第第頁第09課平面向量的應(yīng)用一6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握余弦定理及其推論.(重點)2.掌握余弦定理的綜合應(yīng)用.(難點)3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀.(易錯點)1.借助余弦定理的推導(dǎo)過程，提升邏輯推理素養(yǎng).2.通過余弦定理的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).1.余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá)a2＝b2＋c2﹣2bccos_A，b2＝a2＋c2﹣2accos_B，c2＝a2＋b2﹣2abcos_C變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)思考：在△ABC中，若a2＜b2＋c2，則△ABC是銳角三角形嗎？[提示]不一定.因為△ABC中a不一定是最大邊，所以△ABC不一定是銳角三角形.2.解三角形(1)一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.(2)已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.1.在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，則c等于()A.eq\r(39)B.8eq\r(3)C.10eq\r(2)D.7eq\r(3)D[由余弦定理得c＝eq\r(92＋2\r(3)2－2×9×2\r(3)×cos150°)＝eq\r(147)＝7eq\r(3).]2.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于()A.60°B.45°C.120°D.30°C[由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝﹣eq\f(1,2)，∴A＝120°.]3.在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，則B＝________.60°[cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(4＋1－3,4)＝eq\f(1,2)，B＝60°.]4.在△ABC中，若a2﹣c2＋b2＝ab，則cosC＝________.eq\f(1,2)[∵a2﹣c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2﹣ab.又∵c2＝a2＋b2﹣2abcosC，∴2cosC＝1.∴cosC＝eq\f(1,2).]已知兩邊與一角解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝60eq\r(3)cm，A＝eq\f(π,6)，則a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，則BC＝________.(1)60(2)4或5[(1)由余弦定理得：a＝eq\r(602＋60\r(3)2－2×60×60\r(3)×cos\f(π,6))＝60(cm).(2)由余弦定理得：(eq\r(5))2＝52＋BC2﹣2×5×BC×eq\f(9,10)，所以BC2﹣9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.]已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三邊，然后利用余弦定理的推論求出其余角.1.在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解這個三角形.[解]根據(jù)余弦定理得，b2＝a2＋c2﹣2accosB＝(2eq\r(3))2＋(eq\r(6)＋eq\r(2))2﹣2×2eq\r(3)×(eq\r(6)＋eq\r(2))×cos45°＝8，∴b＝2eq\r(2)，又∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(1,2)，∴A＝60°，C＝180°﹣(A＋B)＝75°.已知三邊解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C.[解]根據(jù)余弦定理，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×6＋2\r(3)×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,6)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).∴B＝π﹣A﹣C＝π﹣eq\f(π,6)﹣eq\f(π,4)＝eq\f(7,12)π，∴A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(7,12)π，C＝eq\f(π,4).1.已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一.2.若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.2.已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC中各角的度數(shù).[解]已知a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推論，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(6)k2＋[\r(3)＋1k]2－2k2,2×\r(6)k×\r(3)＋1k)＝eq\f(\r(2),2)，∵0°＜A＜180°，∴A＝45°.cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2k2＋[\r(3)＋1k]2－\r(6)k2,2×2k×\r(3)＋1k)＝eq\f(1,2)，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴C＝180°﹣A﹣B＝180°﹣45°﹣60°＝75°.余弦定理的綜合應(yīng)用[探究問題]在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則C＝eq\f(π,2)成立嗎？反之若C＝eq\f(π,2)，則c2＝a2＋b2成立嗎？為什么？[提示]因為c2＝a2＋b2，所以a2＋b2﹣c2＝0，由余弦定理的變形cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，即cosC＝0，所以C＝eq\f(π,2)，反之若C＝eq\f(π,2)，則cosC＝0，即eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，所以a2＋b2﹣c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】在△ABC中，若(a﹣c·cosB)·sinB＝(b﹣c·cosA)·sinA，判斷△ABC的形狀.