2021-2022學(xué)年下學(xué)期天津初中數(shù)學(xué)八年級期中典型試卷1

一.選擇題（共12小題）

1.（2021春?南開區(qū)期中）在△ABC中，NA,NB、/C的對應(yīng)邊分別是〃、b、c,若NC

=90°,則下列等式中成立的是（）

A./+〃2=02B.Z?2+c2=tz2C.^2+c2=/?2D.b1-a2=c2

2.（2021?陽新縣校級模擬）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）

x-2

A.x20B.xN2C.x20且xW2D.0WxW2

3.（2021春?宣城期末）下列各組數(shù)中，以〃、〃、c為邊的三角形不是直角三角形的是（）

A.1、b=2、c=^3B.6f=1.5>6=2、c=3

C.a=6、/?=8、c=10D.。=3、b=4、c=5

4.（2021春?柳南區(qū)期末）下面計(jì)算正確的是（）

A.4+日=4?B.揚(yáng).遍=3C.止如=娓D.蟲=±2

5.（2021春?會昌縣期末）由于臺風(fēng)的影響，一棵樹在離地面6口處折斷，樹頂落在離樹干

底部8加處，則這棵樹在折斷前（不包括樹根）長度是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

7.（2021春?河西區(qū)期中）己知J荻是整數(shù)，正整數(shù)〃的最小值為（）

A.96B.6C.24D.2

8.（2021春?河西區(qū)期中）如圖，在口458中，已知CEJ_43,垂足為￡如果NA=100°,

則N8CE的度數(shù)是（）

A.80°B.100°C.90°D.10°

9.（2012?南通）如圖，矩形ABC。的對角線4c=8c/n,乙4?！?gt;=120°,則AB的長為（)

A.yf2cmB.2cmC.D.4cm

10.（2015?衢州）如圖，已知某廣場菱形花壇A8CZ）的周長是24米，ZBAD=60°,則花

壇對角線AC的長等于（）

A.6析米B.6米C.3立米D.3米

11.（2021春?南開區(qū)期中）如圖，在RlZxABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,按圖中所

示方法將△BCD沿8。折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)C'處，則點(diǎn)。到AB的距離（）

B

A.3B.4C.5D.基

5

12.（2021春?南開區(qū)期中）在如圖的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,A、B、C三點(diǎn)均

在正方形格點(diǎn)上，若是△A8C的高，則AO的長為（）

A.273B.V5C.V3D.2

二.填空題（共4小題）

13.（2021?武漢模擬）化簡二次根式揚(yáng)的結(jié)果是.

14.（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）若一個(gè)直角三角形的其中兩條邊長分別為6和8,則第三

邊長為.

15.（2021春?津南區(qū)期中）油箱中有油30依，油從管道中勻速流出，歷流完，則油箱中剩

余油量。（kg）與流出時(shí)間/（相加）之間的函數(shù)關(guān)系式是；自變量，的取值范圍

是.

16.（2021春?津南區(qū)期中）如圖，在菱形ABCC中，對角線AC、BD交于點(diǎn)、O,若BD=1,

AC=4,則菱形ABC。的面積為.

三.解答題（共9小題）

17.（2021春?河西區(qū)期中）計(jì)算：

⑴2阮-唔

（2）（4+V7）（4-V7）.

18.（2021春?河西區(qū)期中）已知求x-2的值.

XX

19.（2017?沂水縣一模）計(jì)算：（3萬-2虐+日§）+2蟲.

20.（2021秋?槐蔭區(qū)期中）如圖，已知在△4BC中，CDL4B于。，AC=8,BC=5,DB

=3.

（1）求QC的長；

21.（2021春?南開區(qū)期中）如圖，正方形A8CQ和正方形CEFG,點(diǎn)G在C￡＞上，AB=5,

CE=2,7為Af'的中點(diǎn)，求CT的長.

22.（2021春?南開區(qū)期中）如圖，在Rt/XABC中，N54C=90°,AH=6,AC=8,P為邊

BC上一動(dòng)點(diǎn)，于E,PF±ACF,M為EF的中點(diǎn)，求AM的最小值.

23.（2021春?津南區(qū)期中）如圖，矩形A8CO的對角線AC、加＞相交于點(diǎn)O,AB=5cm,

/BOC=120°,求矩形對角線的長.

