青海省西寧市三年(2020-2022)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

一.實(shí)數(shù)的運(yùn)算(共2小題)

1.(2022?西寧)計(jì)算：(-2)3+^^+(A)

3

2.(2020?西寧)計(jì)算：3-2X|-9|+(-IT)°.

二.完全平方公式(共1小題)

3.(2020?西寧)化簡(jiǎn)：3(，+2)-(x-1)2.

三.因式分解的應(yīng)用(共1小題)

4.(2022?西寧)八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

將2a-3ab-4+6%因式分解.

【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)

=a(2-3b)-2(2-3%)

=(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b)

=2(a-2)-3b(a-2)

=Ca-2)(2-3b)

【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組,

再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法.分組

分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用.(溫馨提示：因式

分解一定要分解到不能再分解為止)

【類比】(1)請(qǐng)用分組分解法將7-因式分解；

【挑戰(zhàn)】(2)請(qǐng)用分組分解法將依+$-2"-康+廿因式分解；

【應(yīng)用】(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理.如圖，

“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形.若

直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。和6斜邊長(zhǎng)是3,小正方形的面積是1.

根據(jù)以上信息，先將a4-2a3/2/必,2ab3+b,因式分解，再求值.

四.分式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）

2_1L

5.（2020?西寧）先化簡(jiǎn)，再求值：（1與_）其中a八歷+L

a+aa+2a+l

五.負(fù)整數(shù)指數(shù)第（共1小題）

6.（2021?西寧）計(jì)算：（_2）2+6廠1_|一31

六.二次根式的混合運(yùn)算（共1小題）

7.（2021?西寧）計(jì)算：（遙+3）（通-3）-（V3-1）2.

七.解一元二次方程-因式分解法（共1小題）

8.（2021?西寧）解方程：x（x-2）=x-2.

八.解分式方程（共2小題）

9.（2022?西寧）解方程：一^―--?—=0.

2上2

x+xX-X

10.（2021?西寧）解方程：三包-——=1.

V-121

x1x-1

九.解一元一次不等式組（共1小題）

’2x-24x

11.（2020?西寧）解不等式組|.1，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

x+2>?x-l

一十.一元一次不等式組的整數(shù)解（共1小題）

12.（2022?西寧）解不等式組：［x-3（xj2）>4,并寫出該不等式組的最大整數(shù)解.

12x+l<x-l

一十一.一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

13.（2021?西寧）城鄉(xiāng)學(xué)校集團(tuán)化辦學(xué)已成為西寧教育的一張名片.“五四”期間，西寧市

某集團(tuán)校計(jì)劃組織鄉(xiāng)村學(xué)校初二年級(jí)200名師生到集團(tuán)總校共同舉辦“十四歲集體生

日”.現(xiàn)需租用4,8兩種型號(hào)的客車共10輛，兩種型號(hào)客車的載客量（不包括司機(jī)）和

租金信息如表：

型號(hào)載客量租金單價(jià)

（人/輛）（元/輛）

A16900

B221200

若設(shè)租用A型客車x輛，租車總費(fèi)用為y元.

（1）請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量取值范圍）;

(2)據(jù)資金預(yù)算，本次租車總費(fèi)用不超過(guò)11800元，則A型客車至少需租幾輛？

(3)在(2)的條件下，要保證全體師生都有座位，問(wèn)有哪幾種租車方案？請(qǐng)選出最省

錢的租車方案.

一十二.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式(共1小題)

14.(2022?西寧)如圖，正比例函數(shù)y=4x與反比例函數(shù)產(chǎn)區(qū)(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(a,

x

4),點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，連接A8,過(guò)點(diǎn)8作軸于點(diǎn)C(2,0).

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)。在第一象限，且以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出

一十三.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題(共1小題)

15.(2021?西寧)如圖，正比例函數(shù)y=L與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點(diǎn)A,

2x

AB_Lx軸于點(diǎn)8,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C,連接OC.若cos/BOC=2,OC=3.

3

(1)求08的長(zhǎng)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)將AAOB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°,請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4'的坐標(biāo).