[解]∵(a﹣c·cosB)·sinB＝(b﹣c·cosA)·sinA，∴由余弦定理可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，整理得：(a2＋b2﹣c2)b2＝(a2＋b2﹣c2)a2，即(a2﹣b2)(a2＋b2﹣c2)＝0，∴a2＋b2﹣c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形.1.(變條件)將例題中的條件“(a﹣ccosB)·sinB＝(b﹣ccosA)·sinA”換為“acosA＋bcosB＝ccosC”其它條件不變，試判斷三角形的形狀.[解]由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知條件得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2﹣a2)＋b2(a2＋c2﹣b2)＋c2(c2﹣a2﹣b2)＝0，展開整理得(a2﹣b2)2＝c4.∴a2﹣b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形.2.(變條件)將例題中的條件“(a﹣ccosB)·sinB＝(b﹣ccosA)·sinA”換為“l(fā)ga﹣lgc＝lgsinB＝﹣lgeq\r(2)且B為銳角”判斷△ABC的形狀.[解]由lgsinB＝﹣lgeq\r(2)＝lgeq\f(\r(2),2)，可得sinB＝eq\f(\r(2),2)，又B為銳角，∴B＝45°.由lga﹣lgc＝﹣lgeq\r(2)，得eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝eq\r(2)a.又∵b2＝a2＋c2﹣2accosB，∴b2＝a2＋2a2﹣2eq\r(2)a2×eq\f(\r(2),2)＝a2，∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形.判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.1.余弦定理是三角形邊角之間關(guān)系的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例.2.用余弦定理可以解決兩種解三角形的題型(1)已知三邊解三角形.(2)已知兩邊及一角解三角形.3.已知兩邊及其中一邊所對角用余弦定理求解時可能有兩個解，注意用邊與角之間的關(guān)系特點進(jìn)行取舍.1.判斷正誤(1)余弦定理適用于任意三角形.()(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形.()(3)在△ABC中，已知兩邊和它們的夾角，△ABC不唯一.()[答案](1)√(2)√(3)×2.在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)B[由三角形邊角關(guān)系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,6)，故選B.]3.在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________.等腰三角形[∵a＝2bcosC＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2﹣c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC為等腰三角形.]4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝C,2b＝eq\r(3)a，則cosA＝________.eq\f(1,3)[由B＝C,2b＝eq\r(3)a，可得b＝c＝eq\f(\r(3),2)a，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,3).]5.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x﹣6＝0的根，求第三邊c的長.[解]5x2＋7x﹣6＝0可化為(5x﹣3)·(x＋2)＝0，∴x1＝eq\f(3,5)，x2＝﹣2(舍去)，∴cosC＝eq\f(3,5).根據(jù)余弦定理，c2＝a2＋b2﹣2abcosC＝52＋32﹣2×5×3×eq\f(3,5)＝16，∴c＝4，即第三邊長為4.第2課時正弦定理(1)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明.(難點)2.能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題.(重點)1.通過對正弦定理的推導(dǎo)及應(yīng)用正弦定理判斷三角形的形狀，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).2.借助利用正弦定理求解三角形的邊長或角的大小的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).正弦定理思考：如圖，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)各自等于什么？[提示]eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c.1.在△ABC中，下列式子與eq\f(sinA,a)的值相等的是()A.eq\f(b,c)B.eq\f(sinB,sinA)C.eq\f(sinC,c)D.eq\f(c,sinC)C[由正弦定理得，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinC,c).]2.在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，則b等于()A.5eq\r(2)B.10eq\r(3)C.eq\f(10\r(3),3)D.5eq\r(6)B[由正弦定理得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝10eq\r(3).]3.在△ABC中，A＝45°，c＝2，則AC邊上的高等于________.eq\r(2)[AC邊上的高為ABsinA＝csinA＝2sin45°＝eq\r(2).]4.在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，則C＝________.eq\f(π,2)[由正弦定理得：eq\f(3,sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),sinB)，所以sinB＝eq\f(1,2).又a＞b，所以A＞B，所以B＝eq\f(π,6)，所以C＝π﹣(eq\f(π,3)+eq\f(π,6))＝eq\f(π,2).]定理證明【例1】在鈍角△ABC中，證明正弦定理.[證明]如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D，D是BA延長線上一點，根據(jù)正弦函數(shù)的定義知：eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°﹣A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).1.