24.（2012?聊城）如圖，矩形A3CZ）的對角線相交于點(diǎn)O,DE//AC,CE//BD.

NABC=90°,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂

直平分線E尸分別交AO、BC于點(diǎn)、E、F,垂足為O.

（1）如圖I,連接AF、CE.求證：四邊形AFCE為菱形.

(2)如圖1,求AF的長.

(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和各邊勻速運(yùn)動(dòng)

一周.即點(diǎn)尸自A-F-BfA停止，點(diǎn)。自CfO-E-C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)尸的

速度為每秒1cm,點(diǎn)。的速度為每秒0.8C7",設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，若當(dāng)以A、P、C、Q四

點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求f的值.

2021-2022學(xué)年下學(xué)期天津初中數(shù)學(xué)八年級期中典型試卷1

參考答案與試題解析

選擇題（共12小題）

1.（2021春?南開區(qū)期中）在aABC中，/A,NB、/C的對應(yīng)邊分別是a、b、c,若/C

=90°,則下列等式中成立的是（）

A.（T+b2—^B.y+°2=/c.tz2+c2=/?2D.Z?2-a2=c2

【考點(diǎn)】勾股定理.

【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可.

【解答】解：?；NC=90°,NA,NB、NC的對應(yīng)邊分別是a、b、c,

.'.c^+b2—^.故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，掌握在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方

之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?陽新縣校級模擬）在函數(shù)y=±2&中，自變量x的取值范圍是（）

x-2

A.x20B.x￥2C.x》0且xr2D.0<xW2

【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍.

【專題】二次根式；數(shù)感.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,就可

以求解.

【解答】解：根據(jù)二次根式的意義可知：x^O.

根據(jù)分式的意義可知：x-2^0,即xW2.

；.x與0且x#2.

故選：C.

【點(diǎn)評】主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定和分式的意義.函數(shù)自變量的范圍一

般從三個(gè)方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；

（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

3.（2021春?宣城期末）下列各組數(shù)中，以a、b、c為邊的三角形不是直角三角形的是（）

A.a=l、b=2、c=B.a=1.5、Z?=2、c—3

C.4=6、b=8、c=10D.“=3、人=4、c=5

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.

【專題】幾何圖形.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么

這個(gè)是直角三角形判定則可.如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形.

【解答】解：A、???i+jy=22,.?.該三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

8、???1.52+22#32,.?.該三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、???62+82=1（）2,.?.該三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、：32+42=52,.?.該三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所

給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)

系，進(jìn)而作出判斷.

4.（2021春?柳南區(qū)期末）下面計(jì)算正確的是（）

A.4+73=473B.揚(yáng)+遍=3C.V2-V3=V5D.蟲=±2

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】利用二次根式的加減法對A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對B進(jìn)行判斷;

根據(jù)二次根式的乘法法則對C進(jìn)行判斷：根據(jù)二次根式的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、4與我不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、原式=收入5=3,所以5選項(xiàng)的計(jì)算正確：

C、原式=[2x3=所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、原式=2,所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特

點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

5.（2021春?會昌縣期末）由于臺風(fēng)的影響，一棵樹在離地面6,“處折斷，樹頂落在離樹干

底部8"?處，則這棵樹在折斷前（不包括樹根）長度是（)

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】應(yīng)用題.

【分析】根據(jù)大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答】解：由題意得3c=8m，AC=6/n,

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：48=再分=10米.

所以大樹的高度是10+6=16米.

【點(diǎn)評】熟練運(yùn)用勾股定理.熟記6,8,10是勾股數(shù)，簡便計(jì)算.

6.（2018?南通）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.

【專題】幾何圖形.

【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么

這個(gè)三角形就是直角三角形.最長邊所對的角為直角.由此判定即可.

【解答】解：A、?.?32+42=52,.?.三條線段能組成直角三角形，故A選項(xiàng)正確；

8、???22+32^42,.?.三條線段不能組成直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、42+62^72,.?.三條線段不能組成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、?.?52+1在#%?，.?.三條線段不能組成直角三角形，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角

形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可，注意數(shù)據(jù)的計(jì)算.

7.（2021春?河西區(qū)期中）已知J荻是整數(shù)，正整數(shù)〃的最小值為（)

A.96B.6C.24D.2

【考點(diǎn)】二次根式的定義.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)96=42義6〃，若J4是整數(shù)，則96”一定是一個(gè)完全平方數(shù)，即可求解.