一十四.反比例函數(shù)綜合題(共1小題)

16.（2020?西寧）如圖，一次函數(shù)y=-x+l的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A,8兩點(diǎn)，與反

比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C（-2,/?）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P在y軸正半軸上，且與點(diǎn)B,C構(gòu)成以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出

所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

一十五.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

17.（2022?西寧）如圖，拋物線丫=蘇+板+3與x軸交于點(diǎn)A（3,0）,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)

C在直線AB上，過(guò)點(diǎn)C作。。工》軸于點(diǎn)。（1,0）,將△48沿CO所在直線翻折，使

點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處.

（1）求拋物線解析式；

（2）連接BE,求aBCE的面積；

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使/PEA=/BAE?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

18.（2021?西寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，一次函數(shù)），=-L+3的圖象與x軸交

2

于點(diǎn)A,與），軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0）,拋物線經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線4。與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)。，且求證：OB=OD：

（3）在（2）的條件下，若直線4。與拋物線的對(duì)稱軸/交于點(diǎn)E,連接BE,在第一象

限內(nèi)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形BE4P的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的

19.（2020?西寧）如圖1,一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為

（0,4）,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=-（x+2）2.

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）如圖2,將拋物線的頂點(diǎn)沿線段AB平移，此時(shí)拋物線頂點(diǎn)記為C,與y軸交點(diǎn)記

為D,當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1時(shí)，求拋物線的解析式及D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)3,D,尸為頂點(diǎn)的三角形與

△A08相似，若存在，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

一十六.菱形的性質(zhì)（共1小題）

20.（2022?西寧）如圖，四邊形ABCD是菱形，AELBC于點(diǎn)E,AFLCD于點(diǎn)?

（1）求證：AABE^AADF；

（2）若AE=4,CF=2,求菱形的邊長(zhǎng).

一十七.矩形的判定與性質(zhì)（共1小題）

21.（2021?西寧）如圖，四邊形A8CD是菱形，對(duì)角線AC,BO相交于點(diǎn)O,IXBOg2

CEB.

（I）求證：四邊形OBEC是矩形；

（2）若/ABC=120°,AB=6,求矩形OBEC的周長(zhǎng).

一十八.正方形的性質(zhì)（共1小題）

22.（2020?西寧）如圖，E是正方形ABCO對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE,CE,并延長(zhǎng)CE

交AD于點(diǎn)F.

（1）求證：ZVIBE四△CBE；

（2）若/AEC=140°,求/QFE的度數(shù).

一十九.切線的判定與性質(zhì)（共1小題）

23.（2021?西寧）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AB=AC,4。是O。的直徑，交BC于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)。作。尸〃BC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接BD

(1)求證：。尸是OO的切線；

(2)已知AC=12,AF=15,求。F的長(zhǎng).

24.(2022?西寧)如圖，在RtZXABC中，/C=90°,點(diǎn)。在AB上，以8。為直徑的。。

與AC相切于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)凡連接OF,OE交于點(diǎn)M.

(1)求證：四邊形EMFC是矩形；

(2)若AE=匹,。。的半徑為2,求FM的長(zhǎng).

二十一.相似三角形的判定與性質(zhì)(共1小題)

25.(2020?西寧)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0交AC于點(diǎn)。，交BC

于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE至點(diǎn)尸，使EF=AE,連接尸B,FCDE.

(1)求證：四邊形ABFC是菱形；

(2)若CD=1,BE=2,求。。的半徑.

B

二十二.解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）

26.（2020?西寧）如圖1,通海橋是西寧市海湖新區(qū)地標(biāo)建筑，也是我省首座大規(guī)模斜拉式

大橋，通海橋主塔兩側(cè)斜拉鏈條在夜間亮燈后猶如天鵝之翼，優(yōu)雅非凡.某數(shù)學(xué)“綜合

與實(shí)踐”小組的同學(xué)利用課余時(shí)間按照如圖2所示的測(cè)量示意圖對(duì)該橋進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量,

測(cè)得如下數(shù)據(jù)：NA=30°,ZB=45°,斜拉主跨度AB=260米.

（1）過(guò)點(diǎn)C作CCAB,垂足為￡>,求CO的長(zhǎng)（通取1.7）；

（2）若主塔斜拉鏈條上的LED節(jié)能燈帶每米造價(jià)800元，求斜拉鏈條AC上燈帶的總造

價(jià)是多少元？

圖1圖2

二十三.列表法與樹(shù)狀圖法（共3小題）

27.（2022?西寧）“青繡”是我省非遺項(xiàng)目，其中土族盤繡、涅中堆繡、貴南藏繡、河涅刺

繡等先后列入國(guó)家級(jí)、省級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.

