第第頁第1講空間幾何體[考情分析]空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.考點(diǎn)一空間幾何體的折展問題核心提煉空間幾何體的側(cè)面展開圖1.圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.2.圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.3.圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán).例1(1)“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨炊漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km，山高為40eq\r(15)km，B是山坡SA上一點(diǎn)，且AB＝40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，下坡路段長為()A.60kmB.12eq\r(6)kmC.72kmD.12eq\r(15)km答案為：C解析：該圓錐的母線長為eq\r(40\r(15)2＋402)＝160，所以圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為eq\f(2×π×40,160)＝eq\f(π,2)的扇形，如圖，展開圓錐的側(cè)面，連接A′B，由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的A′B，A′B＝eq\r(SA′2＋SB2)＝eq\r(1602＋1202)＝200，過點(diǎn)S作A′B的垂線，垂足為H，記點(diǎn)P為A′B上任意一點(diǎn)，連接PS，當(dāng)上坡時，P到山頂S的距離PS越來越小，當(dāng)下坡時，P到山頂S的距離PS越來越大，則下坡段的公路為圖中的HB，由Rt△SA′B∽Rt△HSB，得HB＝eq\f(SB2,A′B)＝eq\f(1202,200)＝72(km).(2)如圖，在三棱錐P﹣ABC的平面展開圖中，AC＝eq\r(3)，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(3,4)答案為：D解析：由題意知，AE＝AD＝AB＝1，BC＝2，在△ACE中，由余弦定理知，CE2＝AE2＋AC2﹣2AE·AC·cos∠CAE＝1＋3﹣2×1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝1，∴CE＝CF＝1，而BF＝BD＝eq\r(2)，BC＝2，∴在△BCF中，由余弦定理知，cos∠FCB＝eq\f(BC2＋CF2－BF2,2BC·CF)＝eq\f(4＋1－2,2×2×1)＝eq\f(3,4).規(guī)律方法空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面中兩點(diǎn)間的最短距離問題，注意展開后對應(yīng)的頂點(diǎn)和邊.跟蹤演練1(1)(多選)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是()A.C∈GHB.CD與EF是共面直線C.AB∥EFD.GH與EF是異面直線答案為：ABD解析：由圖可知，還原正方體后，點(diǎn)C與G重合，即C∈GH，又可知CD與EF是平行直線，即CD與EF是共面直線，AB與EF是相交直線(點(diǎn)B與點(diǎn)F重合)，GH與EF是異面直線，故A，B，D正確，C錯誤.(2)如圖，在正三棱錐P﹣ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只蟲子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是()A.3eq\r(2)B.3eq\r(3)C.2eq\r(3)D.2eq\r(2)答案為：D解析：將三棱錐由PA展開，如圖所示，則∠APA1＝90°，所求最短距離為AA1的長度，∵PA＝2，∴由勾股定理可得AA1＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).∴蟲子爬行的最短距離為2eq\r(2).考點(diǎn)二表面積與體積核心提煉1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長).(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長).(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑).2.空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高).(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高).(3)V臺＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下為底面面積，h為高).(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑).例2(1甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若eq\f(S甲,S乙)＝2，則eq\f(V甲,V乙)等于()A.eq\r(5)B.2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)答案為：C解析：方法一因?yàn)榧?、乙兩個圓錐的母線長相等，所以結(jié)合eq\f(S甲,S乙)＝2，可知甲、乙兩個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個圓錐的母線長為l＝3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則由題意知，兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個周長為6π的圓，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\r(5)，h2＝eq\r(l2－r\o\al(2,2))＝2eq\r(2)，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).方法二設(shè)兩圓錐的母線長為l，甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，側(cè)面展開圖的圓心角分別為n1，n2，則由eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝2，得eq\f(r1,r2)＝eq\f(n1,n2)＝2.由題意知n1＋n2＝2π，所以n1＝eq\f(4π,3)，n2＝eq\f(2π,3)，所以2πr1＝eq\f(4π,3)l，2πr2＝eq\f(2π,3)l，得r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\f(\r(5),3)l，h2＝eq\r(l2－r\o\al(2,2))＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).