山西省晉中市壽川中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

2功icos2x

1.三角函數(shù)6的振幅和最小正周期分別是()

A.“B.&Ec曲D.立霓

參考答案:

B

,8=sin-0K2x-CDs^sm2xlcDs2x

coslx--sinlx)

=5^5cos(2r?—)

6故選B.

2.正方體ABC。-/，》C，。棱長為6,點P在棱AB上，滿足PA=2PB,過點P的直線/

與直線N3'、CC，分別交于E、尸兩點，則EF=()

A.3汨B.9石C.

14D.21

參考答案：

D

如圖，過點/與CC*做平面分別與直線叱DA.jfJf

交于民連接即與直線CCf交于點尸，則可求

GF」皿」"二3

E^^AM=2BC^Y122

M=+=、謂=21,故選D

1

3.設(shè)a='2

1（3X2-2X）dx,則（ax-x）”的展開式中的第4項為（)

A.-1280x3B.-1280C.240D.-240

參考答案：

A

【考點】定積分.

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；二項式定理.

【分析】先計算定積分，再寫出二項式的通項，即可求得展開式中的第4項.

r2i2

【解答】解：由于a=J1（3x?-2x）dx=（x=x?）11=4,

1T=「rx（4/）6-rx（r

則（ax?-x）s的通項為r+「6x=（-l）

6

crX4-rX

6

rQ.

3,3/6-36-3X3__1"c3

故（ax'-1x）”的展開式中的第4項為T“'1）仆r''，x-1'XUx,

故選：A.

【點評】本題考查定積分知識，考查二項展開式，考查展開式中的特殊項，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知直線見平面。，〃、且加＜-四給出下列命題：

①若a〃/則則I/；②若。工“，則m〃/;③若用1/,則。上"；

④若m〃/，則"工"。其中正確的命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3

D.4

參考答案：

【知識點】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.G4G5

B解析：(1)中，若a〃B，且m_La?mj,B,又所以①正確.

(2)中，若a_LB,且又1?B,則m與1可能平行，可能異面，所以②

不正確.

(3)中，若m_Ll,且m_La,l?B?a與B可能平行，可能相交.所以③不正確.

(4)中，若m〃l,且又.?.④正確.故選B.

【思路點撥】根據(jù)有關(guān)定理中的諸多條件，對每一個命題進(jìn)行逐一進(jìn)行是否符合定理條件

去判定，將由條件可能推出的其它的結(jié)論也列舉出來.

3

5.已知lg2=a,lg3=b,則lg2等于

ba

Aa-bBb-aCaDb

參考答案：

B

6.a為實數(shù)GT7為實數(shù)，則。=()

1i

A.1B.2C.3D.-2

參考答案：

B

7.已知函數(shù)1+2sinx的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換

后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()

①繞著x軸上一點旋轉(zhuǎn)180°;

②沿x軸正方向平移；

③以x軸為軸作軸對稱；

④以X軸的某一條垂線為軸作軸對稱.

A.①③B.③④C.②③D.②④

參考答案：

D

【分析】

計算得到/(*+3)=/(*),小MM,故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對稱圖

形，故②④正確，根據(jù)圖像知①③錯誤，得到答案.

【詳解】/㈤U2ri.(x+2fcr)l+2rinx"\

keZ,

當(dāng)沿X軸正方向平移肛*wZ個單位時，重合，故②正確；

(一］=:心臼=a(廣)

=x=-_

故(2J(2),函數(shù)關(guān)于2對稱，故④正確；

根據(jù)圖像知：①③不正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像

的綜合應(yīng)用.

8.

將函數(shù)y=/(x>cosx的圖象按向量斫(口，1)平移，得到函數(shù)y=2sin2x的圖象,

那么函數(shù)加0可以是

A.cosxB.sinxC.2cosxD.2sinx

參考答案:

答案：D

9.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

A.16x+-fixB.16"+8\Q冗

16?16ff?-

C.3D.3

參考答案:

C

【分析】

根據(jù)三視圖可以判斷出該幾何體是一個底面直徑為4高為4的圓柱和一個底面直徑為4高

為2V互的圓錐的組合體，根據(jù)圓錐和圓柱的體積公式求出組合體的體積.

【詳解】解：由幾何體的三視圖，知該幾何體是一個底面直徑為4高為4的圓柱和一個底

面直徑為4高為動的圓錐的組合體，

該幾何體的體積為：

故選：c.

【點睛】本題考查了通過三視圖識別幾何體，并求出幾何體的體積問題，考查了空間想象

能力和數(shù)學(xué)運算能力.

