青島版八年級數學下冊第7章實數綜合測試

考試時間：90分鐘；命題人：數學教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、如圖，已知AABC中，NC=90。,OE是AABC的中位線，=713,BC=3,貝ljDE=

-IB.平D.2

2、如圖，點4的坐標是（2,2）,若點P在x軸上，且△4。。是等腰三角形，則點。的坐標不可能是

)

A.(2,0)B.(4,0)C.(-2&,0)D.(3,0)

3,平面直角坐標系內，點尸（-2,3）到原點的距離是（)

A.2B.3C.屈D.2或3

4、退的相反數是（)

A.y/3B.—>J3U.--D.3

3

5、下列計算正確的是（)

-._1

A.9B.-2/z?,(-2/?)=2mn(%>0,/?>0)

16

C.(-24)』-QxyD.V^64=-4

6、如果三角形的三邊分別為友,屈,2,那么這個三角形的最大角的度數為（)

A.30°B.45°C.60°D.90°

7、如果直角三角形的兩邊長分別是3,4,那么斜邊長是（）

A.5B.幣C.5或幣D.5或4

8、已知A45C在正方形網格中的位置如圖所示，點/、B、C,戶均在格點上，則下列結論：①點。在

ZAC8的角平分線上；②直線可以把AABC分成面積相等的兩部分；③NBAC=ZABC；④點尸是

△ABC的重心.正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9、如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC=2,CD=3,4）=1,ZB=90°,ZD=a.則/BCD的大小

為（）

A.aB.90°-aC.45°+aD.1350-a

10、設面積為3的正方形的邊長為x,那么關于矛的說法正確的是（）

A.x是有理數B.x取0和1之間的實數

C.x不存在D.x取1和2之間的實數

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，在燈中，/以090°,四=3,/1（=4,尸為邊6C上一動點，PELAB于E,/YU/C于

尸，"為跖的中點，則引/的最小值是.

2、在心△力比1中，斜邊4?=5,直角邊除3,則△』比斜邊上的高是一

3、點P是N4必內一定點，點以N分別在邊小、加上運動，若//妙45°,如3及，則當△陽州

的周長的最小時乙"k,△序W的周長最小值為.

M

B

N

4,如圖，在等腰三角形46c中，AB=AC=M,BC=\Q,〃是比'邊上的中點，AD=12,M,7分別是

四和絲上的動點，則制向MV的最小值是______.

5、如圖所示，AABC和AAEF都是等腰直角三角形，NC4B=/E4尸=90。，AC平分NE4尸，連接

2

CE、BF,取CE的中點。，連接80,若AE=§8C,則AAB尸與△58的面積之比為.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計50分）

1、【概念學習】若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關于這條公共底

邊互為頂針點，這條公共底邊叫做這兩個互為頂針點的頂針線段.如圖1,四邊形/及力中，BC是一

條對角線，AB=AC,DB=DC,則點4與點〃關于頂針線段比互為頂針點.

A

圖1圖2備用圖

(1)【概念理解】判斷下列結論是否正確(在題后括號內正確的打“J”，錯誤的打“X”)

①互為頂針點的兩個點一定位于它的頂針線段的同側；

②一條頂針線段的頂針點有無數多對；

③互為頂針點的兩個點所在直線一定是其頂針線段的垂直平分線；

④互為頂針點的兩個點所在直線平分對應等腰三角形的頂角.

(2)【實踐操作】如圖2,在長方形4?切中，AB<AD.若在邊49上存在點￡邊49上存在點瓦使

得點“與點C關于頂針線段即互為頂針點.請用直尺和圓規(guī)在圖2中作出滿足條件的點八反(要

求不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色墨水簽字筆描黑.)

(3)【思維探究】在(2)的條件下，若48=8,AD=1Q.請利用備用圖求/￡的長度.

2、隨著我國城市化水平逐漸加強，各大城市均出現(xiàn)了交通擁堵的情況，為了緩解交通擁堵，各地都

在進行交通道路的優(yōu)化和建設.某城市為了解決區(qū)域交通擁堵問題，修建了一條隧道.

(1)圖甲為隧道入口，圖乙為它的截面，已知AC=4米，隧道的最高點P離路面的距離〃=7米，

則該道路的路面寬BC=米；在APB上，離地面相同高度的兩點E,尸裝有兩排照明燈，若

E是AP的中點，則這兩排照明燈離地面的高度是米.