(2)(多選)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB.記三棱錐E﹣ACD，F(xiàn)﹣ABC，F(xiàn)﹣ACE的體積分別為V1，V2，V3，則()A.V3＝2V2B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2D.2V3＝3V1答案為：CD解析：如圖，連接BD交AC于O，連接OE，OF.設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，則AB＝BC＝CD＝AD＝2，F(xiàn)B＝1.因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，所以FB⊥平面ABCD，所以V1＝VE﹣ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·ED＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AD·CD·ED＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，V2＝VF﹣ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·FB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BC·FB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).因?yàn)镋D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以ED⊥AC，又AC⊥BD，且ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.因?yàn)镺E，OF?平面BDEF，所以AC⊥OE，AC⊥OF.易知AC＝BD＝eq\r(2)AB＝2eq\r(2)，OB＝OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，OF＝eq\r(OB2＋FB2)＝eq\r(3)，OE＝eq\r(OD2＋ED2)＝eq\r(6)，EF＝eq\r(BD2＋ED－FB2)＝eq\r(2\r(2)2＋2－12)＝3，所以EF2＝OE2＋OF2，所以O(shè)F⊥OE.又OE∩AC＝O，OE，AC?平面ACE，所以O(shè)F⊥平面ACE，所以V3＝VF﹣ACE＝eq\f(1,3)S△ACE·OF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·OE·OF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(6)×eq\r(3)＝2，所以V3≠2V2，V1≠V3，V3＝V1＋V2,2V3＝3V1，所以選項(xiàng)A，B不正確，選項(xiàng)C，D正確.規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解.(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體.(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積.跟蹤演練2(1)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為()A.80eq\r(2)πB.40C.40eq\r(2)πD.40eq\r(5)π答案為：C解析：由圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，可得sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，又△SAB的面積為5eq\r(15)，可得eq\f(1,2)SA2sin∠ASB＝5eq\r(15)，即eq\f(1,2)SA2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，可得SA＝4eq\r(5)，由SA與圓錐底面所成角為45°，可得圓錐的底面半徑為eq\f(\r(2),2)×4eq\r(5)＝2eq\r(10)，則該圓錐的側(cè)面積為π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π.(2)如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺的體積是()A.eq\f(7\r(2)π,24)B.eq\f(7\r(3)π,24)C.eq\f(7\r(2)π,12)D.eq\f(7\r(3)π,12)答案為：B解析：如圖，設(shè)上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，高為h，母線長為l，則2πr＝π·1,2πR＝π·2，解得r＝eq\f(1,2)，R＝1，l＝2﹣1＝1，h＝eq\r(l2－R－r2)＝eq\f(\r(3),2)，上底面面積S′＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(π,4)，下底面面積S＝π·12＝π，則該圓臺的體積為eq\f(1,3)(S＋S′＋eq\r(SS′))h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)＋\f(π,2)))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(7\r(3)π,24).考點(diǎn)三多面體與球核心提煉求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；(2)定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.例3(1)如圖，三棱錐V﹣ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()A.(2﹣eq\r(3))∶1B.(2eq\r(3)﹣3)∶1C.(eq\r(3)﹣1)∶3D.(eq\r(3)﹣1)∶2答案為：C解析：因?yàn)閂A⊥底面ABC，AB，AC?底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC，又因?yàn)椤螧AC＝90°，所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長、寬、高，因此該三棱錐外接球的半徑R＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22＋22)＝eq\r(3)，設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，因?yàn)椤螧AC＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，因?yàn)閂A⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝VA＝2，所以VB＝VC＝eq\r(VA2＋AB2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，由三棱錐的體積公式可得，3×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2·r＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)·r＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2?r＝eq\f(3－\r(3),3)，所以r∶R＝eq\f(3－\r(3),3)∶eq\r(3)＝(eq\r(3)﹣1)∶3.