第一節(jié)線段、角、相交線和平行線知識點一：直線、線段、射線1、幾何圖形從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。2、點、線、面、體（1）幾何圖形的組成點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。1）直線的概念一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。2）射線的概念直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。3）線段的概念直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。注意：（1）直線的基本事實：經過兩點有且只有一條直線．注意：（1）直線的基本事實：經過兩點有且只有一條直線．（2）線段的基本事實：兩點之間，線段最短．（2）點動成線，線動成面，面動成體。 直線、射線與線段順口溜記憶：

直線射線與線段，形狀相似有關聯。

直線長短不確定，可向兩方無限延。

射線僅有一端點，反向延長成直線。

線段定長兩端點，雙向延伸變直線。

兩點定線是共性，組成圖形最常見變式練習：直線、射線與線段順口溜記憶：

直線射線與線段，形狀相似有關聯。

直線長短不確定，可向兩方無限延。

射線僅有一端點，反向延長成直線。

線段定長兩端點，雙向延伸變直線。

兩點定線是共性，組成圖形最常見3.點、直線、射線和線段的表示在幾何里，我們常用字母表示圖形。一個點可以用一個大寫字母表示。一條直線可以用一個小寫字母表示。一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。注意：（1）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。注意：（1）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。（2）直線和射線無長度，線段有長度。（3）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。（4）點和直線的位置關系有線面兩種：①點在直線上，或者說直線經過這個點。②點在直線外，或者說直線不經過這個點。（1）直線公理：經過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點有且只有一條直線。（2）過一點的直線有無數條。（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。（4）直線上有無窮多個點。（5）兩條不同的直線至多有一個公共點。5.線段的性質（1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。（2）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。（3）線段的中點到兩端點的距離相等。（4）線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。變式練習1：把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程．用幾何知識解釋其道理正確的是(C)A．兩點確定一條直線B．垂線段最短C．兩點之間線段最短D．三角形兩邊之和大于第三邊變式練習2：如圖，C，D是線段AB上兩點，D是線段AC的中點，若AB＝10cm，BC＝4cm，則AD的長等于(B)A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm變式練習3：如圖所示，1條直線將平面分成2個部分，2條直線最多可將平面分成4個部分，3條直線最多可將平面分成7個部分，4條直線最多可將平面分成11個部分．現有n條直線最多可將平面分成56個部分，則n的值為__10__．知識點二：角、角平分線1概念：角：有公共端點的兩條射線組成的圖形．這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。當角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角。如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角。2、角的表示角可以用大寫英文字母、阿拉伯數字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：①用數字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。（2）角平分線：在角的內部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線 一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。角的平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角的平分線的判定定理：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。3.角的度量1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600'' 角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””1°=60’4.余角和補角(1)余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；(2)補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角.（3）性質：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等．5、角的性質（1）角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關。（2）角的大小可以度量，可以比較（3）角可以參與運算。角順口溜記憶：