本例用正弦函數(shù)定義溝通邊與角內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘這些聯(lián)系可以使你理解更深刻，記憶更牢固.2.要證eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需證asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都對應(yīng)CD.初看是神來之筆，仔細(xì)體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡，可以提高我們的分析解題能力.1.如圖，銳角△ABC的外接圓O半徑為R，證明eq\f(a,sinA)＝2R.[證明]連接BO并延長，交外接圓于點A′，連接A′C，則圓周角∠A′＝∠A.∵A′B為直徑，長度為2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B)＝eq\f(a,2R)，∴sinA＝eq\f(a,2R)，即eq\f(a,sinA)＝2R.用正弦定理解三角形【例2】已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，邊b，c.[思路探究]①角A，B，C滿足什么關(guān)系；②105°可拆分成哪兩個特殊角的和；③由正弦定理如何求得b，c的值.[解]∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°﹣(A＋C)＝105°，又由正弦定理得：c＝eq\f(asinC,sinA)＝10eq\r(2).b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(10·sin105°,sin30°)＝20sin(60°＋45°)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2)).∴B＝105°，b＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))，c＝10eq\r(2).1.正弦定理實際上是三個等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個.2.適用正弦定理的兩種情形：(1)已知三角形的任意兩角與一邊.(2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角.2.已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，求A，C，a.[解]由正弦定理得：sinC＝eq\f(c·sinB,b)＝eq\f(2sin30°,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∵c＞b,0°＜C＜180°，∴C＝45°或135°.當(dāng)C＝45°時，A＝105°，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(2)sin105°,sin30°)＝eq\r(3)＋1，當(dāng)C＝135°時，A＝15°，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin30°)＝eq\r(3)﹣1.三角形形狀的判斷[探究問題]1.已知△ABC的外接圓O的直徑長為2R，試借助△ABC的外接圓推導(dǎo)出正弦定理.[提示]如圖，連接BO并延長交圓O于點D，連接CD，則∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2RsinA，即eq\f(a,sinA)＝2R，同理eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R，所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.2.由eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R可以得到哪些變形形式？這些變形形式有什么功能？[提示]由eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R可以得到的變形：sinA＝eq\f(a,2R)，a＝2RsinA；sinB＝eq\f(b,2R)，b＝2RsinB；sinC＝eq\f(c,2R)，c＝2RsinC.由這些變形形式，我們可以實現(xiàn)三角形中邊、角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.【例3】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀.[解]法一：(利用角的互余關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°﹣B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.法二：(利用角的互補關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°﹣(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B﹣C)＝0.又﹣90°＜B﹣C＜90°，∴B﹣C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.(變條件)將本例題條件“sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改為“b＝acosC”其它條件不變，試判斷△ABC的形狀.[解]∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC.(*)∵B＝π﹣(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，從而(*)式變?yōu)閟in(A＋C)＝sinAcosC.∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形.1.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，既可以轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系.2.注意在邊角互化過程中，正弦定理的變形使用，如eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)等.1.正弦定理的表示形式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k＞0).2.正弦定理的應(yīng)用：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角.3.利用正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：一方面可以化邊為角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來解決；另一方面，也可以化角為邊，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.1.判斷正誤(1)正弦定理不適用直角三角形.()(2)在△ABC中，bsinA＝asinB總成立.