(2)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A.100πB.128πC.144πD.192π答案為：A解析：由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝3，eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×4eq\r(3)＝4.設(shè)該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2(圖略)，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時，R2＝32＋OOeq\o\al(2,1)＝42＋(1﹣OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時，R2＝42＋OOeq\o\al(2,2)＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以該球的表面積為4πR2＝100π.綜上，該球的表面積為100π.規(guī)律方法(1)求錐體的外接球問題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長方體等求解.(2)求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑.跟蹤演練3(1)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)答案為：C解析：該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大.設(shè)圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，則圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(1﹣h2)h，則V′＝eq\f(1,3)π(1﹣3h2)，令V′＝eq\f(1,3)π(1﹣3h2)＝0，得h＝eq\f(\r(3),3)，所以V＝eq\f(1,3)π(1﹣h2)h在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上單調(diào)遞減，所以當(dāng)h＝eq\f(\r(3),3)時，四棱錐的體積最大.(2)將兩個一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱長為2，若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長為________，該組合體的外接球的體積為________.答案為：eq\r(6)eq\f(8\r(2),3)π解析：如圖，連接PA交底面BCD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是該組合體的外接球的球心.設(shè)三棱錐的底面邊長為a，則CO＝PO＝R＝eq\f(\r(3),3)a，得eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)a＝2，所以a＝eq\r(6)，R＝eq\r(2)，所以V＝eq\f(4,3)π·(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為()A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.2∶3答案為：A解析：設(shè)球的半徑為r，依題意知圓柱的底面半徑也是r，高是2r，圓柱的側(cè)面積為2πr·2r＝4πr2，球的表面積為4πr2，其比例為1∶1.2.已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()A.2B.2eq\r(2)C.4D.4eq\r(2)答案為：B解析：設(shè)圓錐的母線長為l，因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為eq\r(2)，所以2π×eq\r(2)＝πl(wèi)，解得l＝2eq\r(2).3.某同學(xué)為表達(dá)對“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個面上分別寫了“致敬最美逆行”六個字.該正方體紙盒水平放置的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是()A.最B.美C.逆D.行答案為：B解析：把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，面“致”與面“美”相對，若“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是“美”.4.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A﹣B1CD1的體積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C.4D.6答案為：B解析：如圖，三棱錐A﹣B1CD1是由正方體ABCD﹣A1B1C1D1截去四個小三棱錐A﹣A1B1D1，C﹣B1C1D1，B1﹣ABC，D1﹣ACD形成的，又＝23＝8，＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×23＝eq\f(4,3)，所以＝8﹣4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).5.小李在課間玩耍時不慎將一個籃球投擲到一個圓臺狀垃圾簍中，恰好被上底口(半徑較大的圓)卡住，球心到垃圾簍底部的距離為5eq\r(10)a，垃圾簍上底面直徑為24a，下底面直徑為18a，母線長為13a，則該籃球的表面積為()A.154πa2B.eq\f(616,3)πa2C.308πa2D.616πa2答案為：D解析：球與垃圾簍組合體的軸截面圖如圖所示.根據(jù)題意，設(shè)垃圾簍的高為h，則h＝eq\r(13a2－12a－9a2)＝4eq\r(10)a.所以球心到上底面的距離為eq\r(10)a.設(shè)籃球的半徑為r，則r2＝10a2＋(12a)2＝154a2.故籃球的表面積為4πr2＝616πa2.mm)，中雨(10mm～25mm)，大雨(25mm～50mm)，暴雨(50mm～100mm)，小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨答案為：B解析：由題意知，一個半徑為eq\f(200,2)＝100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為eq\f(200,2)×eq\f(150,300)＝50(mm)，高為150(mm)的圓錐，所以積水厚度d＝eq\f(\f(1,3)π×502×150,π×1002)＝12.5(mm)，屬于中雨.7.