第7章數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)表示7.1FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)7.2FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)7.3濾波器結(jié)構(gòu)的MATLAB實現(xiàn)習題

數(shù)字濾波器在工程實現(xiàn)中主要考慮的問題有：

(1)實現(xiàn)的難易程度。在本章的學習中我們看到，對同一個數(shù)字濾波器可以有多種算法結(jié)構(gòu)或網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，采用不同的算法結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)實際中所得的結(jié)果會有一定的差別，同時對存儲單元的要求、計算的復雜性以及實現(xiàn)濾波的速度也存在差別。這里的復雜性主要指乘法、加法以及存儲的次數(shù)等。

(2)計算誤差及其穩(wěn)定性。計算誤差主要來自有限字長效應，不同的算法結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的誤差和穩(wěn)定性是不同的，因此在算法結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的選擇上要盡可能用最小的字長爭取最大的精度并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

三種基本運算單元的方框圖和信號流圖如圖7-1所示。圖7-1基本運算單元的方框圖和信號流圖

7.1FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

IIR濾波器的單位脈沖響應h(n)無限長，系統(tǒng)函數(shù)H(z)在z平面上存在極點，因而是遞歸結(jié)構(gòu)。實現(xiàn)IIR濾波器的常用結(jié)構(gòu)為直接型、級聯(lián)型7.1.1直接型結(jié)構(gòu)

IIR數(shù)字濾波器的直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)可以根據(jù)差分方程(7-1)直接畫出(M≤N)，如圖7-2所示。

圖7-2Ｎ階IIR數(shù)字濾波器的直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)

圖7-3交換圖7-2中前后兩部分的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)

顯然，圖7-3中的節(jié)點w1′=w2′，所以可以將這兩個節(jié)點合并，不影響系統(tǒng)的運算結(jié)果，如圖7-4所示，這類網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)稱為直接Ⅱ型。

比較直接Ⅰ型和直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)可以看出，直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)需要N+M個單位延時器，而直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)需要的延時器數(shù)目為N個。

圖7-4合并節(jié)點后的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)

直接型結(jié)構(gòu)簡單直觀，需要的單位延時器數(shù)量少，但是，改變某一個系數(shù){ai}或{bj}，將影響系統(tǒng)所有的極點或零點，這種結(jié)構(gòu)對有限字長效應敏感，容易使極點的位置移到單位圓外出現(xiàn)不穩(wěn)定，并產(chǎn)生較大的誤差。對于三階以上的IIR濾波器，幾乎不采用直接型結(jié)構(gòu)。

7.1.2級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

將式(7-2)的分子分母因式分解為一階或二階實系數(shù)多項式的乘積形式，同時將一階多項式看做二階的特殊形式，即二次項系數(shù)為0，可將式(7-2)寫成如下的形式：

圖７５直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

7.1.3并聯(lián)型結(jié)構(gòu)

將系統(tǒng)函數(shù)H(z)的表達式式(7-2)展開成部分分式之和，即

式中，均為實數(shù)，一般采用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。

根據(jù)式(7-9)，可以得到數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如圖7-6所示。

圖7-6

IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)

例7-1設三階IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下，畫出該系統(tǒng)的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

解首先將H(z)寫成z-1的多項式標準形式

(1)直接Ⅱ型。根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)可直接畫出該系統(tǒng)的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，如圖7-7所示。圖7-7例7-1１的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)

(２)級聯(lián)型。將

H(z)的分子、分母進行因式分解得

一般來說，把階數(shù)相同的零極點放在同一子網(wǎng)絡中，可減少單位延遲的數(shù)目。畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖7-8所示。

由圖7-8可見，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)調(diào)整零、極點比較方便。

圖7-8例7-1的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

(3)并聯(lián)型。首先將H(z)進行部分分式展開

求出A=16，B=-18.6，C=5.6，D＝-1.2，故系統(tǒng)函數(shù)可表示為

系統(tǒng)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖7-9所示。

圖7-9例7-1的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)

FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)為有限長，系統(tǒng)函數(shù)H(z)在z平面上沒有非零極點，屬于非遞歸結(jié)構(gòu)。N-1階FIR濾波器的差分方程為

7.2FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

對應的系統(tǒng)函數(shù)為

若FIR濾波器的單位脈沖響應為h(n)(0≤n≤N-1)，則系統(tǒng)輸出為

比較式(7-10)和式(7-12)可以看出，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應就是濾波器的系數(shù)。

FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)主要有卷積型結(jié)構(gòu)(直接型)和線性相位結(jié)構(gòu)。

7.2.1卷積型結(jié)構(gòu)

卷積型也稱直接型，根據(jù)式(7-12)可以直接畫出FIR濾波器的卷積型結(jié)構(gòu)，如圖7-10所示。

由圖7-10可見，長度為N(N-1階)的卷積型結(jié)構(gòu)，需要N-1個延時單元，N個乘法器和N-1個加法器。

7.2.2

FIR濾波器線性相位結(jié)構(gòu)

線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應具有如下對稱性，即

圖7-11

FIR濾波器線性相位結(jié)構(gòu)

圖7-13例7-3線性相位結(jié)構(gòu)

7.3濾波器結(jié)構(gòu)的MATLAB實現(xiàn)

將IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示成各種不同結(jié)構(gòu)類型如下所示。

直接型

1.[r，p，k]=residuez(b，a)

該命令將直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為單極點部分分式形式，b、a分別為直接型結(jié)構(gòu)的分子分母多項式系數(shù)向量。注意：a0=1。輸出結(jié)果中r，p，k分別為分子系數(shù){rj}、極點{pj}和高階項系數(shù){kj}(直接型中M≥N時才有這部分)。

2.[b，a]=residuez(r，p，k)

該命令將單極點部分分式轉(zhuǎn)換為直接型結(jié)構(gòu)，命令中的b，a，r，p，k同上。

3.sos=tf2sos(b，a)

該命令將直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，b、a分別為直接型的分子分母多項式系數(shù)向量；sos為L×6的矩陣，其中每一行中前三個數(shù)是某一個二階系統(tǒng)的分子系數(shù)，后三個數(shù)是該二階系統(tǒng)的分母系數(shù)，

即

4.[b，a]=sos2th(sos)

該命令將級聯(lián)型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為直接型結(jié)構(gòu)，命令中的b、a、sos與上述命令相同。

MATLAB沒有提供直接型結(jié)構(gòu)與并聯(lián)型結(jié)構(gòu)相互轉(zhuǎn)換的命令，要實現(xiàn)直接型結(jié)構(gòu)到并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，可以按如下方法實現(xiàn)：

(1)利用[r，p，k]=residuez(b，a)將直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為單階極點的部分分式形式；

(2)利用[b，a]=residuez(r，p，k)將復數(shù)極點合并成直接型結(jié)構(gòu)，命令中r，p分別為兩個共軛成對的復數(shù)，k取0。

習題

題7-