()(3)在一確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一定值.()[答案](1)×(2)√(3)√2.在△ABC中，若sinA＞sinB，則有()A.a＜bB.a≥bC.a＞bD.a，b的大小無法判定C[因為eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB).因為在△ABC中，sinA＞sinB＞0，所以eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＞1，所以a＞b.]3.在△ABC中，若c＝2acosB，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.不等邊三角形B[由正弦定理知c＝2RsinC，a＝2RsinA，故sinC＝2sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＝cosAsinB，即sin(A﹣B)＝0，所以A＝B.故△ABC為等腰三角形.]4.在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝60°，那么A等于()A.135°B.90°C.45°D.30°C[由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2),2)，∴A＝45°或135°.又∵a＜b，∴A＜B，∴A＝45°.]5.已知在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，解這個三角形.[解]由正弦定理及已知條件有eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，得sinA＝eq\f(\r(3),2).∵a＞b，∴A＞B＝45°.∴A＝60°或120°.當(dāng)A＝60°時，C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當(dāng)A＝120°時，C＝180°﹣45°﹣120°＝15°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).綜上，可知A＝60°，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或A＝120°，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).第3課時正弦定理(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式，解決三角形中的問題.(重點)2.能根據(jù)條件，判斷三角形解的個數(shù).3.能利用正弦定理、三角恒等變換、三角形面積公式解決較為復(fù)雜的三角形問題.(難點)1.通過三角形個數(shù)判斷的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的素養(yǎng).2.借助求解三角形面積及正弦定理的綜合應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).1.正弦定理及其變形(1)定理內(nèi)容：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為外接圓半徑).(2)正弦定理的常見變形：①sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；②eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R；③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；④sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).思考：在△ABC中，已知acosB＝bcosA.你能把其中的邊a，b化為用角表示嗎(打算怎么用上述條件)?[提示]可借助正弦定理把邊化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移項后就是一個三角恒等變換公式sinAcosB﹣cosAsinB＝0.2.三角形的面積公式任意三角形的面積公式為：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC，即任意三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦的乘積的一半.(2)S△ABC＝eq\f(1,2)ah，其中a為△ABC的一邊長，而h為該邊上的高的長.(3)S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq\f(1,2)rl，其中r，l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長.1.在△ABC中，sinA＝sinC，則△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形B[由正弦定理可得sinA＝sinC?eq\f(a,2R)＝eq\f(c,2R)，即a＝c，所以△ABC為等腰三角形.]2.在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，則這個三角形有()A.一解B.兩解C.無解D.無法確定A[由b＜a和大邊對大角可知三角形的解的個數(shù)為一解.]3.在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，則△ABC的面積為()A.3B.3eq\r(3)C.6D.6eq\r(3)B[由S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)得S＝3eq\r(3)，故選B.]三角形解的個數(shù)的判斷【例1】已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.[解](1)a＝10，b＝20，a＜b，A＝80°＜90°，討論如下：∵bsinA＝20sin80°＞20sin60°＝10eq\r(3)，∴a＜bsinA，∴本題無解.(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°，∵bsinA＝6sin30°＝3，a＞bsinA，∴bsinA＜a＜b，∴三角形有兩解.由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.當(dāng)B1＝60°時，C1＝90°，c1＝eq\f(asinC1,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin90°,sin30°)＝4eq\r(3)；當(dāng)B2＝120°時，C2＝30°，c2＝eq\f(asinC2,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin30°,sin30°)＝2eq\r(3).∴B1＝60°時，C1＝90°，c1＝4eq\r(3)；B2＝120°時，C2＝30°，c2＝2eq\r(3).已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時，要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個值還是兩個值.