第二十一章一元二次方程

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一、選擇題(本題包括10小題，每小題只有1個(gè)選項(xiàng)符合題意)

1.二次函數(shù)丫=a*2-2乂-33<0)的圖象一定不經(jīng)過(guò)()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限.

2.拋物線y=-(x+I)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-1,-3)B.(1,-3)C.(—1,3)D.(1,3)

3.己知拋物線y=ax2+3x+(a-2),a是常數(shù)且a<0,下列選項(xiàng)中可能是它大

致圖象的是()

4.下列函數(shù)中，y的值隨著x逐漸增大而減小的是()

2O

A.y=2xB.y=x2C.y=--D.y=-(x>0)

5.將拋物線y=(x+2尸向下平移2個(gè)單位后，所得拋物線解析式為()

A.y=x2B.y=x2—2C.y=(x+2)2+2D.y=(x4-2)2—2

6.如果拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(_l,0)和(3,0),那么對(duì)稱(chēng)軸是直線

)

A.x=OB.x=lC.x=2D.x=3

7.函數(shù)y=(a-l)xall+x—3是二次函數(shù)時(shí)，則a的值是()

A.1B.-1C.±1D.0

8.將拋物線丫1=*2-2*-3先向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后，與拋

物線丫2=ax2+bx+c重合，現(xiàn)有一直線丫3=2x+3與拋物線丫2=ax2+bx+c

相交，當(dāng)丫2工丫3時(shí)，利用圖象寫(xiě)出此時(shí)x的取值范圍是()

A.x<—1B.x>3C.-1<x<3D.x>0

9.將拋物線y=x2-4x-4向左平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到拋物

線的函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=(x+I)2-13B.y=(x-5)2-3C.y=(x-5)2-13D.y=(x4-

l)2-3

10.小明將圖中兩水平線li與k的其中一條當(dāng)成x軸，且向右為正方向；兩鉛垂線

k與L的其中一條當(dāng)成y軸，且向上為正方向，并且在此平面直角坐標(biāo)系上畫(huà)出

二次函數(shù)y=-X2-2x+1的圖象，則關(guān)于他選擇X軸與y軸的敘述正確的是

()

A.k為x軸，b為y軸B.h為x軸，h為y軸

c.匕為x軸，1為y軸D.卜為x軸，k為y軸

二、解答題(本題包括4小題)

11.已知：拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)B(3,0)、C(0,3)兩點(diǎn),頂點(diǎn)為A.

求：(1)拋物線的表達(dá)式;

(2)頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

12.已知拋物線y=-2x2-4x4-1.

(1)求這個(gè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)將這個(gè)拋物線平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P(2,0)的位置，寫(xiě)出所得新拋物線的表

達(dá)式和平移的過(guò)程.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知拋物線y=ax?+bx-|,經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A(-l,0)、B(5,0).

(1)求此拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)AC交y軸于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)BD、BC,過(guò)點(diǎn)C作CH1BD,垂足為點(diǎn)H,

拋物線對(duì)稱(chēng)軸交x軸于G,聯(lián)結(jié)HG,求HG的長(zhǎng).

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=2乂2+4*+(:與丫軸交于點(diǎn)人(0,5)，

與x軸交于點(diǎn)E,B,點(diǎn)B坐標(biāo)為(5,0).

(1)求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)(點(diǎn)P

在AC上方)，作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形

APCD的面積最大？并求出最大面積.

參考答案

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】??,二次函數(shù)y=ax?-2x-3(a<0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x==一?=!<

2a2aa

0,??.其頂點(diǎn)坐標(biāo)在第二或第三象限?當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,...拋物線一定經(jīng)過(guò)第四

象限，???此函數(shù)的圖像一定不經(jīng)過(guò)第一象限.故選A.

2.【答案】C

【解析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k,(a/0),則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(h,k)可得：拋物線y=-(x+1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),所以C選項(xiàng)的

結(jié)論正確.故選C.

【點(diǎn)睛】拋物線的頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k,(a/0),則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(h,k).

3.【答案】B

【解析】???拋物線丫=醛2+3乂+(a-2),a是常數(shù)且aVO,.?.圖象開(kāi)口向下，a-2V

0,.?.圖象與y軸交于負(fù)半軸，?.'aVO,b=3,...拋物線對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).故選

B.

4.【答案】D

【解析】A選項(xiàng)：函數(shù)y=2x的圖象是y隨著x增大而增大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選

項(xiàng)：函數(shù)函數(shù)y=x2的對(duì)稱(chēng)軸為x=0,當(dāng)爛0時(shí)y隨著x增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤；C選項(xiàng)：函數(shù)y=-|,當(dāng)xVO或x>0時(shí)，y隨著x增大而增大，故本選項(xiàng)

錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：函數(shù)y=：(x>0),當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x增大而減小，故本選項(xiàng)

錯(cuò)誤；故選D.

5.【答案】D

【解析】拋物線y=(x+2)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),向下平移2個(gè)單位后的頂

點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-2),所以，平移后得到的拋物線解析式為丫=(x+2)J2.故選

D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)的變換確定出函數(shù)解析

式是此類(lèi)題目常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運(yùn)用，平移規(guī)律“左加右減，

上加下減

6.【答案】B

【解析】：拋物線y=ax?+bx+c與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)和(3,0),而

拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l.故選

B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)：二次函數(shù)丫=2*2+6*+。(a/0)的圖

象為拋物線，當(dāng)a>0,拋物線開(kāi)口向上；對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-/；拋物線與y軸的

交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)；當(dāng)b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0,拋

物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0,拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

7.【答案】B

【解析】依題意，得a?+l=2且a-屏。，解得a=-l.故選B.