（1）省文旅廳為調(diào)查我省青少年對(duì)“青繡”文化的了解情況，應(yīng)選擇的調(diào)查方式是

（填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”）；

（2）為了增進(jìn)我省青少年對(duì)“青繡”文化的了解，在一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中設(shè)置了轉(zhuǎn)盤游

戲.如圖所示，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，指針固定不動(dòng)，轉(zhuǎn)盤被分成了大小相同的4

個(gè)扇形，并在每個(gè)扇形區(qū)域分別標(biāo)上A,B,C,代表土族盤繡、B代表涅中堆繡、

C代表貴南藏繡、。代表河涅刺繡）.游戲規(guī)則：每人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指

針落在哪個(gè)區(qū)域就獲得相應(yīng)的繡品（若指針落在分界線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某

一區(qū)域內(nèi)為止）.請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法求出甲，乙兩名同學(xué)獲得同一種繡品的概率,

并列出所有等可能的結(jié)果.

A

BD

28.（2021?西寧）某校在“慶祝建黨100周年”系列活動(dòng)中舉行了主題為“學(xué)史明理，學(xué)史

增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行”的黨史知識(shí)競(jìng)賽.設(shè)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閤分，若規(guī)定：當(dāng)x>90

時(shí)為優(yōu)秀，75WxV90時(shí)為良好，60Wx<75時(shí)為一般，現(xiàn)隨機(jī)抽取30位同學(xué)的競(jìng)賽成

績(jī)?nèi)绫?

9888907210078959210099

849275100859093937092

788991839398888590100

（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是,樣本數(shù)據(jù)中成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率是

（2）在本次調(diào)查中，A,B,C,。四位同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)均為100分，其中A,B在九年

級(jí)，C在八年級(jí)，。在七年級(jí)，若要從中隨機(jī)抽取兩位同學(xué)參加聯(lián)盟校的黨史知識(shí)競(jìng)賽,

請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法求出抽到的兩位同學(xué)都在九年級(jí)的概率，并寫出所有等可能

結(jié)果.

29.（2020?西寧）隨著手機(jī)APP技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們的溝通方式更便捷、多樣.某校數(shù)

學(xué)興趣小組為了解某社區(qū)20?60歲居民最喜歡的溝通方式，針對(duì)給出的四種APP（A微

信、BQQ.C釘釘、。其他）的使用情況，對(duì)社區(qū)內(nèi)該年齡段的部分居民展開(kāi)了隨機(jī)問(wèn)

卷調(diào)查（每人必選且只能選擇其中一項(xiàng)）.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)

你根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：

（1）參與問(wèn)卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)是

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若小強(qiáng)和他爸爸要在各自的手機(jī)里安裝A,B,C三種APP中的一種，求他倆選擇

同一種APP的概率，并列出所有等可能的結(jié)果.

青海省西寧市三年(2020-2022)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

參考答案與試題解析

實(shí)數(shù)的運(yùn)算(共2小題)

1.(2022?西寧)計(jì)算：(-2)3+A/12+(―)

3

【解答】解：原式=-8+2我+3

=243-5.

2.(2020?西寧)計(jì)算:3-2X|-9|+(-n)°.

【解答】解：原式=2X9+1

9

=2.

二.完全平方公式(共1小題)

3.(2020?西寧)化簡(jiǎn)：3(?+2)-(x-I)2.

【解答】解：原式=37+6-(？-2x+l)

=3?+6-J?+2X-1

=2$+2x+5.

三.因式分解的應(yīng)用(共1小題)

4.(2022?西寧)八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

將2a-3ab-4+6b因式分解.

【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)

=a(2-36)-2(2-38)

=(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-Sab-6b)

=2(a-2)-3bCa-2)

=(a-2)(2-3b)

【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組,

再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法.分組

分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用.(溫馨提示：因式

分解一定要分解到不能再分解為止)

【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將/-J+x+q因式分解；

【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將ax+a2-2ab-bx+b2因式分解；

【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理.如圖,

“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形.若

直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是“和6（">〃），斜邊長(zhǎng)是3,小正方形的面積是1.