或者根據(jù)該正弦值(不等于1時)在0°～180°范圍內(nèi)求角，一個銳角，一個鈍角，只要不與三角形內(nèi)角和定理矛盾，就是所求.1.△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若該三角形有兩解，則x的取值范圍是.(2,2eq\r(2))[由asinB＜b＜a，得eq\f(\r(2),2)x＜2＜x，∴2＜x＜2eq\r(2).]三角形的面積【例2】在△ABC中，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面積S.[思路探究]根據(jù)C＝eq\f(π,4)及coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5).利用sinA＝sin(B＋C)求出sinA的值.然后利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)求出c值.利用S＝eq\f(1,2)acsinB求解.[解]∵coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，∴cosB＝2cos2eq\f(B,2)﹣1＝eq\f(3,5).∴B∈(0，eq\f(π,2))，∴sinB＝eq\f(4,5).∵C＝eq\f(π,4)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(7\r(2),10).∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2,\f(7\r(2),10))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(10,7).∴S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7).已知三角形的兩邊和夾角可求三角形的面積，三角形的面積公式為S＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\f(1,2)bc·sinA.2.(1)在△ABC中，若a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝.(2)在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積等于.(1)2eq\r(3)(2)eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)[(1)∵cosC＝eq\f(1,3)，∴C∈(0°，90°)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，又S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)·3eq\r(2)·b·eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).(2)由正弦定理得sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(\r(3)×\f(1,2),1)＝eq\f(\r(3),2)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).]正弦定理的綜合應(yīng)用[探究問題]1.你能用坐標(biāo)法證明S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB嗎？[提示](以已知a，b，C為例)以△ABC的頂點C為原點，射線CB的方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則頂點A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC).過點A作BC邊上的高AE，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可得AE＝bsinC，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)·BC·AE＝eq\f(1,2)·a·bsinC＝eq\f(1,2)absinC.同理可得S＝eq\f(1,2)bcsinA，S＝eq\f(1,2)acsinB.故S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB.2.應(yīng)用正弦定理解三角形時經(jīng)常挖掘三角形中哪些隱含條件？[提示](1)在△ABC中，A＋B＋C＝π?sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝﹣cosC；eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)﹣eq\f(C,2)?sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(2)若△ABC為銳角三角形，則A＋B＞eq\f(π,2)，A＋C＞eq\f(π,2)，B＋C＞eq\f(π,2)；A＋B＞eq\f(π,2)?A＞eq\f(π,2)﹣B?sinA＞cosB，cosA＜sinB.【例3】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝﹣sin2C.(1)求C的大??；(2)若c＝2eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，求△ABC的面積.[思路探究](1)由m·n＝﹣sin2C，利用三角恒等變換求出C的大??；(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面積公式求解.[解](1)由題意，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝﹣sin2C，即sin(A＋B)＝﹣sin2C，sinC＝﹣2sinCcosC.由0＜C＜π，得sinC＞0.所以cosC＝﹣eq\f(1,2).C＝eq\f(2π,3).(2)由C＝eq\f(2π,3)，A＝eq\f(π,6)，得B＝π﹣A﹣C＝eq\f(π,6).由正弦定理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(b,sin\f(π,6))＝eq\f(2\r(3),sin\f(2π,3))，解得b＝2.所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sineq\f(π,6)＝eq\r(3).(變條件，結(jié)論)將例題中的條件“m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝﹣sin2C”換為“若a＋c＝2b,2cos2B﹣8cosB＋5＝0”求角B的大小并判斷△ABC的形狀.[解]∵2cos2B﹣8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B﹣1)﹣8cosB＋5＝0.∴4cos2B﹣8cosB＋3＝0，即(2cosB﹣1)(2cosB﹣3)＝0.解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝eq\f(3,2)(舍去).