第2課時反比例函數(shù)y=k／x的圖象與性質匯報人：XXX2024-01-29目錄反比例函數(shù)基本概念回顧y=k/x圖象繪制及特點性質一：對稱性探究性質二：單調(diào)性討論性質三：漸近線存在性及其意義綜合應用舉例與拓展反比例函數(shù)基本概念回顧01表示方法反比例函數(shù)通常用y=k/x來表示，其中k是比例系數(shù)，x是自變量，y是因變量。定義一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=k/x(k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。反比例函數(shù)定義及表示方法反比例函數(shù)y=k/x的圖像位于第一象限和第三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。反比例函數(shù)y=k/x的圖像位于第二象限和第四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。當k>0時當k<0時k值對函數(shù)影響分析反比例函數(shù)y=k/x的定義域是{x|x≠0}，即x不能取0。反比例函數(shù)y=k/x的值域也是{y|y≠0}，即y也不能取0。同時，當k>0時，y的取值范圍為(0,+∞)和(-∞,0)；當k<0時，y的取值范圍為(0,-∞)和(+∞,0)。定義域值域函數(shù)定義域與值域討論y=k/x圖象繪制及特點0201確定k值根據(jù)給定的k值，確定反比例函數(shù)的具體形式。02列表取值在x軸上選取一系列的點，計算對應的y值，列出坐標點。03描點連線在坐標系中描出這些點，并用平滑的曲線連接各點，注意曲線不應與坐標軸相交或重合?；纠L圖步驟與技巧圖象位于第一、三象限，在每一個象限內(nèi)，從左往右，y隨x的增大而減小。當k>0時圖象位于第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，從左往右，y隨x的增大而增大。當k<0時圖象變化趨勢分析反比例函數(shù)圖象不會與坐標軸相交，因此沒有交點。可以通過求解方程y=k/x找到一些關鍵點，例如當x=1或x=-1時的y值。這些點可以幫助我們更好地理解圖象的形狀和位置。關鍵點（如與坐標軸交點）求解關鍵點求解與坐標軸交點性質一：對稱性探究03觀察函數(shù)表達式對于函數(shù)$y=frac{k}{x}$，若$k$為正，則函數(shù)圖像關于原點對稱；若$k$為負，則函數(shù)圖像關于兩個對稱中心對稱。利用定義判斷若對于定義域內(nèi)的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱。奇偶性判斷依據(jù)原點對稱當$k>0$時，反比例函數(shù)的圖像關于原點對稱，即對稱中心為坐標原點。對稱中心公式當$k<0$時，反比例函數(shù)的圖像關于兩個對稱中心對稱。對稱中心的坐標可以通過求解方程組$left{begin{matrix}y=frac{k}{x}y=-xend{matrix}right.$得到，解得$left{begin{matrix}x=sqrt{-k}y=-sqrt{-k}end{matrix}right.$和$left{begin{matrix}x=-sqrt{-k}y=sqrt{-k}end{matrix}right.$，因此對稱中心為$(sqrt{-k},-sqrt{-k})$和$(-sqrt{-k},sqrt{-k})$。對稱中心確定方法以$y=frac{1}{x}$為例，其圖像關于原點對稱。取點$(1,1)$和$(-1,-1)$進行驗證，發(fā)現(xiàn)它們關于原點對稱。以$y=-frac{1}{x}$為例，其圖像關于兩個對稱中心對稱。取點$(1,-1)$和$(-1,1)$進行驗證，發(fā)現(xiàn)它們關于點$(0,0)$對稱。再取點$(2,-0.5)$和$(-2,0.5)$進行驗證，發(fā)現(xiàn)它們關于點$(0,0)$對稱。因此可以得出結論：對于任意點$(x,y)$和$(-x,-y)$，它們關于點$(0,0)$對稱。