根據(jù)以上信息，先將/-2/什2/層-2a序+乂因式分解，再求值.

【解答】解：(1)原式=(7-/>+(x+q)

=(冗+。)(X-。)+(x+a)

=(x+。)(X-。+1)；

(2)原式=Cax-hx)+(a2-2ah+h2)

=x(a-b)+(a-b)2

=(。-b)(x+。-/?)；

(3)原式=(J+2/序+M)-(2ah3+2a3h)

=(j+廬)2-2ab(廿+廿)

=(c/+廿)(a2+/?2-2ab)

=(/+必)(“-b)2,

???直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是〃和〃(a>8),斜邊長(zhǎng)是3,小正方形的面積是1,

222

Aa+Z>=3=9,(Q-6)2=1,

工原式=9.

四.分式的化簡(jiǎn)求值(共1小題)

2_1L

5.(2020?西寧)先化簡(jiǎn)，再求值：(r；)+V=，其中a=&+1.

a+aa+2a+l

2

【解答】解：原式=(旦/■-」—)+(a+1)(a-1)

a2+aa2+a(a+1)2

=a、+a-a?(a+1)'

a(a+1)(a+1)(a-1)

=a2.(a+1)，

a(a+1)(a+1)(a-1)

a-1

當(dāng)〃=&+1時(shí)，原式=+1=A'12.

A/2+I-I2

五.負(fù)整數(shù)指數(shù)塞（共1小題）

6.（2021?西寧）計(jì)算：（_2）2+e廠1_|卜

【解答】解：原式=4+2-3

=6-3

=3.

六.二次根式的混合運(yùn)算（共1小題）

7.（2021?西寧）計(jì)算：（遙+3）（V5-3）-（A/3-1）2

【解答】解：原式=5-9-（3-2A/3+1）

=-4-4+2A/3

=-8+2V3.

七.解一元二次方程-因式分解法（共1小題）

8.（2021?西寧）解方程：x（%-2）=x-2.

【解答】解：x（x-2）-（x-2）=0,

（x-2）（x-1）=0,

x-2=0或冗-1=0,

所以Xl=2,X2=l.

八.解分式方程（共2小題）

9.（2022?西寧）解方程：-_旦_=0.

x2a+.xx2-x

【解答】解：方程兩邊同乘以X（x+1）（X-1）得：

4（x-1）-3（x+1）=0.

去括號(hào)得：

4x-4-3x-3=0,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：

x=7.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=7時(shí)，x(x+1)(x-1)W0,

:*x=7是原方程的根.

：.x=7.

10.（2021?西寧）解方程：2tL—-=1.

xV-1x2-11

【解答】解：方程兩邊同乘Q+l）（x-1）,得

（x+1）2-4=（x+1）（X-1）,

整理得2%-2=0,

解得x=l.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，（x+1）（x-1）=0,

所以x=l是增根，應(yīng)舍去.

二原方程無(wú)解.

九.解一元一次不等式組（共1小題）

’2x-24x

11.（2020?西寧）解不等式組]、1,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

x+2>-yx-l

’2x-24x①

【解答】解：、1-，

x+2>$-l②

解不等式①，得xW2,

解不等式②，得x>-2,

二不等式組的解集是-2<xW2.

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)為：

-7-6-5-4-3-2-10123456".

一十.一元一次不等式組的整數(shù)解（共1小題）

12.（2022?西寧）解不等式組：[x-3（「2）>4,并寫出該不等式組的最大整數(shù)解.

12x+l<x-l

【解答】解:[x-3（,2）1①,

[2x+l<x-l②

解不等式①得：xWl,

解不等式②得：x<-2,

不等式組的解集是x<-2,

該不等式組的最大整數(shù)解為-3.

一十一.一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

13.（2021?西寧）城鄉(xiāng)學(xué)校集團(tuán)化辦學(xué)已成為西寧教育的一張名片五四”期間，西寧市

某集團(tuán)校計(jì)劃組織鄉(xiāng)村學(xué)校初二年級(jí)200名師生到集團(tuán)總校共同舉辦“十四歲集體生

日”.現(xiàn)需租用A,B兩種型號(hào)的客車共10輛，兩種型號(hào)客車的載客量（不包括司機(jī)）和

租金信息如表：

型號(hào)載客量租金單價(jià)

（人/輛）（元/輛）

A16900

B221200

若設(shè)租用4型客車x輛，租車總費(fèi)用為y元.