(2)隧道建成后可改善附近路段的交通狀況.一般情況下，隧道內的車流速度v(千米/小時)和車流

50,0<x<20

密度x（輛/千米）滿足關系式丫=Lk“（&為實數）.研究表明：當隧道內的車流

60------,20<x<120

140-x

密度達到120輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是0千米/小時.

（a）若車流速度v不小于40千米/小時，求車流密度x的取值范圍；

（b）隧道內的車流量》（單位時間內通過隧道的車輛數，單位：輛/小時）滿足，=劉，求隧道內車

流量的最大值（精確到1輛/小時），并指出當車流量取得最大值時的車流密度.

3、問題背景：在AABC中，已知AB,BC,AC三邊長為右，回,屈,求這個三角形的面積.

小輝在答題時先建立一個正方形網格（每個小正方形邊長為1）,再在網格中畫出格點AABC（即

△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖所示.這樣不需求AABC的高，而借用網格就能計算出

它的面積.我們把上述求AABC面積的方法叫做構圖法.

⑴若AA8C三邊的長分別為氐，瓜a,舊a（a>0）,請運用構圖法求出AABC的面積;

（2）若AABC三邊的長分別為jM+]6〃2,,9/+4,，“濟+4〃2（加>0,〃>0,且加工〃），試運

用構圖法求出AABC的面積；

⑶已知。，〃都是正數，a+b=3,求&+4+揚+25的最小值.

4、如圖，AMC中，AB=AC=3,BC=4.

BD

(1)求高AD的長；

(2)求AABC的面積.

5、如圖，血△力優(yōu)■中，Z^90°,〃為71C上一點，且的=〃戶12腐，△僅18的面積為60c/',求切的

長.

-參考答案-

一、單選題

1、C

【解析】

【分析】

在mAABC中利用勾股定理即可求出/C的長，再根據三角形中位線的性質，即可求出座的長.

【詳解】

解：在中，AC=\/AB2-BC2=2-

?.?DE是△ABC的中位線，

:.DE=-AC=],

2

故選：C.

【點睛】

本題考查勾股定理和三角形中位線的性質，掌握三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第

三邊的一半是解題關鍵.

2、D

【解析】

【分析】

先根據勾股定理求出力的長，再根據①力―/5。；②AO=AP；③力值利分別算出夕點坐標即可.

【詳解】

解：點4的坐標是（2,2）,

根據勾股定理可得：以=7?港=2友，

①若AP=PO,可得：P（2,0）,

②若可得：P（4,0）,

③若4（9=8,可得：P（2五,0）或（-2近，0）,

故點尸的坐標不可能是：（3,0）.

故選:D.

【點睛】

此題主要考查了坐標與圖形的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，關鍵是掌握等腰三角形的判定:

有兩邊相等的三角形是等腰三角形，再分情況討論.

3、C

【解

【分析】

利用勾股定理計算判斷.

【詳解】

?.?點P（-2,3）,

.?.點P（-2,3）到原點的距離是戶手=而，

故選C.

【點睛】

本題考查了點到原點的距離，熟練運用勾股定理是解題的關鍵.

4、B

【解析】

【分析】

根據相反數的意義求解即可.

【詳解】

解：內的相反數是-石，

故選：B.

【點睛】

本題考查了相反數，解題的關鍵是在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數.

5、D

【解析】

【分

分別根據負指數累，同底數塞的乘法，塞的乘方和積的乘方以及立方根的法則計算即可.

【詳解】

解：4-2-W，故錯誤；

10

B、-2"、(-2")=2"，故錯誤；

G(-2孫2)3=-8X3/,故錯誤；

D、?幣=-4,故正確；

故選〃

【點睛】

本題考查了負指數幕，同底數塞的乘法，事的乘方和積的乘方以及立方根，解題的關鍵是掌握各自的

運算法則.

6、D

【解析】

【分析】

如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+"=c?,那么這個三角形就是直角三角形.依據勾股定理的逆定

理進行判斷，即可得到這個三角形的最大角的度數.

【詳解】

解：?.?三角形的三邊分別為0,瓜，2,且22+(0)2=(卡＞,

該三角形是直角三角形，

.?.這個三角形的最大角的度數為90°,故選D.