【解答】解：96=42X6〃，則J詬是整數(shù)，

則正整數(shù)〃的最小值6.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的化簡，理解百金是整數(shù)的條件是解決本題的關(guān)鍵.

8.（2021春?河西區(qū)期中）如圖，在。ABCD中，已知CEJ_AB,垂足為E.如果乙4=100°,

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀；推理能力.

【分析】由平行四邊形對邊平行得出/B=80°,再由CEL4B知/AEC=90°,根據(jù)/

BCE=ZAEC-NB可得答案.

【解答】解：???四邊形ABCZ）是平行四邊形，

：.AD//BC,

,.?/4=100°,

.?./8=80°,

■：CELAB,即NAEC=90°,

；.NBCE=NAEC-NB=10°,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角

形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn).

9.（2012?南通）如圖，矩形A8CD的對角線AC=8a”，NAOZ）=120°,則A8的長為（)

AD

A.B.2cmC.D.4cm

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得A0=B0=」4C,再根據(jù)鄰角互補(bǔ)求出

2

/A02的度數(shù)，然后得到△AOB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解.

【解答】解：在矩形ABCZ）中，AO=BO=XAC=4cm,

2

"：ZAOD=no0,

；./4。8=180°-120°=60°,

.?.△AOB是等邊三角形，

.\AB=AO=4cm.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，判定出△408是等邊三角

形是解題的關(guān)鍵.

10.（2015?衢州）如圖，已知某廣場菱形花壇A8CZ）的周長是24米，NBA￡>=60°,則花

壇對角線AC的長等于（）

A.6“米B.6米C.3?米D.3米

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

【專題】應(yīng)用題.

【分析】由四邊形ABC。為菱形，得到四條邊相等，對角線垂直且互相平分，根據(jù)NBA。

=60°得到三角形ABO為等邊三角形，在直角三角形AB。中，利用勾股定理求出OA

的長，即可確定出AC的長.

【解答】解：?..四邊形ABC￡>為菱形，

J.ACVBD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24^4=6（米），

VZBAD=60°,

J△ABO為等邊三角形，

ABD=AB=6（米），OD=OB=3（米），

在RtZiAOB中，根據(jù)勾股定理得：0A=\62_呼=3如（米）,

則AC=2O4=W^米，

故選:A.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

11.（2021春?南開區(qū)期中）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,按圖中所

示方法將△88沿3。折疊，使點(diǎn)C落在邊AB匕的點(diǎn)C'處，則點(diǎn)。到AB的距離（）

A.3B.4C.5D.理

5

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；點(diǎn)到直線的距離.

【專題】操作型；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識.

【分析】由將△BCQ沿80折疊，使點(diǎn)C落在邊A8上的點(diǎn)C'處，先求出AC長度，再

設(shè)CO=CD=x,RtZ\AC￡＞中用勾股定理列方程，即可得到答案.

【解答】解：；/C=90°,AC=8,BC=6,

?"-AB=VAC2+BC2=10,

?.,將△BCD沿B。折疊，使點(diǎn)C落在邊48上的點(diǎn)C'處，

：.BC=BC=6,NBCD=NC=90°,CD=CD,

；.AC=AB-8c=4,ZACD=90°,

設(shè)C￡>=CO=x,則4￡>=AC-CD=8-x,

□△ACT）中，AC2+CD2=AD2,

：.42+^—（8-x）2,解得x=3,

：.CD=3,

VZBCD=90°,

點(diǎn)D到AB的距離為CD=3.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是在RtZXAC。中，用勾股定理

列方程.

12.（2021春?南開區(qū)期中）在如圖的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,A、B、C三點(diǎn)均

在正方形格點(diǎn)上，若AZ）是AABC的高，則A。的長為（）

A.273B.V5C.V3D.2

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力.

【分析】利用勾股定理求出AB、AC、BC的長的平方，再根據(jù)勾股定理判斷△ABC是直

角三角形，求出三角形面積，由同一三角形面積相等即可求出AD.

【解答】解：：AB2=22+42=4+16=20；

/1（^=22+12=4+1=5,

BC2=32+42=9+16=25,

:.BC2=AB2+AC2,

：.ZBAC=90a,

，SMAC=』ABX4C=^XV^X泥=5,

22

?.?同一三角形面積相等,

SABAC=28UAO=」X5XA￡>=5,

22

：.AD=2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理和同一三角形的面積相等，關(guān)鍵是判斷AABC是直角三角形.

