2024屆廣東省深圳市羅湖區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)a∈R，則“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要2．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A． B． C． D．3．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí)，,則（）A．12 B．20 C．28 D．4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若，，則（）A． B．0 C．1 D．25．小明同學(xué)喜歡籃球，假設(shè)他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A． B． C． D．6．設(shè)，由不等式，，，…，類比推廣到，則()A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若、，，使得成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．或8．給定下列兩種說法：①已知，命題“若，則”的否命題是“若，則”，②“，使”的否定是“，使”，則（）A．①正確②錯誤 B．①錯誤②正確 C．①和②都錯誤 D．①和②都正確9．函數(shù)y＝﹣ln（﹣x）的圖象大致為（）A． B．C． D．10．在中，,則（）A． B． C． D．11．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為()A． B． C． D．12．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，若也與函數(shù)，的圖象相切，則必滿足（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)向量，，且，則的值為__________．14．定義函數(shù)，，其中，符號表示數(shù)中的較大者，給出以下命題：①是奇函數(shù)；②若不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，則③時(shí)，最小值是2450④“”是“”成立的充要條件以上正確命題是__________．（寫出所有正確命題的序號）15．__________．16．過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若，且該橢圓的離心率，則的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)有、兩個崗位招聘大學(xué)畢業(yè)生，其中第一天收到這兩個崗位投簡歷的大學(xué)生人數(shù)如下表：崗位崗位總計(jì)女生12820男生245680總計(jì)3664100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷是有的把握認(rèn)為招聘的、兩個崗位與性別有關(guān)？（2）從投簡歷的女生中隨機(jī)抽取兩人，記其中投崗位的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0250.0103.8415.0246.63518．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為棱的中點(diǎn)，，，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線與軸交于點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的大小；（2）若直三棱柱的體積為，求四棱錐的體積.21．（12分）已知函數(shù)，．（1）解不等式；（2）若方程在區(qū)間有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為是為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系；(2)在曲線上求一點(diǎn),使得它到直線的距離最大,并求出最大距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先由兩直線平行解得a的值，再通過檢驗(yàn)是否重合可得a=3，從而得兩命題的關(guān)系.【題目詳解】若直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=2×3，解得當(dāng)a=3時(shí)，兩直線分別為：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，滿足平行；當(dāng)a=-2時(shí)，兩直線分別為：x-y+3=0和x-y+3=0，兩直線重合；所以“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的充要條件.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩直線平行求參數(shù)值的問題。已知兩直線的一般方程判定兩直線平行的一般方法為：已知l1:A1x+2、B【解題分析】設(shè)正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是，選B.點(diǎn)睛:對于幾何概型的計(jì)算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時(shí)間），其次計(jì)算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計(jì)算.3、A【解題分析】

先計(jì)算出的值，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)得出可得出的值?！绢}目詳解】當(dāng)時(shí)，，則，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)奇偶性求值，求函數(shù)值時(shí)要注意根據(jù)自變量的范圍選擇合適的解析式，合理利用奇偶性是解本題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。4、C【解題分析】

首先根據(jù)得到數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)，即可算出的值.【題目詳解】因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列.因?yàn)?，所?..因?yàn)?，所?故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查了等差中項(xiàng)，屬于簡單題.5、D【解題分析】分析：利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是，

∴在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】由已知中不等式：歸納可得：不等式左邊第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，右邊為，故第個不等式為：，故，故選D.【方法點(diǎn)睛】本題通過觀察幾組不等式，歸納出一般規(guī)律來考察歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.7、B【解題分析】

對的范圍分類討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，即可判斷：、，，使得成立.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷：一定不存在、，，使得成立，問題得解.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則：、，，使得成立.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在也遞增，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)一定不存在、，，使得成立.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于難題。8、D【解題分析】

根據(jù)否命題和命題的否定形式，即可判定①②真假.【題目詳解】①中，同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題，故①正確；②中，特稱命題的否定是全稱命題，所以②正確，綜上知，①和②都正確.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查四種命題的形式以及命題的否定，注意命題否定量詞之間的轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