如圖，已知正四面體ABCD的棱長為1，過點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的eq\f(1,3)，則EF的最小值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)答案為：D解析：由題知VB﹣AEF＝eq\f(1,3)VB﹣ACD，所以S△AEF＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)，記EF＝a，AE＝b，AF＝c，則eq\f(1,2)bcsin60°＝eq\f(\r(3),12)，即bc＝eq\f(1,3).則a2＝b2＋c2﹣2bccos60°≥2bc﹣bc＝bc＝eq\f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝eq\f(\r(3),3)時取等號，所以a即EF的最小值為eq\f(\r(3),3).8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤3eq\r(3)，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18，\f(81,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(81,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3)))D.[18,27]答案為：C解析：方法一如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，依題意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3.由題意及圖可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l2＝h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，,R2＝h－R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(l2,2R)＝\f(l2,6)，,a2＝2l2－\f(l4,18)，))所以正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l2－\f(l4,18)))·eq\f(l2,6)＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))(3≤l≤3eq\r(3))，所以V′＝eq\f(4,9)l3﹣eq\f(l5,54)＝eq\f(1,9)l3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(l2,6)))(3≤l≤3eq\r(3)).令V′＝0，得l＝2eq\r(6)，所以當(dāng)3≤l<2eq\r(6)時，V′>0；當(dāng)2eq\r(6)<l≤3eq\r(3)時，V′<0，所以函數(shù)V＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))(3≤l≤3eq\r(3))在[3，2eq\r(6))上單調(diào)遞增，在(2eq\r(6)，3eq\r(3)]上單調(diào)遞減，又當(dāng)l＝3時，V＝eq\f(27,4)；當(dāng)l＝2eq\r(6)時，V＝eq\f(64,3)；當(dāng)l＝3eq\r(3)時，V＝eq\f(81,4)，所以該正四棱錐的體積的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3))).方法二如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，依題意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3.由題意及圖可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l2＝h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，,R2＝h－R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(l2,2R)＝\f(l2,6)，,a2＝2l2－\f(l4,18)，))又3≤l≤3eq\r(3)，所以該正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l2－\f(l4,18)))·eq\f(l2,6)＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))＝72×eq\f(l2,36)·eq\f(l2,36)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))≤72×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\f(l2,36)＋\f(l2,36)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18))),3)))3＝eq\f(64,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)\f(l2,36)＝2－\f(l2,18)，即l＝2\r(6)時取等號))，所以正四棱錐的體積的最大值為eq\f(64,3)，排除A，B，D.方法三如圖，設(shè)該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為θ，依題意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3，所以正四棱錐的底面邊長a＝eq\r(2)lsinθ，高h(yuǎn)＝lcosθ.在△OPC中，作OE⊥PC，垂足為E，則可得cosθ＝eq\f(\f(l,2),R)＝eq\f(l,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以l＝6cosθ，所以正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)(eq\r(2)lsinθ)2·lcosθ＝eq\f(2,3)(6cosθ)3sin2θcosθ＝144(sinθcos2θ)2.設(shè)sinθ＝t，易得t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則y＝sinθcos2θ＝t(1﹣t2)＝t﹣t3，則y′＝1﹣3t2.令y′＝0，得t＝eq\f(\r(3),3)，所以當(dāng)eq\f(1,2)<t<eq\f(\r(3),3)時，y′>0；當(dāng)eq\f(\r(3),3)<t<eq\f(\r(3),2)時，y′<0，所以函數(shù)y＝t﹣t3在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),2)))上單調(diào)遞減.又當(dāng)t＝eq\f(\r(3),3)時，y＝eq\f(2\r(3),9)；當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，y＝eq\f(3,8)；當(dāng)t＝eq\f(\r(3),2)時，y＝eq\f(\r(3),8)，所以eq\f(\r(3),8)≤y≤eq\f(2\r(3),9)，所以eq\f(27,4)≤V≤eq\f(64,3).