吉林省延邊市長白山第一高級中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的一個方向向量是（）．A． B． C． D．2．《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求：重點任務(wù)必須排在前三位，且任務(wù)、必須排在一起，則這六項任務(wù)的不同安排方案共有（）A．240種 B．188種 C．156種 D．120種3．以下四個命題中，真命題的是（）A．B．“對任意的”的否定是“存在”C．，函數(shù)都不是偶函數(shù)D．中，“”是“”的充要條件4．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A． B．C． D．5．已知函數(shù)的圖象如圖，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A． B．C． D．6．若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-47．若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為,則該圓錐的體積為A． B． C． D．8．已知函數(shù)的最小正周期為4π，則（

）A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱 B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)f（x）圖象上的所有點向右平移個單位長度后，所得的圖象關(guān)于原點對稱 D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增9．已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為()A． B． C． D．110．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知，，那么等于（）A． B． C． D．12．甲、乙等人在南沙聚會后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）．A．種 B．種 C．種 D．種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．右圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為_____________.14．一個長方體共一項點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是____________.15．現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件一等品，4件二等品，從中隨機選出3件產(chǎn)品，恰有1件一等品的概率為________.16．已知函數(shù)的值域為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.18．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與軸相交于點，與曲線相交于點，且（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點，求證點的縱坐標為定值.19．（12分）已知橢圓（）的左右焦點為、，右頂點為，上頂點為，且.（1）求直線的方向方量；（2）若是橢圓上的任意一點，求的最大值；（3）過作的平行線交橢圓于、兩點，若，求橢圓的方程.20．（12分）中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對國防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準化應(yīng)用也越來越廣泛.據(jù)統(tǒng)計，2016年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達到2118億元，較2015年約增長.下面是40個城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于500萬元的城市個數(shù)；（2）在上述抽取的40個城市中任取2個，設(shè)為產(chǎn)值不超過500萬元的城市個數(shù)，求的分布列及期望和方差.21．（12分）已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程.(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程.22．（10分）如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,且過點.設(shè)為橢圓的右焦點,為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,連結(jié)并延長,分別交橢圓于兩點.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)直線的斜率分別為,是否存在實數(shù),使得?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先求得直線的斜率，由此求得直線的方向向量.【題目詳解】直線的斜率為，故其方向向量為.故選：D【題目點撥】本小題主要考查直線的方向向量的求法，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】當E,F排在前三位時，=24,當E,F排后三位時，=72，當E,F排3，4位時，=24，N=120種，選D.3、D【解題分析】

解：A．若sinx＝tanx，則sinx＝tanx，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，則1，即cosx＝1，∵x∈（0，π），∴cosx＝1不成立，故?x∈（0，π），使sinx＝tanx錯誤，故A錯誤，B．“對任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1≤0”，故B錯誤，C．當θ時，f（x）＝sin（2x+θ）＝sin（2x）＝cos2x為偶函數(shù)，故C錯誤，D．在△ABC中，C，則A+B，則由sinA+sinB＝sin（B）+sin（A）＝cosB+cosA，則必要性成立；∵sinA+sinB＝cosA+cosB，∴sinA﹣cosA＝cosB﹣sinB，兩邊平方得sin2A﹣2sinAcosA+cos2A＝sin2B﹣2sinBcosB+cos2B，∴1﹣2sinAcosA＝1﹣2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，則2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B，當A＝B時，sinA+sinB＝cosA+cosB等價為2sinA＝2cosA，∴tanA＝1，即A＝B，此時C，綜上恒有C，即充分性成立，綜上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C”的充要條件，故D正確，故選D．考點：全稱命題的否定，充要條件等4、D【解題分析】

由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).5、D【解題分析】

由題意，分析、、所表示的幾何意義，結(jié)合圖形分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示函數(shù)在處切線的斜率，表示函數(shù)在處切線的斜率，，為點和點連線的斜率，結(jié)合圖象可得：，故選：D．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及直線的斜率比較，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】由題設(shè)可得，令可得，所以，則，應(yīng)選答案D．7、B【解題分析】

先設(shè)底面半徑，然后根據(jù)側(cè)面積計算出半徑，即可求解圓錐體積.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長；又側(cè)面積，所以，所以，故選：B.【題目點撥】本題考查圓錐的側(cè)面積公式應(yīng)用以及體積的求解，難度一般.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是底面圓的半徑，是圓錐的母線長.8、C【解題分析】分析：函數(shù)的最小正周期為4π，求出，可得的解析式，對各選項進行判斷即可.詳解：函數(shù)的最小正周期為4π，，，，由對稱中心橫坐標方程：，可得，A不正確；由對稱軸方程：，可得，B不正確；函數(shù)f（x）圖象上的所有點向右平移個單位，可得：，圖象關(guān)于原點對稱，C正確；令，可得：，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上不是單調(diào)遞增，D不正確；故選C.點睛：本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，注意圖象變換時的伸縮、平移總是針對自變量x而言，而不是看角ωx＋φ的變化．9、D【解題分析】