8.【答案】C

【解析】yi=x2-2x-3=(x-1)24則它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),所以拋物線

yi=x2-2x-3先向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后的解析式為y=x2,解方

程組匕：：3得『二1或｛；片，所以當(dāng)出3故選C.

9.【答案】D

【解析】因?yàn)閥=xz-4x-4=(x-2)2-8,所以拋物線y=x2-4x-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-

8),把點(diǎn)(2,-8)向左平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

為(-L-3),所以平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為丫=(x+1)2一3.故選D.

10.【答案】D

【解析】y=-x2-2x+l=-(x+1)2+2,故拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=-l,頂點(diǎn)坐標(biāo)

為：(-1,2),則關(guān)于他選擇x軸與y軸的敘述正確的是：12為x軸，14為y

軸.故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象，正確求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與頂點(diǎn)坐

標(biāo)是解題關(guān)鍵.

二、解答題

11.【答案】(Dy=-x2+2%+3(2)(1,4)

【解析】(1)直接把B(3,0)、C(0,3)代入尸x2+bx+c得到關(guān)于b、c的

方程組，解方程組求出b、c,可確定拋物線的解析式；(2)把(1)的解析式進(jìn)

行配方可得到頂點(diǎn)式，然后寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解：(1)把8(3,0)、C(0,3)代入y=T2+b%+cr9+3):c=0,

IC=3

解得｛?二.

故拋物線的解析式為y=-%24-2%+3；

(2)y=-x2+2x+3=—(x2—2x+l)+3+l=—(x—l)2+4,

所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4).

12.【答案】(1)對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,3)；(2)平移過(guò)程為：向

右平移3個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位

【解析】(1)將拋物線整理成頂點(diǎn)式形式，然后解答即可；(2)根據(jù)向右平移

橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減解答.

解：(l)y=-2x2—4%+1,=—2(x2+2%+1)+2+1,=—2(%+I)2+3,

所以，對(duì)稱(chēng)軸是直線為=-1,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,3);

(2)??,新頂點(diǎn)P(2,0),

???y=-2(%—2＞，

2—(-1)=2+1=3,

0—3=-3,

???平移過(guò)程為：向右平移3個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位.

13.【答案】(1)C(2,-3)(2)HG=^V13.

【解析】(1)已知拋物線過(guò)A,B兩點(diǎn)，可將A,B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式

中用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.然后可根據(jù)拋物線的解析式得出頂點(diǎn)

C的坐標(biāo).(2)本題介紹三種解法：方法一：分別求直線AC的解析式和BD的

解析式，直線AC：y=-x-l,直線BD：y=1x-l,可得D和P的坐標(biāo)，證明

△BPGsaCPH和△HPGs^CPB,列比例式可得HG的長(zhǎng)；方法二：如圖2,

過(guò)點(diǎn)H作HM1.CG于M,先根據(jù)勾股定理的逆定理證明/BCD=90。，利用面積

法求CH的長(zhǎng)，再證明△OBDSAMCH,列比例式可得CM的長(zhǎng)，從而可得結(jié)

論；

方法三：直線AC：y=-x-l,求CH和BD的解析式，聯(lián)立方程組可得H的坐標(biāo)，

由勾股定理可得GH的長(zhǎng).

解：(1)把做一1,0)、8(5,0)代入拋物線解析式，

fa—b--=0a=-

3

得：＜5，解得：3,

25a+5b--=0b=--

I3I3

???拋物線的解析式為：y=^x2-|x-|=|(x-2)2-3,

???頂點(diǎn)C(2,-3)

(2)方法一：設(shè)8。與CG相交于點(diǎn)P,

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b

把/(一1,0)和C(2,-3)代入得：｛系+「二

解得：4=一；

則直線AC：y=-x-1,

???0(0,—1),

同理可得直線8。：y=1x-l,

3

?:乙CHP=乙PGB=90°,乙GPB=乙CPH

:.ABPGSACPH,

CP_PH

''~PB=~PG

：.AHPGSACPB,

aHG_PG.HG__g

,?BC一PB，??3>/2一|V26?

HG=—;

13

方法二：如圖2,過(guò)點(diǎn)“作"MICG于M,

???CD=2V2,BC=3V2,BD=V26,

BD2=CD2+BC2,

：.ABCD=90°,

11

??,SABCD=：BDCH=：BC.CD,

...CH=2V2X3V2=A726,

V2613

???Z.ABD=2HCG,

???△OBDs〉MCH,

1_5_V26630

———=6HM=—,CM=—

HMCM^V261313

9

???GM=—,

13

由勾股定理得：GH=7HM2+GM2

方法三：直線AC：y=-x-1,

???D(0,-1),

直線BD：y=-%-1,

???CH1BD,

^BD'kcH=-1，

直線C"：y=-5x+7,

f35

聯(lián)立解析式：\y=5X~1,解得：］"一=石6

(y=-5x+7(y=-^

14.【答案】⑴(2,9)⑵P(|，第

【解析】(1)用待定系數(shù)法求拋物線解析式，并利用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)

先求出直線AB解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)(x,-x2+4x+5),建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形

APCD=-2X2+10X,根據(jù)二次函數(shù)求出極值；可得