二.填空題（共4小題）

13.（2021?武漢模擬）化簡二次根式揚(yáng)的結(jié)果是

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】計(jì)算題；二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】根號下的27可寫成：27=32X3,按照最簡二次根式的化簡法則計(jì)算即可.

【解答】解：N27=yj3之X

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式的性質(zhì)與化簡，屬于基礎(chǔ)知識的考查，比較簡單.

14.（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）若一個(gè)直角三角形的其中兩條邊長分別為6和8,則第三

邊長為10或2、萬.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】分類討論.

【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求

第三邊的長必須分類討論，即8是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：設(shè)第三邊為X,

（1）若8是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得，62+82=7解得：x=10,

（2）若8是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得，62+?=82,解得x=2聽.

故第三邊長為10或2聽.

故答案為：10或2行.

【點(diǎn)評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒有明確哪是斜

邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解.

15.（2021春?津南區(qū)期中）油箱中有油30起，油從管道中勻速流出，1〃流完，則油箱中剩

余油量Q（kg）與流出時(shí)間tlinin'）之間的函數(shù)關(guān)系式是。=30-0.5r；自變量f的

取值范圍是0WfW60.

【考點(diǎn)】函數(shù)關(guān)系式；函數(shù)自變量的取值范圍.

【分析】根據(jù)總油量減去剩余油量，可得函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)剩余油量為非負(fù)數(shù)，可得自

變量的取值范圍.

【解答】解：總油量減去剩余油量，得

Q=30-0.5Z；

剩余油量為非負(fù)數(shù)，得

30-0.5。。解得W60,

時(shí)間為非負(fù)數(shù)，得

即自變量f的取值范圍是0WfW60,

故答案為：Q=30-0.530W忘60.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，注意剩余油量為非負(fù)數(shù)，時(shí)間為非負(fù)數(shù)是確定自變量

取值范圍的關(guān)鍵.

16.（2021春?津南區(qū)期中）如圖，在菱形ABCC中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O,若8。=7,

AC=4,則菱形ABCD的面積為14.

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形.

【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線之積的一半可得答案.

【解答】'：BD=1,AC=4,

二菱形A8CC的面積為：AX4X7=14,

2

故答案為：14.

【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形面積=工力（。、。是兩條對角線

2

的長度）.

三.解答題（共9小題）

17.（2021春?河西區(qū)期中）計(jì)算:

⑴2V12+3^48;

（2）（4+77）（4-/7）.

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；

（2）利用平方差公式計(jì)算.

【解答】解：（1）原式

=14?；

（2）原式=16-7

=9.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行

二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈

活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

18.（2021春?河西區(qū)期中）已知求x-2的值.

XX

【考點(diǎn)】分式的化簡求值；完全平方公式.

【專題】整式；分式；運(yùn)算能力.

【分析】把x+2=6兩邊平方得出（x+工）2=7,求出/+工=5,再求出（X-1）2

2

xxxX

=7+」--2=3,再求出答案即可.

2

X

【解答】解：Vx+l=V7.

X

...（X+A）2=7,

X

X2+2?A+_L.=7,

Y2

Ax

??.7+」-=7-2=5,

2

x

（x-2）2=，+_JL-2?x」=5-2=3,

xx2x

-A.=±Vs-

X

【點(diǎn)評】本題考查了分式的混合運(yùn)算和完全平方公式，能正確根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變

形是解此題的關(guān)鍵.

19.（2017?沂水縣一模）計(jì)算：（3萬-21+?。?/p>

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【分析】首先化簡二次根式，進(jìn)而合并，再利用二次根式除法運(yùn)算法則求出答案.

【解答】解：（3萬-2患+腐）4-273

=（6加-a1+4?）4-273

_3

=2哂+2T

T-

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

20.（2021秋?槐蔭區(qū)期中）如圖，已知在△A8C中，C￡>_LA8于。，AC=8,BC=5,DB

—3.

（1）求0c的長；

（2）求AB的長.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】（1）在心△8CD中，根據(jù)勾股定理求出CO的長；

（2）在RtZVlC。中根據(jù)勾股定理求出A。的長，故可得出AB的長.

【解答】解：（1）于。，BC=5,DB=3,

.?.在RSCO中，CD2=CB2-DB1=51-32=16,

：.CD=4.