1+OK2X+8&I'X

0<x<—/?=

10.當(dāng)2時，函數(shù)■2x的最小值為（)

A.2B,2、QC.4D.4、,Q

參考答案：

C

zl-ixnCx-8+inX

v0<x<?-??lanx0Rx)=--------------

2,sin2x

2COS2X+8sin2x2+8tan2x1「i]

=----；-------=--------------4tanx>2----4tanx=4i.inx-

2sinxcosx2tanxtanx、匕nx,當(dāng)且僅當(dāng)二時取等號，函

J

1-cos2x-8sjtn-x

ftx)---------------

數(shù)n、\的最小值為4,選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.能夠說明“若甲班人數(shù)為m，平均分為"；乙班人數(shù)為平均分為占，則甲乙

a^b

兩班的數(shù)學(xué)平均分為~2~”是假命題的一組正整數(shù)“乃的值依次為.

參考答案：

岫是不相等的正整數(shù)即可

12.已知等差數(shù)列SJ中，的+%=32.的-a?=%則此數(shù)列的前1()項之和

當(dāng)=---------

參考答案：

190

略

x-2y+520'

(xj)|,3-xN0>匚｛(”)*+/425)

13.設(shè)加為實數(shù)，若I0,則他的取值

范

圍是_______

參考答案：

八4

OSES一

3______

14.關(guān)于x的方程工+1=C二有一個實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是.

參考答案：

■^1.

【分析】

由題意可得，函數(shù)y=x+l的圖象和函數(shù)丫=由三的圖象有一個交點，對函數(shù)

尸的m分類，分別畫出m的圖象，可求出實數(shù)機的取值范圍.

【詳解】???關(guān)于x的方程x+l=4/+m有一個實數(shù)解，

故直線y=x+l的圖象和函數(shù)y=積+0的圖象有一個交點.

在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=x+l的圖象和函數(shù)y=J』+m的圖象.

由于函數(shù)y=W+m,

當(dāng)〃『0時，尸擊""1=、’=國和直線y=x+l的圖象如圖：

滿足有一個交點；

當(dāng)m>0時，y二卜口y2-x2=m(y>0)

此雙曲線y2-x2=m的漸近線方程為y=±x,其中y=x與直線y=x+l平行,

雙曲線V-x2=m的頂點坐標(biāo)為(0,而)，

如圖：只要機>0,均滿足函數(shù)y=x+l的圖象和函數(shù)丫=巧：的圖象有一個交點,

=

當(dāng)m<0時，y+nt]x2_y2--m(y>0),

此雙曲線/-y2=_m的漸近線方程為y=±x,其中y=x與直線y=x+l平行,

(i0),如圖：

當(dāng)"41時，滿足函數(shù)y=x+l的圖象和函數(shù)的圖象有一個交點,

即當(dāng)一l《m<0時符合題意;

綜上：?々一1,

故答案為：m>-l.

【點睛】本題考查的知識點直線和雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，將問題轉(zhuǎn)化為直線y=x+l

的圖象和函數(shù)的圖象有一個交點，是解答本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思

想，屬于中檔題.

15.已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=ln(-x)-3x,則曲線y=f(x)在(1,f

(1))處的切線方程為.

參考答案：

4x+y-1=0

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【分析】設(shè)x>0,則-x<0,運用已知解析式和奇函數(shù)的定義，可得x>0的解析式，求

得導(dǎo)數(shù)，代入x=l,計算得到所求切線的斜率，即可求出切線方程.?

【解答】解：設(shè)x>0,貝f(-x)=lnx+3x,

由f(x)為奇函數(shù)，可得f(-x)=-f(x),

即f(x)=-Inx-3x,x>0.

導(dǎo)數(shù)為r(x)=-7-3,

則曲線y=f(x)在x=l處的切線斜率為-4,

vf(1)=-3,

????曲線y=f(x)在(1,f(l))處的切線方程為y+3=-4(x-1),即4x+y-1=0,

故答案為4x+y-1=0.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義的運用：求解析式，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜

率，求得解析式和導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

16,已知數(shù)列SO滿足%=2-1(川€四，則數(shù)列(%｝的前n項和

.

參考答案：

g=2*+3l

I7.A/3C中，角力、B、0所對的邊為4、5、匕，若3,b=2u,則0=_.

參考答案：

IX

6

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分12分）

/（x）=-^―-ax（a>0）

已知函數(shù)-Inx

（I）若函數(shù)在°，XQ）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；

（II）若3V七€k，/],使/（入1）0/'（/）+。成立，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案：

【知識點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用B12

1J1

（I）4（JI）J-24?

,（）InX-1￡0

（I）因/3》在a，+0"上為減函數(shù)，故onx/在a，+?a上恒成立.

