ABME為平行四邊形

BM//EA,BMU平面

EAu平面P/Z)AB

BM//平面(4分)

(2)以N為原點，以、4D、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則8(1,0,0)),

C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,C（0,0,2）,￡（0,1,1）

在平面尸/。內(nèi)設(shè)N（0,y,z）,MN=PB-=（1,0-2）,DB=（1-2,0）由加L.

：.MN-PB=-\-2z+2=0：.z=-

2

由疝J,加.?.加加=-1-2y+2=0y=]_

-2

N（0,N是NE的中點，此時W平面PBD

（8分）

（3）設(shè)直線PC與平面PRO所成的角為。

PC=（2,2-2）,加=1—1,—g,—g）,設(shè)卜2,加）為a

PC-MN-2也sin6=-cosa=也

cosa=

PCMN2VL遙3

2

V2

故直線PC與平面PBD所成角的正弦為—（12分）

3

解法二：

（1）是PC的中點，取PD的中點E,則

ME^-CD,又ABCCD

22

四邊形ABME為平行四邊形

BM//EA,BM（Z平面尸

EAu平面上4。

BM//平面（4分）

(2)由（1）知為平行四邊形

PA1底面N8CZ）PA工AB,又4BL4D

：.AB1平面尸4。同理CD1平面產(chǎn)/。,AEu平面PAD

AB1AEABME為矩形CD〃ME,CD1PD,又PD_LAE

ME1PD：.PD1平面ABMEPDu平面

平面尸8。1平面作MF1EB故MF1平面PB。

MF交AE于N,在矩形內(nèi)，4B=ME=1,AE=五

2,NE=4N為4E的中點

MF

32

當(dāng)點N為NE的中點時，平面P8。（8分）

(3)由（2）知MR為點又到平面尸8。的距離，為直線PC與平面P8。所成的角，設(shè)為6,

4團絲=也

MP3

V2

直線PC與平面PBD所成的角的正弦值為—

3

點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線

上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條

相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來

考點三求空間圖形中的角與距離

根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統(tǒng)一.解題

時注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是0°<6W90°,其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的

范圍是0°W0W90。，其解法是作垂線、找射影；二面角0°W0W180。，其方法是：①定義法；②三垂線定理及

其逆定理；③垂面法.另外也可借助空間向量求這三種角的大小.

5.（四川省成都市2007屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測）

如圖，四棱錐P-Z8CO中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底

面垂直，底面Z8C。是的菱形，M為PB的中點.

（I）求尸”與底面N8CD所成角的大??；

（II）求證：尸NJ"平面C。/；

（III）求二面角D-MC-B的余弦值.

解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平

移法，求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法，

答案：⑴取。C的中點。，由APOC是正三角形，有尸OLDC.

又?.?平面PDC_L底面ABCD,...POL平面ABCD于O.

連結(jié)。力，則。1是以在底面上的射影.就是尸/與底面所成角.

VZADC=60°,由已知NPCD和\ACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=^.

，/尸/。=45。.與底面48C?？沙山堑拇笮?5。.……6分

(H)由底面ZBC。為菱形且N/DC=60。，DC=2,D0=\,0A±DC.

建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則八/5,0,0),尸(0,0,6),D(0,-1,0),B(亞2,0),C(0,1,0).

由〃為P8中點，???跖冬。).

/.DM=(曰,2,專),PA=(瓜0,->/3),DC=(0,2,0).

/.⑸?麗=*x6+2x0+爭一揚=0,

^4DC=0X^+2X0+0X(-73)=0.

J.PAYDM,PALDC..,.尸/_1平面?！啊?..4分

(III)CM=(^,0,y),CB=(V3,1,0).令平面BMC的法向量為=(x,y,z),

貝lj?南=0,從而x+z=0;....①，n-CB=0,從而6x+y=0....②

由①、②，取X=T,則y=V5,z=l.二可取萬=(-1,技1).

由(H)知平面CC初的法向量可取9=(6,0,-6)，

.?.3<瓦9>=工豆=與吟=-巫....所求二面角的余弦值為一回.……6分

\n\\PA\75-7655

法二：(I)方法同上

(II)取/尸的中點N,連接VN,由(I)知，在菱形中，由于乙4。。=60°,

則NOLC。，又POLCD,則CQ_L平面/PO,即

又在AP/8中，中位線MN"=AB,COH-AB,則MN//CO,

=2=2=

則四邊形OCMN為,所以MC//ON,在A4Po中，AO=PO,

則ONJ.NP,故MC而

則PA1平面

(III)由(II)知MC_L平面PZ8,則NNA"為二面角?！狹C—8的平面角，

在RfAPAB中,易得PA=瓜,PB=飛PA"+AB。=《后+2,=麗,CGsNPBA=理=3=巫

PB屈5

cosNNMB=cosS-ZPBA)=-乎故，所求二面角的余弦值為—乎

點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面甭的一般求法，綜合性較強.用平移法求異面直線所

成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.

6.(2007河北省唐山市三模)如圖，在長

方體4GA中，AD=AA,=l,AB=2,

點E在線段Z8上.

(I)求異面直線。田與其。所成的角；

(11)若二面角9—EC—。的大小為45。，求

點8到平面REC的距離.

解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識，本題實質(zhì)上求角度和距離，在求此類問題中，要將這些量歸結(jié)到三

角形中，最好是直角三角形，這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.

答案：解法-：(1)連結(jié)/2。由已知，44QQ是正方形，有

：N8_L平面44QQ，,AD,是"E在平面44QQ內(nèi)的射影。

根據(jù)三垂線定理，4RLRE得,則異面直線。也與耳。所成的角為90°。

作_LCE,垂足為連結(jié)。/，則CE_L。尸

所以NDFD]為二面角D.-EC-D的平面角,4DFD、=45°.

于是DF=DR=1RF=V2

易得RtA5CE￡RtAC￡>/,所以CE=CD=2,又BC=1,所以BE=有。

設(shè)點B到平面D{EC的距離為h.

.?""g=%它即(9"￡)尸"=；38"80。2，

:.CE-D[Fh=BEBCDD\,即2血。=百，：.h=^-.

故點B到平面D.EC的距離為當(dāng)。

解法二：分別以為x軸、V軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

(I)由4(i,o,1),得函=(i,o,i)

設(shè)E(l,a,0),又A(0,0,1),則屏=(1,兄—1)。

?.?麗?察=1+0-1=0.?.西J,麻

則異面直線DXE與AQ所成的角為90°o

(II)加=(0,0,1)為面。EC的法向量，設(shè)〃=(x,y,z)為面CE。的法向量，則

,、?,\m-n\|z|.coV2

n=(x,y,z)cos<m,n>=------L=,==cos45=——

\m\\n\-2+.+z22

2

/.z2=x2+y.①

由C(0,2,0),得萬?=(0,2,—1),則〃，方口，即〃?瓦=0

.\2y-z=0②

由①、②，可取〃=(百,1,2)

又C3=(l,0,0),所以點8到平面3EC的距離

J\CBn\V3V6

d=-------=—產(chǎn)=。

Inl2V24

點評：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重

點內(nèi)容，本題實質(zhì)上求南度和距離，在求此類問題中，盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中，最好是直角三角形，這樣計算

起來，比較簡單，此外用向量也是一種比較好的方法，不過建系一定要恰當(dāng)，這樣坐標(biāo)才比較容易寫出來.

考點四探索性問題

7.(2007年4月濟南市