顏色是光的波粒二象性在復(fù)頻域的映射龐也馳，龐多益中國(guó)印刷科學(xué)技術(shù)研究所摘要本文從光的電磁波諧波時(shí)域函數(shù)及光子動(dòng)量公式出發(fā)，推導(dǎo)出光色映射復(fù)頻譜顏色表達(dá)式(二維平面函數(shù))。通過(guò)公式得出，矢徑與光的量子數(shù)多少有關(guān)，位相角與光的頻率有關(guān)。通過(guò)分光光度計(jì)測(cè)量出色光的反(透)射率，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到復(fù)頻譜矢端函數(shù)，在二維復(fù)平面上對(duì)矢端函數(shù)積分整合，給出表征顏色性能的色相、色彩強(qiáng)度、亮度、色彩飽和度及主波長(zhǎng)等顏色特征數(shù)值，從而為進(jìn)一步對(duì)顏色進(jìn)行解析打下基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：光顏色電磁波量子復(fù)頻譜Coloristhelightwave-particledualitymappinginthecomplexfrequencydomainpangyechipangduoyiABSTRACTThispaperdeducedaComplexFrequencySpectrum(CFS)function(planarfunction)ofcolor-lightmappingfromtime-domainfunctionofthephoticelectromagneticwaveharmonic.Theconclusionisthatradiusvectorscorrelatedwithlightquantumquantityandphasecorrelatedwithfrequencyoflight.Reflectivity(ortransmittivity)mustbemeasuredbyspectrophotometer,andthencalculatetheCFSphasefunction.Integratethephasefunctiononatwodimensionalcomplexplane,attributesofcolorlikehue,colorintension,lightness,saturationanddominantwavelengthetc.Thereby,constructafoundationforthefurtheranalysisofcolor.Keywords:Light;Color;Electromagneticwave;Quantum;ComplexFrequencySpectrum0引言17世紀(jì)中期，英國(guó)科學(xué)家牛頓曾在他的《光學(xué)》一書中提出：“對(duì)于光線，嚴(yán)格說(shuō)是沒(méi)有顏色的。它不過(guò)是具有一定能量和能激起這樣或那樣的顏色感覺(jué)而已”[1。]牛頓認(rèn)為光線是具有能量粒子的射線流，即射線(Rays)。19世紀(jì)初英國(guó)科學(xué)家楊及其后來(lái)德國(guó)科學(xué)家赫姆霍爾茲提出了光的三原色說(shuō)。到20世紀(jì)20年代，萊特和吉爾德等多位科學(xué)家分別用紅綠藍(lán)三色光通過(guò)大量人眼視覺(jué)匹配實(shí)驗(yàn)，證明了自然界的任何顏色都可以用紅綠藍(lán)三基色光匹配出來(lái)。在此基礎(chǔ)上國(guó)際照明委員會(huì)（CIE）制定出“CIE1931標(biāo)準(zhǔn)色度觀察者三刺激值”的顏色匹配函數(shù)，奠定了今天的色度學(xué)基礎(chǔ)?，F(xiàn)代色度學(xué)理論把顏色看做是由光刺激視覺(jué)系統(tǒng)產(chǎn)生的感覺(jué)，因而把顏色納入人的視覺(jué)心理范疇。本文主要討論顏色與光之間內(nèi)在的物理聯(lián)系，即用光的波動(dòng)性和粒子性印證顏色的物理特性及復(fù)頻譜色度表達(dá)式Z=rei）⑵。顏色學(xué)說(shuō)的發(fā)展歷程人的視覺(jué)是與生俱來(lái)的，一個(gè)具有正常視覺(jué)的人，都有顏色視覺(jué)。也許對(duì)于人來(lái)說(shuō)，外界萬(wàn)紫千紅的顏色被看成是自然天成的，反而忽略了從人自身探索顏色的奧秘。但是，我們還是要感謝歷史上的先哲們，他們用智慧奠定了今天的顏色科學(xué)。早在2400年前戰(zhàn)國(guó)之初，思想家墨翟（公元前470-前381年）及其弟子在《墨經(jīng)?經(jīng)說(shuō)下》中就有如下論述：“以目見(jiàn)，而目以火見(jiàn)，而火不見(jiàn)。惟以五路皆智。久，不當(dāng)以目見(jiàn)，若以火見(jiàn)［3］?！币馑际牵河醚劬礀|西，有了光才有視覺(jué)，而光本身是不會(huì)有視覺(jué)的。惟有五官才能產(chǎn)生視覺(jué)。但是，久而久之，人們反倒認(rèn)為不是眼睛產(chǎn)生視覺(jué)，而是光在產(chǎn)生視覺(jué)。墨家關(guān)于光與視覺(jué)的精辟論述，有兩點(diǎn)值得肯定：一是強(qiáng)調(diào)有了光才有視覺(jué)。