令y=，從而求導(dǎo)y′=以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【題目詳解】令y=，則y′=，故當x∈（0，e）時，y′＞0，y=是增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，y′＞0，y=是減函數(shù)；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結(jié)合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設(shè)方程的兩個根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個根t1，t2一正一負；不妨設(shè)t1＜0＜t2，結(jié)合y=的性質(zhì)可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用．10、D【解題分析】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第四象限，選D.11、B【解題分析】

根據(jù)條件概率公式得出可計算出結(jié)果.【題目詳解】由條件概率公式得，故選B.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，利用條件概率公式進行計算是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】由題意利用捆綁法求解，甲、乙兩人必須相鄰的方法數(shù)為種．選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9.【解題分析】分析：計算正方形二維碼的面積，利用面積比等于對應(yīng)的點數(shù)比求得黑色部分的面積.詳解：邊長為4的正方形二維碼面積為，設(shè)圖中黑色部分的面積為S，則，解得.據(jù)此估計黑色部分的面積為9.故答案為：9.點睛：本題考查了用模擬實驗的方法估計概率的應(yīng)用計算問題，是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由長方體對角線與棱長的關(guān)系計算．【題目詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，解得，∴對角線長．故答案為．【題目點撥】本題考查求長方體的對角線長，設(shè)長方體棱長分別為，則對角線長．15、【解題分析】

利用古典概型的概率計算公式計算即可.【題目詳解】從10件產(chǎn)品中任取3件共有種不同取法，其中恰有1件一等品共有種不同取法，由古典概型的概率計算公式知，從中隨機選出3件產(chǎn)品，恰有1件一等品的概率為.故答案為：【題目點撥】本題考查古典概型的概率計算，考查學生的運算能力，是一道基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由的值域為，，可得，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求．【題目詳解】由的值域為，，可得，，，，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，可知及是的根，且，把代入可得，，解可得，或，當時，可得，當時，代入可得不符合題意，故，故答案為：．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解題分析】

解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件(i＝0,1,2,3,4)，則（Ⅰ）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率（Ⅱ）設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則，由于與互斥，故所以，這4個人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0,2,4.由于與互斥，與互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ

0

2

4

P

隨機變量ξ的數(shù)學期望考點：1.離散型隨機變量的期望與方差；2.相互獨立事件的概率乘法公式；3.離散型隨機變量及其分布列．18、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線定義得，再根據(jù)點N坐標列方程，解得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再根據(jù)切線方程解得A點縱坐標，最后利用直線與方程聯(lián)立方程組，借助韋達定理化簡的縱坐標.【題目詳解】解：（1）由已知拋物線的焦點，由，得，即因為點，所以，所以拋物線方程：（2）拋物線的焦點為設(shè)過拋物線的焦點的直線為．設(shè)直線與拋物線的交點分別為，由消去得：,根據(jù)韋達定理得拋物線,即二次函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得，所以拋物線在點處的切線斜率為可得切線方程為，化簡得，同理，得到拋物線在點處切線方程為，兩方程消去，得兩切線交點縱坐標滿足,，，即點的縱坐標是定值．【題目點撥】本題考查拋物線方程、拋物線切線方程以后利用韋達定理求值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、（1）或；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意可得，，即直線的方向方量可以為或．（2）在中，設(shè),，即可求解．（3）設(shè)橢圓方程為，直線的方程為，利用韋達定理、弦長公式計算．【題目詳解】（1），，右頂點，上頂點，則，直線的方向方量為或．（2）在中，設(shè)，則當且僅當時，即為上（或下）頂點時，的最大值，最大值為.（3）設(shè)橢圓方程為，，直線的方程為，由可得，，，解得，，橢圓方程為【題目點撥】本題考查的知識點比較多，橢圓方程、方向向量、余弦定理、基本不等式、弦長公式等，綜合性比較強，需熟記公式；同時本題也需有一定的計算能力.20、(1)1；(2)答案見解析.【解題分析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，能求出產(chǎn)值小于500萬元的城市個數(shù)；（2）由Y的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列及期望和方差.詳解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知