所以當(dāng)X*Q''時，/（X）>a—".

1&

-------）十一—a

Inx24

J_=l_/（x）=l_a

故當(dāng)放一5,即x=/時，x^~4a,

—~aS0ai.—

所以4,故4

1

所以a的最小值為彳.

（H）“若打1、七€也/],使/（$）&/'（勺）+。成立”等價于

當(dāng)時，有/（工）心&/（x、.+a,

r/i==-a,/r（x）?w+a=」

當(dāng)x*/]時，有八％"4」*4,

問題等價于:“當(dāng)xe[”2]時,有/")皿用"

①當(dāng)"~4時，/(工)在區(qū)燈上為減函數(shù)

々211]

/(X)■口=f(,)=。之w----y

則-八'24,故247.

②當(dāng)°<彳時，由于""=?k?引T。在[&/]上為增函數(shù)，

故/3的值域為，(x)J'(J)],Bp[-a，4-a].

由/'(x)的單調(diào)性和值域知，存在唯一5e(eM),使，(％)=°,且滿足:

當(dāng)xe(e.xl：l)時，/(x)<0,J(1)為減函數(shù)；

當(dāng)xe(%")時，八成>0,/(?為增函數(shù)；

所以E%4,)

11111111

aN-------------->—y——>-------——0<a<_

所以1nq/】3縮244,與-4矛盾，不合題意.

綜上，小2人“

,(X)=-x?l_as0

【思路點撥】(I)因/(X)在上為減函數(shù)，故在G，*3)上

恒成立，求出導(dǎo)函數(shù)的最值，即可求實數(shù)&的最小值；

(II)“若知之€也/],使/(Xi)V5)+a成立”等價于

當(dāng)xsk，']時，有/(x)/+。，當(dāng)4時，若*r。使

成立，等價于xw[e.e1使《垃修，/好…+。.求出最值，即可確

定乙的取值范圍.

19.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax2+ax,a為正實數(shù).

(1)當(dāng)a=2時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

I

(2)求證：f(W0；

(3)若函數(shù)f(x)有且只有1個零點，求a的值.

參考答案：

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【分析】(1)求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點坐標(biāo)，可得切線方程；

(2)構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可證明結(jié)論；

(3)由題意可知，函數(shù)f(x)有且只有1個零點為(1,0),則F(1)=0,即可得出結(jié)

論.

【解答】(1)解：當(dāng)a=2時，f(x)=lnx-2x2+2x,P(x)=x-2x+2,

???f(1)=1,

vf(1)=0,

曲線y=f(x)在點(1,f⑴)處的切線方程是丫=*；

(2)證明：f(a)=-Ina-a+1(a>0)?

1。

—2

令g(x)=-lnx-x+1(x>0)，則g'(x)=x,

時，g'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；x>l時，g'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

??.x=1時，函數(shù)取得極大值，即最大值，

???g(x)<g(1)=0,

;.f(a)<0；

(3)解：由題意可知，函數(shù)f(x)有且只有1個零點為(1,0),

貝ijf(1)=0,即1-2a+a=0

，a=1.

20.在AdUJC中，已知/C=4,BC=5

(1)若Nd=&尸,求8sb的值;

..7

cos(Z—A)=——

(2)若8,求c?C的值.

參考答案：

叵11

(1)5；(2)16.

試覆分析：（1＞偌助題設(shè)條件運用正弦定理求解，（2）老肺整設(shè)運用鉆友定理和三角鑼公式探求.

試tilt析1

jir<4空,

'：AC<BC,.avZ4=?)。,故/A為銳用，ecnH

(2)如圖，在線線上取一點。，使穗H)=8D,則上3=4,故8*NC<D=0(/-A)=?,

8

在ACID中.設(shè)3=x,5MCD=5-x.由可知($-X)2=4W-2X4XXX1,解得x=3,

即/D?3.CD?2,所以&1DC中，由余茲定理可否cosC-'

2x2x416

考點：三角變換公式及正余弦定理等有關(guān)知識的綜合運用.

21.（本小題共13分）

某校高三年級同學(xué)進(jìn)行體育測試，測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格三個等級.測

試結(jié)果如下表：（單位：人）

優(yōu)秀良好合格

男

1:701

女120a30

按優(yōu)秀、良好、合格三個等級分層，從中抽取50人，其中成績?yōu)閮?yōu)的有30人.

（1）求。的值；

⑵若用分層抽樣的方法，在合格的同學(xué)中按男女抽取一個容量為5的樣本，從中

任選2人，記》為抽取女生的人數(shù)，求乃的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考答案:

50_30

解：(I)設(shè)該年級共月人，由題意得〈一180