【點睛】

本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解決本類題的關鍵.

7、D

【解析】

【分析】

分兩種情況根據勾股定理列式求出斜邊的長即可.

【詳解】

解：當4是直角邊時，斜邊長=療彳=5,

當4是斜邊時，斜邊長為4,

那么斜邊長為5或4,

故選：D.

【點睛】

本題考查了勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方是解答此題的關鍵.

8、D

【解析】

【分析】

連接力7并延長交6c于反連接"并延長交/C于此連接CV并延長交46于弘根據三角形的重心

的概念可得。為的重心，可判斷②④正確；利用勾股定理求出4C=6C=2石，利用等腰三角形

的性質可判斷①③正確.

【詳解】

解：如圖，連接并延長交比?于反連接中并延長交力。于尸，連接CM并延長交4?于航

?.?點反尸分別是6C、"'的中點，

:.AE、孫、是的中線，

點戶是的重心，直線露可以把a'分成面積相等的兩部分；故②④正確；

...CV是△4%的中線.

由勾股定理得，AC=+2?=2#>,BC=V42+22=2右,

：.AC=BC,

:.NBAC=NABC；故③正確；

'：AC=BC,CV是△力■的中線，

，ZAGlf=ABCM,

...點尸在/4石的角平分線上；故①正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查了三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三邊中線的交點.也考查了勾股定理，等腰

三角形的性質.得出點夕是△/a'的重心是解題的關鍵.

9、D

【解析】

【分析】

根據勾股定理求出4G根據勾股定理的逆定理，求出N4/90°,進而得出答案.

【詳解】

如圖，連接4C,

D

VZB=90°,AB=BC=2

在應△力回中，由勾股定理得:

AC-AB2+BC2

=22+22

=8

■:CD=3,AD=l

=8+1

二9

而CZZ=32=9

:?AIf+Ad=CIf

：.ZCAD=90°,

N6N力切=90°

??AB=BCf

：.ZBAOZACB=45°

,?ZD=a

：.ZACD=90°-a

：.ZBCD=ZACB+ZACD

=45°+(90°-?)

=135°-a

故選D

【點睛】

本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應用，解題的關鍵是求出5是直角三角形.

10、D

【解析】

【分析】

由于正方形的面積為3,利用正方形的面積公式即可計算其邊長，然后估算即可求解.

【詳解】

解：???面積為3的正方形的邊長為x,

:.x=W),

VI<73<2,

.?.X是1和2之間的實數.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了估算無理數的大小，解題關鍵是理解邊長的實際含義，即邊長沒有負數.

二、填空題

【解析】

【分析】

根據題意，A^\EF,利用三個直角的四邊形是矩形，得到比仍得423",當4。最小時，4"有

最小值，根據垂線段最短，計算/IP的長即可.

【詳解】

VZ^4O90°,力慶3,AO4,

:=5,

.I?

二和邊上的高加彳，

'：ZBAC=90Q,PELAB,PFLAC,

.??四邊形45/W是矩形，

:"六EF,

VZfi4^90°，"為廝的中點，

:.A距三EF,

：.A^AP,

.?.當HP最小時，4"有最小值，

根據垂線段最短，當”為寬■上的高時即/片方時最短，

??"戶的最小值為?，

.力"的最小值為|,

故答案為：

【點睛】

本題考查了矩形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，垂線段最短原理，熟練掌握矩形的判

定和性質，直角三角形的性質是解題的關鍵.

12

2、

【解析】

【分析】

根據勾股定理及三角形的面積公式即可解答.

【詳解】

解：?.?在RtA46C中，斜邊四=5,直角邊除3,

，另一直角邊4c為：yjAB2-BC2=V52-32=4.

△力%的面積=gA8?四邊上的高/?=3X力。＜宓

?f4IF—,ACBC3x412

.?加邊上的局斤F-=可=二

12

故答案為：y

【點睛】

本題考查勾股定理，三角形面積，解決本題的關鍵是利用勾股定理求得另一直角邊的長，比較簡單.

3、900##90度6

【解析】

【分析】

作尸關于如，仍的對稱點C,D.連接。C,OD.則當M,N是CD與OA,出的交點時，△白邠的周長

最短，最短的值是切的長.根據對稱的性質可以證得：是等腰直角三角形，據此即可求解.