所以該正四棱錐的體積的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3))).二、多項(xiàng)選擇題9.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是()A.圓柱的側(cè)面積為4πR2B.圓錐的側(cè)面積為2πR2C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D.球的體積是圓錐體積的兩倍答案為：ACD解析：對于A，∵圓柱的底面直徑和高都等于2R，∴圓柱的側(cè)面積S1＝2πR·2R＝4πR2，故A正確；對于B，∵圓錐的底面直徑和高等于2R，∴圓錐的側(cè)面積為S2＝πR·eq\r(R2＋4R2)＝eq\r(5)πR2，故B錯誤；對于C，圓柱的側(cè)面積為S1＝4πR2，球的表面積S3＝4πR2，即圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；對于D，球的體積為V1＝eq\f(4,3)πR3，圓錐的體積為V2＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，即球的體積是圓錐體積的兩倍，故D正確.10.設(shè)一空心球是在一個大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1，若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上且所有面均與內(nèi)球相切，則()A.該正方體的棱長為2B.該正方體的體對角線長為3＋eq\r(3)C.空心球的內(nèi)球半徑為eq\r(3)﹣1D.空心球的外球表面積為(12＋6eq\r(3))π答案為：BD解析：設(shè)內(nèi)、外球半徑分別為r，R，則正方體的棱長為2r，體對角線長為2R，∴R＝eq\r(3)r，又由題知R﹣r＝1，∴r＝eq\f(\r(3)＋1,2)，R＝eq\f(\r(3)＋3,2)，∴正方體棱長為eq\r(3)＋1，體對角線長為3＋eq\r(3)，∴外接球表面積為4πR2＝(12＋6eq\r(3))π.11.如圖，已知四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，則下列敘述正確的是()A.該四棱臺的高為eq\r(3)B.AA1⊥CC1C.該四棱臺的表面積為26D.該四棱臺外接球的體積為eq\f(32π,3)答案為：AD解析：將四棱臺補(bǔ)為如圖所示的四棱錐P﹣ABCD，分別取BC，B1C1的中點(diǎn)E，E1，記四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面中心分別為O1，O，連接AC，A1C1，BD1，B1D1，A1O，OE，OP，PE，由條件知A1，B1，C1，D1分別為四棱錐的側(cè)棱PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，則PA＝2AA1＝4，OA＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\r(2)A1B1＝2，所以O(shè)O1＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(1,2)eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(3)，故該四棱臺的高為eq\r(3)，故A正確；由PA＝PC＝4，AC＝4，得△PAC為正三角形，則AA1與CC1所成角為60°，故B錯誤；四棱臺的斜高h(yuǎn)′＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(1,2)eq\r(PO2＋OE2)＝eq\f(1,2)eq\r(2\r(3)2＋\r(2)2)＝eq\f(\r(14),2)，所以該四棱臺的表面積為(2eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＋4×eq\f(\r(2)＋2\r(2),2)×eq\f(\r(14),2)＝10＋6eq\r(7)，故C錯誤；由△PAC為正三角形，易知OA1＝OA＝OC＝OC1，OB1＝OD1＝OB＝OD，所以O(shè)為四棱臺外接球的球心，且外接球的半徑為2，所以該四棱臺外接球的體積為eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32π,3)，故D正確.12.用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長半軸長與短半軸長乘積的π倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是()A.底面橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)B.側(cè)面積為24eq\r(2)πC.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36πD.底面積為4eq\r(2)π答案為：ABD解析：不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)D和最低點(diǎn)B作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的幾何體是圓柱，如圖，矩形ABCD是圓柱的軸截面，平行四邊形BFDE是斜圓柱的過底面橢圓的長軸的截面，由圓柱的性質(zhì)知∠ABF＝45°，則BF＝eq\r(2)AB，設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，則2a＝eq\r(2)·2b，即a＝eq\r(2)b，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)a，所以離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，A正確；作EG⊥BF，垂足為G，則EG＝6，易知∠EBG＝45°，則BE＝6eq\r(2)，又CE＝AF＝AB＝4，所以斜圓柱側(cè)面積為S＝2π×2×(4＋6eq\r(2))﹣2π×2×4＝24eq\r(2)π，B正確；由于斜圓柱的兩個底面的距離為6，而圓柱的底面直徑為4，所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半徑為2，球的表面積為4π×22＝16π，C錯誤；易知2b＝4，則b＝2，a＝2eq\r(2)，所以橢圓面積為πab＝4eq\r(2)π，D正確.三、填空題13.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，也叫做陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由一個同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長分別為h1，h2，r，且h1＝h2＝r，設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為S1和S2，則eq\f(S1,S2)＝________.答案為：eq\f(\r(2),2)解析：由題意知，圓錐