（1）請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量取值范圍）；

（2）據(jù)資金預(yù)算，本次租車總費(fèi)用不超過(guò)11800元，則A型客車至少需租幾輛？

（3）在（2）的條件下，要保證全體師生都有座位，問(wèn)有哪幾種租車方案？請(qǐng)選出最省

錢的租車方案.

【解答】解：（1）y=900x+1200（10-x）=-300^+12000,

；.y=-300x+12000：

（2）根據(jù)題意，得-300x+12000W11800,

解得：x^l,

3

應(yīng)為正整數(shù)，

.?.X21

；.A型客車至少需租1輛;

（3）根據(jù)題意，得16x+22（10-x）>200,

解得xW蛇，

3

結(jié)合（2）的條件，

33

應(yīng)為正整數(shù)，

.?.X取1,2,3,

二租車方案有3種，

方案一：A型客車租1輛，8型客車租9輛;

方案二：A型客車租2輛，B型客車租8輛;

方案三：A型客車租3輛，B型客車租7輛;

Vy=-300x+12000,YO,

隨x的增大而減小，

.?.當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值y最小，

二最省錢的租車方案是A型客車租3輛，8型客車租7輛.

一十二.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式(共1小題)

14.(2022?西寧)如圖，正比例函數(shù)y=4x與反比例函數(shù)>=區(qū)(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(a,

x

4),點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，連接AB,過(guò)點(diǎn)B作BCLx軸于點(diǎn)C(2,0).

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)。在第一象限，且以4,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出

【解答】解：(1)???正比例函數(shù)y=4x與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(a,

X

4),

.?.4=4m

???A(1,4),

...k=4X1=4.

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為：尸全

X

(2)當(dāng)x=2時(shí)，y=A=2,

2

：.B(2,2).

：.BC=2,

???。在第一象限，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

：.AD//BC,AD=BC=2,

的坐標(biāo)為(1,2)或(1,6).

一十三.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題(共1小題)

15.(2021?西寧)如圖，正比例函數(shù)y=L與反比例函數(shù)y=K(%>0)的圖象交于點(diǎn)A,

2x

軸于點(diǎn)8,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C,連接0C.若cosNB0C=2,0C=3.

3

(1)求08的長(zhǎng)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)將AAOB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°,請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo).

【解答】.解：(I)??SBLr軸于點(diǎn)8,

：.NOBC=96°,

在Rtz^OBC中，OC=3,COS/BOC=2,

3

?.?-0--B-_2f

OC3

：.OB=2,

??.點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,

又??,點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=/的圖象上，

-*-y=4-X2=L

2

???A(2,1),

把A(2,1)代入丫=乂得1=區(qū)，

x2

:?k=2,

...反比例函數(shù)的解析式是y=2(x>0)；

X

(2)若將△AOB繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'(1,-2),

若將△AOB繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4'（-1,2）,

一十四.反比例函數(shù)綜合題（共1小題）

16.（2020?西寧）如圖，一次函數(shù)y=-x+l的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A,8兩點(diǎn)，與反

比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C（-2,m）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P在y軸正半軸上，且與點(diǎn)B,C構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出

所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：（1）?.?點(diǎn)C（-2,加）在一次函數(shù)y=-x+1的圖象上,

把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+1,得m=-（-2）+1=3,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2,3）,

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y支（k#0），

X

把點(diǎn)C的坐標(biāo)（-2,3）代入yju得，3』，

x-2

解得k=-6,

，反比例函數(shù)的解析式為y=3;

X

(2)在直線y=-x+1中，令x=0,則y=l,

：.B(0,1),

由(1)知，C(-2,3),

?*-BC=V(3-1)2+(-2)2=2加，

當(dāng)3c=8P時(shí)，8尸=2弧，

：.OP=l42+\,

：.P(0,2&+1),

當(dāng)BC=PC時(shí)，點(diǎn)C在BP的垂直平分線，

：.P(0,5),

即滿足條件的點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,5)或(0,2V2+D.