實例驗證對稱性質性質二：單調(diào)性討論04在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值隨著自變量的增加而增加或減少，具有單調(diào)性。根據(jù)函數(shù)定義域和值域的特性，將函數(shù)的定義域劃分為若干個單調(diào)區(qū)間。單調(diào)區(qū)間劃分原則假設法假設在某個區(qū)間內(nèi)函數(shù)不是單調(diào)的，則存在兩個自變量$x_1$和$x_2$，使得$f(x_1)neqf(x_2)$，這與反比例函數(shù)的定義矛盾。導數(shù)法對反比例函數(shù)求導，得到其導函數(shù)。根據(jù)導函數(shù)的正負性，可以判斷原函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。單調(diào)性證明過程利用反比例函數(shù)的單調(diào)性，可以求解一些最值問題。例如，當$x>0$時，求函數(shù)$y=frac{k}{x}$的最小值。根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性，當$x>0$時，函數(shù)$y=frac{k}{x}$在$(0,+infty)$上是單調(diào)遞減的。因此，當$x$趨近于$0$時，函數(shù)值趨近于正無窮大；當$x$趨近于正無窮大時，函數(shù)值趨近于$0$。所以，函數(shù)在$(0,+infty)$上沒有最小值。應用舉例：求最值問題性質三：漸近線存在性及其意義050102漸近線定義當函數(shù)圖像無限接近于某條直線，但永不相交，這條直線就稱為該函數(shù)的漸近線。反比例函數(shù)漸近線對于反比例函數(shù)y=k/x，其圖像存在兩條漸近線。漸近線概念引入對于函數(shù)y=f(x)，若當x趨向于無窮時，y趨向于某個常數(shù)a，則y=a為水平漸近線。在反比例函數(shù)中，無水平漸近線。水平漸近線對于函數(shù)y=f(x)，若在某點x0處，函數(shù)無定義或趨向于無窮大，則x=x0為垂直漸近線。在反比例函數(shù)中，當k>0時，垂直漸近線為y軸；當k<0時，垂直漸近線為x軸。垂直漸近線對于函數(shù)y=f(x)，若當x趨向于無窮時，y與某條直線y=kx+b的差趨向于0，則稱y=kx+b為斜漸近線。在反比例函數(shù)中，無斜漸近線。斜漸近線漸近線方程求解方法描述函數(shù)變化趨勢01漸近線可以幫助我們了解函數(shù)在無窮遠處的變化趨勢，從而更好地理解函數(shù)性質。02輔助作圖在繪制反比例函數(shù)圖像時，可以根據(jù)漸近線的位置大致確定函數(shù)圖像的分布區(qū)域。03解決實際問題在實際問題中，漸近線可以幫助我們估算某些量的取值范圍或變化趨勢。漸近線在圖象中作用綜合應用舉例與拓展06

實際問題中反比例函數(shù)模型構建面積問題例如，矩形面積固定，長和寬成反比。構建反比例函數(shù)模型，通過已知條件求解未知邊長。速度、時間、距離問題當兩物體以恒定速度相對移動時，它們之間的距離與時間成反比。構建反比例函數(shù)模型，可求解相遇或追及問題。電阻、電壓、電流問題在電路中，當電壓恒定時，電阻與電流成反比。利用反比例函數(shù)模型，可分析電路中的電流和電阻關系。通過觀察反比例函數(shù)的圖象，可以直觀地了解函數(shù)的增減性、對稱性以及與坐標軸的交點等重要性質。圖象分析利用反比例函數(shù)的性質，如單調(diào)性、值域等，可以判斷實際問題中變量的變化趨勢和范圍，為解決問題提供重要依據(jù)。性質應用將實際問題抽象為反比例函數(shù)方程，通過求解方程得到變量的具體數(shù)值。方程求解利用圖象和性質解決實際問題策略反比例函數(shù)y=k/x^n（n為正整數(shù)）其圖象類似于雙曲線，具有對稱性和漸近線。當n為奇數(shù)時，函數(shù)關于原點對稱；當n為偶數(shù)時，函數(shù)關于y軸對稱。反比例函數(shù)y=k/(x+a)（a≠0）其圖象是中心對稱的