【詳解】

解：作尸關于勿，06的對稱點C,D.連接0C,OD.則當機/V是必與小，仍的交點時，的

周長最短，最短的值是⑦的長.

,:P、C關于以對稱，

:.NCO六24A0P,OOOP,

同理，NDOHNBOP,040D,

：.ZCOD-ZCOP^ZD0P=2QAO抖/BOP)=2N/好90°,OOOD.

.?.△a勿是等腰直角三角形，

:.NOCA/ODO%°,

■:NOP恭40cM=45°,40PN=40DN=45°,

：.AMPN=ZOP^ZC!W=900,

則CD=y[i0042X3及=6.

故答案為：90°,6.

【點睛】

本題考查了對稱的性質，正確作出圖形，理解△用邠周長最小的條件是解題的關鍵.

120

4,

IT

【解析】

【分析】

作BH工AC,垂足為〃，交力。于"點，過獷點作"MLAB,垂足為M,則5/+.MV為所求

的最小值，根據勾股定理求出力〃，再根據面積不變求出陰即可.

【詳解】

解：如圖，作MUG垂足為〃，交4〃于〃點，過"點作"NLAB,垂足為M,則

BW+〃'N為所求的最小值.

'：AB=AC,〃是6c邊上的中點，

是/力。的平分線，

.?.川滬,MM,

:.BM+〃V=BH,

:.BH是點6到直線/C的最短距離（垂線段最短）,

'：AB=A<=a,吩10,。是勿邊上的中點，

：.ADVBC,B*BC=5,

在RtAABD中，AF=Alf+B4,

**-AD=-JAB2-BD2->/132-52=12，

SAABC=\AC'BI^BC*AD,

；.13?H/=10X12,

解得：BH=—,

故答案為：符120.

【點睛】

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，勾股定理，根據垂線段最短，確定8〃是的片MV的最小值解決問

題的關鍵.

5、4:5

【解析】

【分析】

延長46交6c于點G,連接鹿；過點尸作交胡的延長線于點以根據等腰直角三角形的性

質及角平分線的計算可得/=/=45°,/G平分NC4B,利用等腰三角形“三線合

一”性質得出AGL8C且BG=CG=gBC,設=2(>0),則BC=9x,由勾股定理及線段間

的數量關系得出AB=^x,=|,計算出，次方的面積，結合圖形及題意可得

S.BCD=S.BDE=%.BCE，根據等角對等邊得出《4尸”為等腰直角三角形，利用勾股定理可得=

42，結合圖形計算443b的面積，最后求面積比即可.

【詳解】

解：如圖所示：延長4?交a'于點G,連接應過點尸作切，班交力的延長線于點"

，人次?與均為等腰直角三角形，

：.AB=AC,AE^AF,/LEAF=ABAC=90°,

,.ZC平分NE4尸，

:./=N=45",

：.ZEAB=45°,

，4G平分NCAB,

AG_L3C且BG=CG」BC,

2

..2

"一~9'

:.9AE=2BC,

設=2(>0),則8C=9x,

9

BG=CG=—x,

2

VZE4B=45°,ZAGB=90°,

=45°,

9

??.BG=AG=-x,

2

/.AB=yjAG2+BG2=^-x,

2

???AE=2x,

95

??.EG=AG-AE=-X-2X=-X

229

2

???S.BCF=-BCEG=-?9A4x=—X,

2224

■:D為CE中點,

:?CD=DE,

令BCD與?BOE中，切邊和座邊上的高相等，都是點6到直線方的距離，

r_q_le_452

??13?BCD—2.BDE-22.BCE-gr，

*/AE^AF,

：.AF^2x,

,.N=N=/=45°,

，ZFAH=45°,

"：FH±AH,

N”=90°,/=45°,

：.-A切為等腰直角三角形，

FA=6FH,

...FH=—AF=,

2

2

S.ABF=|BA.FH=；?乎x-&x=1x,

22

二S.A":5<BCD=1x：yx=4:5,

故答案為：4:5.

【點睛】

題目主要考查角平分線計算，勾股定理，等腰三角形的判定和性質等，理解題意，結合圖形，作出輔

助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

三、解答題

1、⑴①X②J③J④J

(2)見解析

⑶心3

【解析】

【分析】

(1)根據新定義，逐項判斷即可求解；

(2)在4?上取點R使上6C,再作出/aF的平分線交于點區(qū)則點尺￡即為所求；理由：連

接防，BF,可得△況比△尸位從而得到△頗1和△灰戶是等腰三角形，且如為公共底邊，即可求

解；

(3)根據題意可得上"；CFC210,再由勾股定理可得g6,從而得到4片49■g4,然后在

放△/跖中，利用勾股定理，即可求解.