一十五.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

17.(2022?西寧)如圖，拋物線丫=0?+&+3與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)

C在直線AB上，過(guò)點(diǎn)C作C￡)J_x軸于點(diǎn)。(I,0),將△ACD沿CO所在直線翻折，使

點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處.

(1)求拋物線解析式；

(2)連接BE,求△BCE的面積；

(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使=若存在，求出產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)???將△ACO沿CO所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,0),

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,0).

將A(3,0),E(-1,0)代入y=o?+bx+3,

得"9a+3b+3=0,解得：卜=7,

Ia_b+3=0Ib=2

.?.拋物線的解析式為丫=-/+2x+3.

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=-IX(0)2+2*0+3=3,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3).

設(shè)直線A8的解析式為（相/0）,

將A（3,0）,B（0,3）代入了=見(jiàn)+小

得：「mmO,解得：,=-1,

In=3In=3

直線AB的解析式為y=-x+3.

?.?點(diǎn)C在直線A8上，。。_1犬軸于點(diǎn)。（1,0）,當(dāng)x=l時(shí)，y=-IX1+3=2,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,2）.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,2）,點(diǎn)E的坐標(biāo)

為（-1,0）,

：.AE=4,08=3,C￡>=2,

ASABCE=SAABE-SAAC￡=AAE?OB-LE?C￡>TX4X3-工X4X2=2,

2222

...△8CE的面積為2.

（3）存在，理由如下：

；點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（0,3）,

：.OA=OB=3.

在Rt^AOB中，NAOB=90°,OA=OB,

：.ZBAE=45°.

；點(diǎn)P在拋物線上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（機(jī)，-m2+2m+3）.

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)記為為，過(guò)點(diǎn)Pi作軸于點(diǎn)M,

在RtZYEMPi中，NP|E4=45°,ZPiME=90",

：.EM=P\M,即m-（-1）=-m2+2m+3,

解得：，川=-1（不合題意，舍去），mi—2,

.?.點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2,3）；

②當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí)記為Pz，過(guò)點(diǎn)P2作PiNYx軸于點(diǎn)N,

在Rt/\ENP2中,NP2EN=45°,ZPiNE=90°,

2

：.EN=P2N,SPtn-（-1）=-（-w+2zn+3）,

解得：加1=-1（不合題意，舍去），，〃2=4,

二點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為（4,-5）.

綜上所述，拋物線上存在一點(diǎn)P,使NPE4=NBAE,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）或（4,-5）.

18.（2021?西寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，一次函數(shù)），=-1+3的圖象與x軸交

2

于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0）,拋物線經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線A。與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)。，且/BAO=ND4。，求證：OB=OD；

（3）在（2）的條件下，若直線AO與拋物線的對(duì)稱軸/交于點(diǎn)E,連接BE,在第一象

限內(nèi)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形BEAP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)及四邊形BEAP面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解得x=6,

令1=0,則y=3,

AA(6,0),B(0,3),

設(shè)拋物線的解析式為y=/+以+c,

把A,B,。三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得:

36a+6b+c=0

<c=3，

4a_2b+c=0

,1

a-口

解得:b=i，

c=3

...拋物線的解析式為丫=士+x+3；

4

(2)證明：：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

：.Z8OA=ZDOA=90°,

在△BOA和△OOA中，

，ZB0A=ZD0A

<0A=0A，

ZBA0=ZDA0

：./\BOA^/^DOA(ASA),

：.OB=OD,

(3)存在，理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)E作目WJ_y軸于點(diǎn)M,

,.，y=^C2+X+3——(x-2)2+4,

44

.?.拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,

點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,即EM=2,

,:B(0,3),

：.OB=OD=3,

：.BD=6,

'：A(6,0),

：.OA=6,

??S/\ABE=S&ABD~SADBE=—6X6——X6X2=12，

22

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(r,二尸+/+3),

4

連接外，PB,過(guò)點(diǎn)P作PNJ_x軸于點(diǎn)M，交直線AB于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)B作BH2，PN于點(diǎn)

“2,

：.N(t,-A/+3),

2

PN=」P+t+3-(--t+3)=’尸+31，

4242

?.?AHI+BH2=OA=6,SAABP=SANBP+SMNP=LPN?BH2dpN.AH\=LPN?OA,

222

?,-S&ABP——X6(，金+2f)=&(r-3)2+紅，

24244

VO,拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，

4

當(dāng)t=3時(shí)，△8B4面積的最大值是2L此時(shí)四邊形BEAP的面積最大，

4

四邊形BEAP的面積最大值為21+12=匹，

44

...當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是(3,」互)時(shí)，四邊形2EAP面積的最大值是匹.