一點出發(fā)兩射線，組成圖形叫做角。

共線反向是平角，平角之半叫直角。

平角兩倍成周角，小于直角叫銳角。

直平之間是鈍角，平周之間叫優(yōu)角。

互余兩角和直角，和是平角互補角。

一點出發(fā)兩射線，組成圖形叫做角。

平角反向且共線，平角之半叫直角。

平角兩倍成周角，小于直角叫銳角。

鈍角界于直平間，平周之間叫優(yōu)角。

和為直角叫互余，互為補角和平角。變式練習1：圖中是對頂角量角器，用它測量角的原理是__角順口溜記憶：

一點出發(fā)兩射線，組成圖形叫做角。

共線反向是平角，平角之半叫直角。

平角兩倍成周角，小于直角叫銳角。

直平之間是鈍角，平周之間叫優(yōu)角。

互余兩角和直角，和是平角互補角。

一點出發(fā)兩射線，組成圖形叫做角。

平角反向且共線，平角之半叫直角。

平角兩倍成周角，小于直角叫銳角。

鈍角界于直平間，平周之間叫優(yōu)角。

和為直角叫互余，互為補角和平角。,第1題圖),第2題圖)變式練習2：如圖，直線l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，則∠3＝___70°__．變式練習3：如圖，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，則∠C＝__15°__．,第3題圖),第4題圖)變式練習4：如圖，直線a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，則∠P＝__75°__．變式練習5：如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．(1)如圖①，當∠AOB是直角，∠BOC＝60°時，∠MON的度數是多少？(2)如圖②，當∠AOB＝α，∠BOC＝60°時，猜想∠MON與α的數量關系；(3)如圖③，當∠AOB＝α，∠BOC＝β時，猜想∠MON與α，β有數量關系嗎？如果有，指出結論并說明理由．解：(1)如圖①，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°＋60°＝150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝75°，∠NOC＝eq\f(1,2)∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝45°(2)如圖②，∠MON＝eq\f(1,2)α，理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝α＋60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)α＋30°，∠NOC＝eq\f(1,2)∠BOC＝30°∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(eq\f(1,2)α＋30°)－30°＝eq\f(1,2)α(3)如圖③，∠MON＝eq\f(1,2)α，與β的大小無關．理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝α＋β.∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)(α＋β)，∠NOC＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)β，∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝eq\f(1,2)(α＋β)－eq\f(1,2)β＝eq\f(1,2)α，即∠MON＝eq\f(1,2)α變式練習6：（1）15°25'＝15.5°；37°24'45''＋32°48'49''＝70°13'34''.（2）32°的余角是58°，32°的補角是148°.知識點三：相交線、平行線1.三線八角 （1）同位角：形如”F”;（2）內錯角：形如“Z”;(3)同旁內角：形如“U”. 2.相交線中的角（1）在兩條直線相交的圖樣中，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做鄰補角。鄰補角互補，對頂角相等。（2）在三線八角圖樣中：直線AB，CD與EF相交（或者說兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構成八個角。其中∠1與∠5這兩個角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；∠3與∠5這兩個角都在AB，CD之間，并且在EF的異側，像這樣位置的兩個角叫做內錯角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側在EF的同側，像這樣位置的兩個角叫做同旁內角。注意：一個角的同位角、內錯角或同旁內角可能不止一個，要注意多方位觀察3注意：一個角的同位角、內錯角或同旁內角可能不止一個，要注意多方位觀察（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.（2）性質：對頂角相等，鄰補角之和為180°. 變式練習：在平面中，三條直線相交于1點，則圖中有6組對頂角.4.垂線（1）概念：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線．兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。（2）性質：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．②垂線段最短．（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度 變式練習：如圖所示，點A到BC的距離為AB，點B到AC的距離為BD，點C到AB的距離為BC.（4）線段垂直平分線的性質定理及逆定理垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。5.平行線 平行線的概念在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。注意：（1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。注意：（1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。（2）當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。（1）平行線的性質與判定①同位角相等兩直線平行②內錯角相等兩直線平行③同旁內角互補兩直線平行（2）平行公理及其推論①經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．注意：（1）如果出現兩條平行線被其中一條折線所截，那么一般要通過折點作已知直線的平行線.（2）在平行線的查考時，通常會結合對頂角、角平分線、三角形的內角和以及三角形的外角性質，解題時注意這些性質的綜合運用.注意：（1）如果出現兩條平行線被其中一條折線所截，那么一般要通過折點作已知直線的平行線.（2）在平行線的查考時，通常會結合對頂角、角平分線、三角形的內角和以及三角形的外角性質，解題時注意這些性質的綜合運用.變式練習1：如圖，直線a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，則∠3的度數是()A.75°B.55°C.40°D.35°第1題圖【解析】C如解圖，∵a∥b，∴∠4＝∠1＝75°，∵∠4＝∠3＋∠2，∴∠3＝∠4－∠2＝75°－35°＝40°.第1題解圖變式練習2：如圖，AC∥DF，AB∥EF，點D、E分別在AB、AC上，若∠2＝50°，則∠1的大小是()A.30°B.40°C.50°D.60°第2題圖．【解析】C∵AB∥EF，∠2＝50°，∴∠A＝∠2＝50°，∵AC∥DF，∴∠1＝∠A＝50°.變式練習3：把一塊含有45°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上，如果∠1＝20°，那么∠2的度數是()A.15°B.20°C.25°D.30°【解析】C如解圖，∵兩直線平行，內錯角相等，∴∠1＝∠3，∵∠3＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°，∵∠1＝20°，∴∠2＝25°.