2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差，其中。棱錐的體積公式：，其中是錐體的底面積，為高。棱柱的體積公式：，其中是柱體的底面積，為高。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分，請把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置上。1、函數(shù)的最小正周期為▲。2、設(shè)(為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的模為▲。3、雙曲線的兩條漸近線的方程為▲。4、集合{1，0，1}共有▲個子集。5、右圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是▲。6、抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績（單位：環(huán)），結(jié)果如下：

運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為▲。7、現(xiàn)有某類病毒記作為，其中正整數(shù)可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為▲。8、如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D、E、F分別為AB、AC、AA1的中點，設(shè)三棱錐FADE的體積為，三棱柱A1B1C1ABC的體積為，則：=▲。9、拋物線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部與邊界)。若點P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則的取值范圍是▲。10、設(shè)D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且。若(、均為實數(shù))，則+的值為▲。11、已知是定義在R上的奇函數(shù)。當(dāng)時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為▲。12、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C的方程為，右焦點為F，右準(zhǔn)線為，短軸的一個端點為B。設(shè)原點到直線BF的距離為，F(xiàn)到的距離為。若，則橢圓C的離心率為▲。13、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)定點A(a,a)，P是函數(shù)圖象上的一動點。若點P、A之間的最短距離為，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為=▲。14、在正項等比數(shù)列中，，則滿足的最大正整數(shù)n的值為▲。二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.15、（本小題滿分14分）已知向量。（1）若，求證：；（2）設(shè)，若，求的值。16、（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐SABC中，平面平面SBC,，AS=AB。過A作，垂足為F，點E、G分別為線段SA、SC的中點。求證：（1）平面EFG//平面ABC；（2）。17、（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點A(0,3)，直線，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線上。（1）若圓心C也在直線上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍。18、（本小題滿分16分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑。一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C。現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘。在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘坐纜車到B，在B處停留1分鐘后，再從B勻速步行到C。假設(shè)纜車速度為130米/分鐘，山路AC的長為1260米，經(jīng)測量，。（1）求索道AB的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？19、（本小題滿分16分）設(shè)是首項為、公差為的等差數(shù)列，為其前項和。記，其中c為實數(shù)。（1）若c=0，且成等比數(shù)列，證明：（2）若為等差數(shù)列，證明：c=0。20、（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)。（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論。21．[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修41：幾何證明選講]（本小題滿分10分）如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D、C，AC經(jīng)過圓心O，且BC=2OC。求證：AC=2AD。B．[選修42：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知矩陣，求矩陣．C．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）D．[選修45：不等式選講]（本小題滿分10分）已知≥＞0，求證：≥。出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）如圖，在直三棱柱中，AB⊥AC，AB=AC=2，=4，點D是BC的中點。（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值。23．（本小題滿分10分）設(shè)數(shù)列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，，…即當(dāng)時，。記。對于，定義集合=﹛|為的整數(shù)倍，且1≤≤}(1)求中元素個數(shù)；(2)求集合中元素個數(shù)。參考答案1．【答案】π【解析】T＝|eq\f(2π,ω)|＝|eq\f(2π,2)|＝π．2．【答案】5【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝QUOTE＝5．3．【答案】【解析】令：，得．4．【答案】8【解析】23＝8．5．【答案】3【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．【答案】2【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為：．方差為：．7．【答案】【解析】m取到奇數(shù)的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數(shù)的有1，3，5，7，9共5種情況，則都取到奇數(shù)的概率為．8．【答案】1：24【解析】三棱錐與三棱錐的相似比為1：2，故體積之比為1：8．又因三棱錐與三棱柱的體積之比為1：3．所以，三棱錐與三棱柱的體積之比為1：24．9．【答案】[—2，eq\f(1,2)]【解析】拋物線在處的切線易得為y＝2x—1，令z＝，y＝—eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)．畫出可行域如下，易得過點(0，—1)時，zmin＝—2，過點(eq\f(1,2)，0)時，zmax＝eq\f(1,2)．yyxOy＝2x—1y＝—eq\f(1,2)x10．【答案】eq\f(1,2)【解析】所以，，，eq\f(1,2)．11．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出()的圖像，如下圖所示。由于是定義在上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱做出x＜0的圖像。不等式，表示函數(shù)y＝的圖像在y＝x的上方，觀察圖像易得：解集為(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。xxyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)yxlBFOyxlBFOcba【解析】如圖，l：x＝，＝－c＝，由等面積得：＝。若，則＝，整理得：，兩邊同除以：，得：，解之得：＝，所以，離心率為：．13．【答案】1或【解析】14．【答案】12【解析】設(shè)正項等比數(shù)列首項為a1，公比為q，則：，得：a1＝eq\f(1,32)，q＝2，an＝26－n．記，．，則，化簡得：，當(dāng)時，．當(dāng)n＝12時，，當(dāng)n＝13時，，故nmax＝12．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，．（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－eq\f(1,2)．所以，α－β＝，α＝＋β，帶入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋eq\f(1,2)sinβ＝sin(＋β)＝1，所以，＋β＝．所以，α＝，β＝．16．證：（1）因為SA＝AB且AF⊥SB，所以F為SB的中點．又E，G分別為SA，SC的中點，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面．（2）因為平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，．17．xyAlO解：（1）聯(lián)立：，得圓心為：xyAlO設(shè)切線為：，d＝，得：．故所求切線為：．（2）設(shè)點M(x，y)，由，知：，化簡得：，即：點M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D．又因為點在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．CBADMN解之得：0≤a≤eq\f(12,5)CBADMN18．解：（1）如圖作BD⊥CA于點D，設(shè)BD＝20k，則DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達點M，此時甲到達N點，如圖所示．則：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，其中0≤x≤8，當(dāng)x＝eq\f(35,37)(min)時，MN最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用時：eq\f(1260,50)＝eq\f(126,5)(min)．若甲等乙3分鐘，則乙到C用時：eq\f(126,5)＋3＝eq\f(141,5)(min)，在BC上用時：eq\f(86,5)(min)．此時乙的速度最小，且為：500÷eq\f(86,5)＝eq\f(1250,43)m/min．若乙等甲3分鐘，則乙到C用時：eq\f(126,5)－3＝eq\f(111,5)(min)，在BC上用時：eq\f(56,5)(min)．此時乙的速度最大，且為：500÷eq\f(56,5)＝eq\f(625,14)m/min．故乙步行的速度應(yīng)控制在[eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)]范圍內(nèi)．19．證：（1）若，則，，．當(dāng)成等比數(shù)列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2），．(※)若是等差數(shù)列，則型．觀察(※)式后一項，分子冪低于分母冪，故有：，即，而≠0，故．經(jīng)檢驗，當(dāng)時是等差數(shù)列．20．解：（1）≤0在上恒成立，則≥，．故：≥1．，若1≤≤e，則≥0在上恒成立，此時，在上是單調(diào)增函數(shù)，無最小值，不合；若＞e，則在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，，滿足．故的取值范圍為：＞e．（2）≥0在上恒成立，則≤ex，故：≤eq\f(1,e)．．(ⅰ)若0＜≤eq\f(1,e)，令＞0得增區(qū)間為(0，eq\f(1,a))；令＜0得減區(qū)間為(eq\f(1,a)，﹢∞)．當(dāng)x→0時，f(x)→﹣∞；當(dāng)x→﹢∞時，f(x)→﹣∞；當(dāng)x＝eq\f(1,a)時，f(eq\f(1,a))＝﹣lna－1≥