19.(2020?西寧)如圖1,一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,4),以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=-(x+2)2.

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)如圖2,將拋物線的頂點(diǎn)沿線段AB平移，此時(shí)拋物線頂點(diǎn)記為C,與y軸交點(diǎn)記

為。，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1時(shí)，求拋物線的解析式及。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，線段AB上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)8,D,P為頂點(diǎn)的三角形與

△A08相似，若存在，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

【解答】解：(1)???拋物線解析式為y=-G+2)2,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

設(shè)一次函數(shù)解析式為(Ar0),

把A(-2,0),B(0,4)代入丫=履+'

得卜2k+b=0,

Ib=4

解得，k=2,

Ib=4

一次函數(shù)解析式為y=2x+4；

(2)?.?點(diǎn)C在直線y=2x+4上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,

：.y=2X(-I)+4=2,

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(-1,2),

設(shè)平移后的拋物線解析式為y="(x-/z)~+k(“WO),

'.'a--1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(-1,2),

...拋物線的解析式是丫=-(X+1)2+2,

???拋物線與y軸的交點(diǎn)為。，

令X—0?得y—1,

.?.點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,1);

(3)存在，

①過(guò)點(diǎn)D作P\D//OA交AB于點(diǎn)Pi,

圖2

:.XBDP\SXB0A,

AP\點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,代入一次函數(shù)y=2x+4,

得x=3,

2

.?.Pi的坐標(biāo)為(R,1)；

2

②過(guò)點(diǎn)D作PiDYAB于點(diǎn)P2,

：.ZBP2D^ZAOB=9QQ,

又?:NDBP2=ZABO(公共角)，

.?.△BP20s△BOA,

?.?--O--B--Z2--A-B--,

P2BBD

?.?直線y=2_r+4與無(wú)軸的交點(diǎn)A(-2,0),B(0,4),

又：。(0,1),

：.0A=2,08=4,BD=3,

AB=722+42=2>/5>

.42V5

??=

P2B3

?FB*

過(guò)P2作P2MLy軸于點(diǎn)M,

設(shè)尸2(m2a+4),

貝ijP2M=|a|=-a,BM=4-(2a+4)=-2a,

222>

在RtZ\8P2M中P2M+BM=P2B

?，,（-a）2+（-2a）2=（身醇）2，

解得+旦（舍去），

55

-6

??

b

--8

??2a+4=三,

b

，P2的坐標(biāo)為（3,一）,

55

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：1）或（也，B）.

255

一十六.菱形的性質(zhì)（共1小題）

20.（2022?西寧）如圖，四邊形ABC。是菱形，AELBC于點(diǎn)E,AFLCQ于點(diǎn)F.

（1）求證：ZiABE名△AOF；

（2）若AE=4,CF=2,求菱形的邊長(zhǎng).

【解答】(1)證明：???四邊形488是菱形,

：.AB=BC^CD=AD,NB=ND,

"：AELBC,AF±CD,

：.ZAEB=ZAFD,

在△A8E和△AOF中，

，ZAEB=ZAFD

<ZB=ZD-

AB=AD

A^ABE^/XADF(A4S)；

（2）解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,

"：AB=CD^x,CF=2,

二。尸=x-2,

AABE^/\ADF,

：.BE=DF=x-2,

在RtaABE中，根據(jù)勾股定理得,

AE1+BE1=AB2,

即42+(%-2)2=/,

解得x=5,

菱形的邊長(zhǎng)是5.

一十七.矩形的判定與性質(zhì)(共1小題)

21.(2021?西寧)如圖，四邊形ABCZ)是菱形，對(duì)角線AC,BO相交于點(diǎn)。，

CEB.

(1)求證：四邊形OBEC是矩形；

(2)若NA8C=120°,43=6,求矩形OBEC的周長(zhǎng).