(1)

解：①互為頂針點的兩個點可能位于它的頂針線段的同側，也可能位于它的頂針線段的異側，故①錯

誤；

②一條頂針線段的頂針點有無數多對，故②正確；

③根據題意得：頂針點為等腰三角形的頂角的頂點，而等腰三角形的頂角的頂點位于其底邊的垂直平

分線上，即互為頂針點的兩個點所在直線一定是其頂針線段的垂直平分線，故③正確；

④根據等腰三角形的頂角平分線，底邊中線，底邊高線三條線互相重合，可得互為頂針點的兩個點所

在直線平分對應等腰三角形的頂角，故④正確；

故答案為：①X②J③J④J

(2)

解：如圖所小.

在加上取點凡悔,C氏BC,再作出N6CF的平分線交四于點瓦則點尺￡即為所求；理由如下:

連接防BF,

根據題意得：BOCF,4BC方4FCE,

'：CE=CE,

:.XBC恒XFCE,

：.BB=FE,

，△應F和△aF是等腰三角形，且如為公共底邊，

.?.點￡與點。關于頂針線段在互為頂針點；

(3)

解：?.?點E與點、C關于頂針線段在互為頂針點，

：.EB=EF,CB=C/^10,

在.Rt叢CFD中,DZcF-Clf=6,

:"eAD-D左4,

在放△?!跖中，AE+AF=E#,

：.AM=(8-J￡)z,

解得力后3.

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，尺規(guī)作圖，勾股定理，理解新定義，

熟練掌握等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，尺規(guī)作圖，勾股定理是解題的關鍵.

2、(l)A/^7；號+2

(2)(a)若車流速度v不小于40千米/小時，則車流密度*的取值范圍是(。陽；(6)隧道內車流量的

最大值約為3250輛/小時，此時車流密度約為87輛/千米

【解析】

【分析】

(1)作AC的垂直平分線OM,交于。，交AC于股，則。是圓心，連接，則=與爪可

得圓的半徑為5厘米，根據勾股定理得=舊，則=%0加，連接、。后交于N，作

1于H,1于Q,可得掰PA,由E是AP的中點得OE垂直平分，即可得

二字金，根據平行線的性質得々EK=40P，根據//S證明△=△,則=

挈，即可得；

(50,0<<120

⑵(a)把=12,=例弋入己知式求得上解不等式=初1200//可得x的

160一五丁，20<<120

(50,0<<20

范圍，(b)由題意得，=y6Q_12002Q<<12(),利用函數的單調性和基本不等式分段計算

即可得.

(1)

解：如圖，作AC的垂直平分線。河，交于。，交AC于則。是圓心，連接，

=—-—2（cm）,

,=7cm）

圓的半徑為7-2=5（cm），

=V=2-1求一*=V^7（cm），

=2=2^21

連接、OE交于N,作1于H,1于Q,

7

,=cm'==4cln，

=7-4=3（熱），

<*'==?cm'

=V耳F=底（cm”

,/E是AP的中點，

二0E垂直平分

故答案為步7,（華+2）.

（2）

（a）由題意知當=12（輛/千米）時，=0（千米/小時）,

代入=60-得0=60-

140-140-120'解得120,

50,0<<120

所以1200

60-

140—'20VV120,

當OV工切時，=50之四，符合題意；

當20<<加寸，令60-7^240,解得W%,

140—u

所以20<<80

綜上，0<<80,

則若車流速度.不小于40千米/小時，則車流密度大的取值范圍是(“明.

50,0<<20

(b)由題意得,1200

60-140-,20<<120

當O<W2/寸，=50為增函數，

所以W20X50=/000,等號當且僅當x=2成立;

當20V<寸,

1200

=60

140—

=6父一烏一)

I140-)

\,2K140-)-2800\

=60[+—加----]

2800

二60(20+一加一)

:60*60-(140-)-言]

&60160-2^140-

=60^160-40y[7)

-3250

即<325,等號當且僅當140-=啟「，即=