∵0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,3).∵a＋c＝2b.由正弦定理，得sinA＋sinC＝2sinB＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).∴sinA＋sin(eq\f(2π,3)﹣A)＝eq\r(3)，∴sinA＋sineq\f(2π,3)cosA﹣coseq\f(2π,3)sinA＝eq\r(3).化簡得eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)，∴sin(A＋eq\f(π,6))＝1.∵0＜A＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)＜A＋eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，∴A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).∴A＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,3).∴△ABC是等邊三角形.借助正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后，常利用三角變換公式進(jìn)行變形、化簡，確定角的大小或關(guān)系，繼而判斷三角形的形狀、證明三角恒等式.1.已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，這時三角形解的情況：可能無解，也可能一解或兩解.首先求出另一邊的對角的正弦值，當(dāng)正弦值大于1或小于0時，這時三角形解的情況為無解；當(dāng)正弦值大于0小于1時，再根據(jù)已知的兩邊的大小情況來確定該角有一個值或者兩個值.2.結(jié)合正弦定理，同時注意三角形內(nèi)角和定理及三角形面積公式、三角恒等變換等知識進(jìn)行綜合應(yīng)用.1.判斷正誤(1)在△ABC中，A＝30°，a＝2，b＝2eq\r(3)，則B＝60°.()(2)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，但無法確定具體值.()(3)由兩邊和一角就可求三角形的面積.()[答案](1)×(2)×(3)×2.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a＝1，b＝eq\r(3)，B＝60°，則△ABC的面積為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.1D.eq\r(3)B[∵a＝1，b＝eq\r(3)，B＝60°，∴由正弦定理可得：sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(1,2)，∵a＜b，A＜60°，∴A＝30°，C＝180°﹣A﹣B＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2).故選B.]3.在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，則eq\f(b,c)＝.1[由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(1,\r(3))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)，又0＜C＜eq\f(π,3)，所以C＝eq\f(π,6)，B＝π﹣(A＋C)＝eq\f(π,6).所以eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(sin\f(π,6),sin\f(π,6))＝1.]4.在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，則sinA＝，a＝.eq\f(2\r(5),5)2eq\r(10)[由tanA＝2，得sinA＝2cosA，由sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，∵b＝5，B＝eq\f(π,4)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10).]5.在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求eq\f(2sinA－sinB,sinC)的值.[解]由條件得eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(1,5)，∴sinA＝eq\f(1,5)sinC.同理可得sinB＝eq\f(3,5)sinC.∴eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝eq\f(2×\f(1,5)sinC－\f(3,5)sinC,sinC)＝﹣eq\f(1,5).平面向量的應(yīng)用一課時跟蹤練習(xí)1.鈍角三角形的三邊分別為a，a＋1，a＋2，其最大角不超過120°，則a的取值范圍為()A.eq\f(3,2)＜a＜3B.eq\f(3,2)≤a＜3C.eq\f(3,2)≤a≤3D.eq\f(3,2)＜a≤3答案B解析設(shè)鈍角三角形的最大角為α，則依題意90°＜α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝eq\f(a2＋a＋12－a＋22,2aa＋1)＝eq\f(a－3,2a)，所以﹣eq\f(1,2)≤eq\f(a－3,2a)＜0，解得eq\f(3,2)≤a＜3.2.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么角C等于()A.120°B.105°C.90°D.75°答案A解析∵c＝eq\r(3)a，∴sinC＝eq\r(3)sinA＝eq\r(3)sin(180°﹣30°﹣C)＝eq\r(3)sin(30°＋C)＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinC＋\f(1,2)cosC))，即sinC＝﹣eq\r(3)cosC.∴tanC＝﹣eq\r(3).又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.3.已知△ABC的三邊長分別是x2＋x＋1，x2﹣1和2x＋1(x＞1)，則△ABC的最大角為()A.150°B.120°C.60°D.75°答案B解析令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2﹣1＝3,2x＋1＝5，∴最大邊x2＋x＋1應(yīng)對最大角，設(shè)最大角為α，∴cosα＝eq\f(x2－12＋2x＋12－x2＋x＋12,2x2－12x＋1)＝﹣eq\f(1,2)，∴最大角為120°.4.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.由增加的長度確定答案A解析設(shè)直角三角形的三邊長為a，b，c，且a2＋b2＝c2，則(a＋x)2＋(b＋x)2﹣(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x﹣c2﹣2cx﹣x2＝2(a＋b﹣c)x＋x2＞0，所以c＋x所對的最大角變?yōu)殇J角.5.