分析函數(shù)的定義域，利用排除法，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以可排除A、B、D，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別問題，其中解答中合理使用函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了判斷與識別能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

先根據(jù)求得，進(jìn)而求得，根據(jù)余弦定理求得以及，由此求得.【題目詳解】由于，所以且為銳角，所以.由余弦定理得.故.所以.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查余弦定理解三角形，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.11、D【解題分析】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，-4），故選D.考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時(shí)，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；（2）若漸近線方程為，則可設(shè)為；（3）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小．另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置.12、D【解題分析】

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，切線方程為，即，設(shè)切線與相切的切點(diǎn)為，，由的導(dǎo)數(shù)為，切線方程為，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上單調(diào)遞增，且，，所以有的根，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)向量垂直得，再根據(jù)兩角差正切公式求解.詳解：因?yàn)椋?因此點(diǎn)睛：向量平行：，向量垂直：，向量加減：14、②【解題分析】

函數(shù)等價(jià)于.利用奇偶性排除①，利用利用分離常數(shù)法，判斷②正確.利用倒序相加法判斷③錯誤.【題目詳解】函數(shù)等價(jià)于，.這是一個偶函數(shù)，故命題①錯誤.對于命題②，不等式等價(jià)于，即由于，故，所以，故命題②是真命題.對于③，當(dāng)時(shí)，，兩式相加得，而，，以此類推，可得.故③為假命題.對于④，，即，這對任意的都成立，故不是它的充要條件.命題④錯誤.故填②.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查對于新定義概念的理解.將新定義的概念，轉(zhuǎn)化為絕對值不等式來解決，屬于化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.15、【解題分析】

利用指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算即可求解.【題目詳解】故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】設(shè)右焦點(diǎn)F′，連結(jié)AF′，BF′，得四邊形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c?cos，BF=2c?sin，∴2csin+2ccos=2a，∵該橢圓的離心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范圍為．點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)．有關(guān)橢圓的離心率問題的關(guān)鍵是利用圖形中的幾何條件構(gòu)造的關(guān)系,解決橢圓離心率的相關(guān)問題的兩種方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齊次關(guān)系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關(guān)系式,解方程或者不等式求值或取值范圍．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有的把握認(rèn)為招聘的、兩個崗位與性別有關(guān).(2)見解析.【解題分析】分析：（1）根據(jù)所給公式直接計(jì)算求解作答即可；（2）先分析此分布為超幾何分布，然后確定X的取值可能，根據(jù)超幾分布求解概率寫分布列即可.詳解：（1），故有的把握認(rèn)為招聘的、兩個崗位與性別有關(guān).（2）的可能取值為0，1，2，，，.∴的分布列為012.點(diǎn)睛：考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和離散型隨機(jī)變量分分布列，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）先由平面得到面PDC平面，可得平面，則有，再利用勾股數(shù)及等腰三角形可得，可證得平面，即證得結(jié)論.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則.由題知平面，面PDC，所以面PDC平面，又底面為矩形，故平面，所以，在中，，，則.因?yàn)?，所以，，即△CDP為等腰三角形，又F為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋云矫?，即平?（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.由題知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，得.因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直、面面垂直的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．19、（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為（2）【解題分析】

（1）利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式求直線l的直線坐標(biāo)方程，消參求出曲線的普通方程；（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義求的值.【題目詳解】解：（1）因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為.（2）由題可知所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，設(shè)兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，即，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查極坐標(biāo)參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）；【解題分析】

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出異面直線與的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線與所成角的大?。唬?）連接．由，由已知中，是的中點(diǎn)，面，我們根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，即可得到，，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到面，故即為四棱錐的高，求出棱錐的底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．【題目詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)．依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，于是，由，則異面直線與所成角的大小為．（2）連接．由，是的中點(diǎn)，得；由面，面，得．又，