【解答】(1)證明：?.'△BOC絲△CEB,

：.OB=EC,OC=EB,

四邊形OBEC是平行四邊形，

?.?四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,

ZBOC=90°,

平行四邊形O8EC是矩形；

(2)解：；四邊形ABCO是菱形，AB=6,ZABC=U0°,

：.AC±BD,BC=AB=6,ADBC=^AABC=6Q°,

2

...NBOC=90°,

AZOCB=30°,

：.OB=^BC=3,

2

；?℃=VBC2-0B2=762-32=3a,

矩形OBEC的周長(zhǎng)=2(3a+3)=6百+6.

一十八.正方形的性質(zhì)(共1小題)

22.(2020?西寧)如圖，E是正方形A8C￡＞對(duì)角線BO上一點(diǎn)，連接AE,CE,并延長(zhǎng)CE

交AO于點(diǎn)F.

(1)求證：AABE會(huì)4CBE；

(2)若NAEC=140。，求NQFE的度數(shù).

【解答】(1)證明：I?四邊形ABC力是正方形，

：.AB=CB,/ABC=NAOC=90°,ZABE=ZCBE=ZADB=j-X90°=45°，

在△ABE和△CBE中，

'AB=CB

<ZABE=ZCBE,

BE=BE(公共邊)

:.AABE出/\CBE(SAS)；

(2)VAABE^ACBE,

NAEB=NCEB,

又；N4EC=140°,

AZCEB=70°,

VZD￡C+ZCEB=180°,

/.ZDEC=180°-ZCEB=110°,

NDFE+NADB=/DEC,

：.ZDFE=ZDEC-ZADB=110°-45°=65°.

一十九.切線的判定與性質(zhì)(共1小題)

23.(2021?西寧)如圖，AABC內(nèi)接于。。，AB=ACfA。是。。的直徑，交BC于點(diǎn)、E,

過(guò)點(diǎn)。作交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接8D.

(1)求證：OF是。。的切線；

(2)已知AC=12,Ab=15,求。尸的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：???AO是。。的直徑,

???NABO=90°,

即NA8C+NC8O=90°,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

VNADB=NC,

：.ZABC=NAO8,

■:BC//DF,

:?NCBD=/FDB,

：.ZADB+ZFDB=9Q°,

即NAO尸=90°,

：.AD±DF,

又「。。是G)o的半徑，

尸是。。的切線；

(2)解：VAB=AC=12,AF=15,

：.BF=AF-AB=3,

?：NF=/F,NFBD=NFDA=9C,

：./\FBD^/\FDAf

：.BFxDF=DF：AF,

：.DF2=BFXAF=3X15=45,

：.DF=^[^=3娓.

二十.圓的綜合題(共1小題)

24.(2022?西寧)如圖，在Rt/VLBC中，/C=90°，點(diǎn)。在AB上，以8。為直徑的00

與AC相切于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接。F,OE交于點(diǎn)

(1)求證：四邊形EMFC是矩形；

(2)若AE=7叼，。。的半徑為2,求的長(zhǎng).

AZBFD=90°,

/.ZCFD=90°.

?；。0與AC相切于點(diǎn)E,

J.OEVAC,

；./OEC=/OEA=90°.

又：/C=90°,

AZC=ZCFD=ZOEC=90°,

.?.ZEMF=90°,

四邊形EMFC是矩形.

(2)解：在RtZ\AEO中，ZA￡O=90°,AE=^,OE=2,

OA=VAE2-K)E2=V(V5)2+22=3,

：.AB=OA+OB=3+2=5.

?.,/AEO=/C=90°,

：.OE//BC,

△AEOszMCB,

."C=5祈,

3_

：.CE=AC-AE=^^---J5=2^U-.

33

又；四邊形EMFC是矩形,

：.FM=CE=.

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二十一.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

25.（2020?西寧）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交AC于點(diǎn)。，交BC

于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE至點(diǎn)凡使所=AE,連接尸8,FC和

（1）求證：四邊形ABFC是菱形；

（2）若CO=1,BE=2,求的半徑.

【解答】（D證明：為。。的直徑，

...NAEB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），

J.AF^BC.

?.,在△ABC中AB=AC：.CE=BE（等腰三角形三線合一），

"：AE=EF