在△ABC中，A＝60°，BC＝3，則△ABC的兩邊AC＋AB的取值范圍是()A.[3eq\r(3)，6]B.(2,4eq\r(3))C.(3eq\r(3)，4eq\r(3)]D.(3,6]答案D解析由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(3,\f(\r(3),2)).∴AC＝2eq\r(3)sinB，AB＝2eq\r(3)sinC.∴AC＋AB＝2eq\r(3)(sinB＋sinC)＝2eq\r(3)[sinB＋sin(120°﹣B)]＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB＋\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)sinB＋\f(\r(3),2)cosB))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinB＋\f(1,2)cosB))＝6sin(B＋30°).∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°.∴eq\f(1,2)＜sin(B＋30°)≤1.∴3＜6sin(B＋30°)≤6.∴3＜AC＋AB≤6.6.如圖，在△ABC中，點D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq\r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)，則CD的長度等于________.答案4解析由題意知sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)＝sin(eq\f(π,2)＋∠CBD)＝cos∠CBD，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2﹣2BC·BD·cos∠CBD＝27＋25﹣2×3eq\r(3)×5×eq\f(2\r(3),5)＝16.∴CD＝4.7.在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b＝2a，B＝A＋60°，則A＝________.答案30°解析∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化簡得sinA＝eq\f(\r(3),3)cosA，∴tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴A＝30°.8.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且eq\f(2a－c,c)＝eq\f(tanB,tanC)，則角B的大小為________.答案60°解析∵eq\f(2a－c,c)＝eq\f(tanB,tanC)，根據(jù)正弦定理，得eq\f(2sinA－sinC,sinC)＝eq\f(tanB,tanC)＝eq\f(sinBcosC,sinCcosB).化簡為2sinAcosB﹣cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C).在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝eq\f(1,2).∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.9.△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)若c﹣b＝1，求a的值.解(1)在△ABC中，∵cosA＝eq\f(12,13)，∴sinA＝eq\f(5,13).又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝12×13.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝bccosA＝144.(2)由(1)知bc＝12×13，又c﹣b＝1，∴b＝12，c＝13.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2﹣2bccosA＝122＋132﹣2×12×13×eq\f(12,13)＝25，∴a＝5.10.在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀.解由余弦定理，知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知條件，得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分，得a2(b2＋c2﹣a2)＋b2(a2＋c2﹣b2)＋c2(c2﹣a2﹣b2)＝0，展開整理，得(a2﹣b2)2＝c4.∴a2﹣b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理，知△ABC是直角三角形.11.在銳角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所對的角分別為A，B，C，求eq\f(a,b)的取值范圍.解在銳角三角形ABC中，A，B，C＜90°，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B<90°，,2B<90°，,180°－3B<90°，))∴30°＜B＜45°.由正弦定理，知eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(sin2B,sinB)＝2cosB∈(eq\r(2)，eq\r(3))，故eq\f(a,b)的取值范圍是(eq\r(2)，eq\r(3)).平面向量的應(yīng)用一隨堂檢測1.在△ABC中，已知a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于()A.2eq\r(5)B.eq\r(5)C.2eq\r(5)或eq\r(5)D.以上都不對答案C解析∵a2＝b2＋c2﹣2bccosA，∴5＝15＋c2﹣2eq\r(15)×c×eq\f(\r(3),2).化簡，得c2﹣3eq\r(5)c＋10＝0，即(c﹣2eq\r(5))(c﹣eq\r(5))＝0，∴c＝2eq\r(5)或c＝eq\r(5).2.在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對應(yīng)邊)，則△ABC的形狀為()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)?a2＋b2＝c2，符合勾股定理.故△ABC為直角三角形.3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，則角C為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)答案B解析∵a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，∴a2＋b2﹣c2＝﹣eq\r(2)ab，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝﹣eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)