（2）在Rt^ACZ）中，ADr=AC2-CD2=82-42=48,

.?.A￡>=4?,

：.AB=AD+DB=4y/^-3.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方

之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

21.（2021春?南開區(qū)期中）如圖，正方形ABC。和正方形CEFG,點(diǎn)G在CZ）上，AB=5,

CE=2,T為AF的中點(diǎn)，求CT的長.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

【專題】矩形菱形正方形；應(yīng)用意識.

【分析】連接AC,CF,如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC=&,AB=5?,CF=^CE

=2或，NACQ=45°,NGCF=45°,則利用勾股定理得到AF=倔，然后根據(jù)直角

三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到C7的長.

【解答】解：連接AC、CF,如圖，

?..四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，

:.AC=4^\B=5a,CF=?CE=2&,ZACD=45°,ZGCF=45°,

AZACF=45°+45°=90°,

在RtZMC/中，AF=J（W^）2+（2&）2=倔,

??,T為AF的中點(diǎn)，

cr=AxF=2/^i,

22

；.CT的長為Y亙.

2

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形

的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、

平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).

22.（2021春?南開區(qū)期中）如圖，在RtZSABC中，NBAC=90°,AB=6,AC=8,P為邊

BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE_LAB于E,PF±ACF,M為EF的中點(diǎn)，求AM的最小值.

【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以得出ERAP互相平分，且EF=AP,根據(jù)垂線段最短的

性質(zhì)就可以得出AP_LBC時(shí)，AP的值最小，即4M的值最小，由勾股定理求出BC,根

據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可.

【解答】解：連接AP,如圖所示：

VZBAC=90Q,AB=6,AC=8,

：.BC=yJg2+g2=10,

'JPELAB,PFLAC,

，四邊形AFPE是矩形，

；.EF=AP,EF與AP互相平分，

是EF的中點(diǎn)，

二〃為4P的中點(diǎn)，

:.AM=1AP,

2

?.?AP_LBC時(shí)，AP最短，同樣A例也最短，

...當(dāng)AP_L8C時(shí)，"=研乂AC=旦）＜8=4.8,

BC10

.?.AP最短時(shí)，AP=4.8,

，當(dāng)AM最短時(shí)，AM=1AP=2A.

2

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短和直角三角形斜邊

上的中線性質(zhì)；由直角三角形的面積求出AP是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

23.（2021春?津南區(qū)期中）如圖，矩形ABCQ的對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，AB=5cm,

ZBOC=120°,求矩形對角線的長.

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出NABC=90°,AC=B。，OA=OC=1AC,OB=OD=XBD,

22

推出04=08,求出等邊三角形A08,求出0A=0B=AB=5,即可得出答案.

【解答】解：?.?/B0C=120°,

AZAOB=180°-120°=60°,

?.?四邊形ABC。是矩形，

AZABC=90°,AC=BD,OA=OC=Lc,OB=OD=LBD,

22

：.OA=OB,

VZAOB=60°,

.?.△AO3是等邊三角形，

：AB=5cm,

.\OA=OB=AB=5cm,

：.AC=2AO=\Ocm,BD=AC=10cm.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求

出OA、08的長，題目比較典型，是一道比較好的題目.

24.（20⑵聊城）如圖，矩形ABC。的對角線相交于點(diǎn)O,DE//AC,CE//BD.

求證：四邊形OCEO是菱形.

【考點(diǎn)】菱形的判定；矩形的性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】首先根據(jù)兩對邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCEO是平行四邊

形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD,即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定

出結(jié)論.

【解答】證明：'CDE//AC,CE//BD,

四邊形OCED是平行四邊形，

?.?四邊形A8C。是矩形，

：.OC=OD,

二四邊形OCED是菱形.

【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：①菱

形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角

線互相垂直的平行四邊形是菱形.

25.(2021春?婁底期末)已知，0ABe。中，ZABC=90",AB=4cm,BC=8an,AC的垂

(1)如圖1,連接4尸、CE.求證：四邊形A尸CE為菱形.

(2)如圖1,求AF的長.

(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)尸、。分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AF8和各邊勻速運(yùn)動(dòng)

一周.即點(diǎn)P自A-F-BfA停止，點(diǎn)。自C-O-EfC停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)尸的

速度為每秒lew,點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，若當(dāng)以A、P,C、。四

點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求/的值.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】綜合題；推理能力.

【分析】(1)先證明四邊形ABCZ)為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形

是菱形作出判定；

(2)根據(jù)勾股定理即可求AF的長；

(3)分情況討論可知，P點(diǎn)在8尸上，。點(diǎn)在即上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平

行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；

【解答】解：(1)???四邊形A2CD是矩形，

：.AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,NAEF=ZCFE.

尸垂直平分AC,

：.OA=OC.

在△AOE和△CO尸中，

，ZCAD=ZACB

-NAEF=/CFE，

OA=OC

.?.△AOE絲△COF(44S),

：.OE=OF(A4S).

"：OA=OC,

：.四邊形AFCE是平行四邊形，

'：EFLAC,

二四邊形AFCE為菱形.

(2)設(shè)菱形的邊長AF=CF=x。"，則BF=(8-x)cm,

在RtZsABF中，AB=4cm,由勾股定理，得

16+(8-x)2=7,

解得：x=5,

：.AF=5.

(3)由作圖可以知道，P點(diǎn)AF上時(shí)，。點(diǎn)C。上，此時(shí)A,C,P,Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成

平行四邊形；

同理P點(diǎn)AB上時(shí)，。點(diǎn)。E或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形.

只有當(dāng)尸點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在EO上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

.?.以A,C,P,。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

：.PC=QA,

???點(diǎn)P的速度為每秒1。"，點(diǎn)Q的速度為每秒0.8的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，

：.PC=t,2/1=12-0.8/,

：.t=\2-o.8r,

解得：r=22.

3

...以A,c,p,。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，r=22秒.

3

圖1

【點(diǎn)評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的判定及性質(zhì)的運(yùn)

用，勾股定理的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)分析清楚動(dòng)點(diǎn)在不同的

位置所構(gòu)成的圖形的形狀是解答本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.完全平方公式

(1)完全平方公式：(a+Z>)2=a2±2at+Z>2.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

(2)完全平方公式有以下幾個(gè)特征：①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；②右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，

其中首末兩項(xiàng)分別是兩項(xiàng)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍；其符號與左邊的運(yùn)算

符號相同.

(3)應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：①公式中的a,〃可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；②對

形如兩數(shù)和(或差)的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；③對于三項(xiàng)的可以把其中的兩項(xiàng)看

做一項(xiàng)后，也可以用完全平方公式.

2.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注

意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時(shí)需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時(shí)不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式=

2.代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

3.二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如?(。》0)的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②〃(〃20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

二次板>

學(xué)習(xí)要求：

理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個(gè)式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式

的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍.

4.二次根式的性質(zhì)與化簡

（1）二次根式的基本性質(zhì)：

①1>0；心0（雙重非負(fù)性）.

②（C）2=“（a20）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）.

a（a>0）

③J==|a|=10（a=0）（算術(shù)平方根的意義）

|-a（a<0）

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

Vab=Va,Vb（心心。）苧=卓（啟0,6>0）

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被

開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一

個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果.

（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式.

5.二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次

根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多

項(xiàng)式“?

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)

的解題途徑，往往能事半功倍.

6.函數(shù)關(guān)系式

用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關(guān)系式.

注意：

①函數(shù)解析式是等式.

②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個(gè)字母表示自變

量的函數(shù).

③函數(shù)的解析式在書寫時(shí)有順序性，例如，y=x+9時(shí)表示y是x的函數(shù)，若寫成x=-y+9

就表示x是y的函數(shù).

7.函數(shù)自變量的取值范圍

自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達(dá)式都有意義.

①當(dāng)表達(dá)式的分母不含有自變量時(shí)，自變量取全體實(shí)數(shù).例如y=2x+13中的x.

②當(dāng)表達(dá)式的分母中含有自變量時(shí)，自變量取值要使分母不為零.例如y=x+2x-1.

③當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式是偶次根式時(shí)，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零.

④對于實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問

題有意義.

8.垂線段最短

（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段.

（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短.它是相

對于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言.

（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線

段最短”這兩個(gè)中去選擇.

9.點(diǎn)到直線的距離

（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.

（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段.它

只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形.

10.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，

它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形,

同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成

含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形

等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，?/p>

般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角

形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定.

11.直角三角形斜邊上的中線

（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜

邊的中點(diǎn)）

（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條

邊為斜邊的直角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

12.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是mh,斜邊長為c,那么/+M=c2.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理