二是指出長(zhǎng)久以來(lái)人們忽略了人自身的視覺(jué)功能，誤以為光就是視覺(jué)。不幸的是人們這種虛幻的習(xí)慣觀念，一直延續(xù)了兩千年。17世紀(jì)英國(guó)科學(xué)家牛頓以親歷實(shí)驗(yàn)，為顏色科學(xué)做出了四大貢獻(xiàn)：①通過(guò)三棱鏡的折射，把日光分解成紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫7種色光，證明白光是由這些色光混合而成的。②認(rèn)為光本身沒(méi)有顏色，之所以有顏色是因?yàn)楣獗旧砭哂幸欢芰?，在光能量的刺激下，視覺(jué)系統(tǒng)產(chǎn)生顏色感覺(jué)。③色光按照紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫變化順序，在紫與紅之間加入一個(gè)紫紅色，將它們排成一個(gè)封閉的環(huán)，稱為“牛頓顏色環(huán)”，從而表明顏色的色相是連續(xù)的，在360°內(nèi)呈周期變化。④通過(guò)實(shí)驗(yàn)和計(jì)算發(fā)現(xiàn)，可見(jiàn)光中紅、綠、藍(lán)、紫4種色光之間能量的比值為紅^2；綠^3；藍(lán)€6；紫，8。按照現(xiàn)代光色理論，可見(jiàn)光頻域兩端，藍(lán)紫端光的頻率正好是紅端頻率的兩倍，光子的能量與頻率成正比，也正好是它的兩倍。雖然牛頓正確解釋了光與色的因果關(guān)系，為現(xiàn)代顏色科學(xué)奠定了基礎(chǔ)，但由于牛頓堅(jiān)信光的微粒說(shuō)，從而延緩了人們對(duì)光的波動(dòng)性的認(rèn)識(shí)。直到19世紀(jì)初，英國(guó)物理學(xué)家楊通過(guò)著名的“楊氏光干涉實(shí)驗(yàn)”力挺光的波動(dòng)說(shuō)，反對(duì)光的微粒說(shuō)。楊提出可見(jiàn)光中只有紅、綠和藍(lán)三個(gè)色光是原色光，其他色光都可以運(yùn)用這三個(gè)原色光混合得到。又過(guò)了半個(gè)世紀(jì)，德國(guó)物理學(xué)家兼生物學(xué)家赫姆霍斯在楊的三色說(shuō)基礎(chǔ)上，提出進(jìn)一步假說(shuō)，在人的視網(wǎng)膜上分布著感紅光、感綠光和感藍(lán)光三種椎體細(xì)胞，如果僅受一種原色光刺激，只產(chǎn)生該種顏色感覺(jué)。如果受兩種原色光刺激，則產(chǎn)生兩種顏色混合的感覺(jué)。如果紅、綠、藍(lán)三種原色光同時(shí)刺激，就會(huì)產(chǎn)生白色感覺(jué)。這就是今天大家熟知的關(guān)于顏色的楊－赫三原色假說(shuō)隨后格拉斯曼在1854年提出顏色變化三定律，即顏色具有色相、明度和飽和度三個(gè)獨(dú)立屬性；每一種顏色都存在一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的補(bǔ)色。一對(duì)互補(bǔ)色適當(dāng)比例混合，便產(chǎn)生中性色。兩個(gè)非互補(bǔ)色混合，產(chǎn)生中間色相。中間色相的位置傾向二者中比例較大的一邊?；旌虾箢伾娘柡投热Q兩個(gè)色相距離的遠(yuǎn)近，距離越遠(yuǎn)，飽和度越低；兩個(gè)顏色雖然光譜結(jié)構(gòu)不同，只要在視覺(jué)上顏色相同，就可視作同色，在色彩學(xué)上稱“同色異譜”。其顏色三定律今天仍然是顏色科學(xué)的理論基礎(chǔ)，現(xiàn)代彩色印刷復(fù)制不追求光譜結(jié)構(gòu)再現(xiàn)，只追求顏色相同即遵循了這一定律。格拉斯曼不僅提供了顏色變化的三大定律，他還指出顏色具有矢量性質(zhì)?，F(xiàn)代光學(xué)波粒二象性理論認(rèn)為，光的粒子性表現(xiàn)在光子以動(dòng)量方式與物質(zhì)發(fā)生作用。光子的動(dòng)量是矢量，它以矢量的方式作用于人的視神經(jīng)細(xì)胞，產(chǎn)生神經(jīng)電脈沖信號(hào)?？茖W(xué)實(shí)驗(yàn)證明，視神經(jīng)電信號(hào)的強(qiáng)度不是與光的強(qiáng)度成正比，而是與光強(qiáng)度平方根成正比［4］。大家知道，光從進(jìn)入眼睛，到產(chǎn)生視覺(jué)的短短幾十毫秒的時(shí)間，是視神經(jīng)系統(tǒng)整合處理電信號(hào)的時(shí)間。這個(gè)過(guò)程人是無(wú)法感知的。在現(xiàn)代光學(xué)上，光動(dòng)量是矢量，光能量是標(biāo)量，矢量與標(biāo)量的量綱不同，也不處在同一個(gè)層次上。人的視覺(jué)只能感知信號(hào)處理在能量層次上的結(jié)果，無(wú)法感知其在矢量層次上的過(guò)程。舉例說(shuō)，力是矢量，物體在力的作用下，會(huì)產(chǎn)生移動(dòng)。人看到的是物體移動(dòng)的現(xiàn)象，力對(duì)物體作用的機(jī)理及力本身是看不見(jiàn)的。由于格拉斯曼所處時(shí)代，人們還沒(méi)有認(rèn)識(shí)到光的矢量特性，所以他的這一重要發(fā)現(xiàn)被忽略了。在楊－赫三原色假說(shuō)及格拉斯曼顏色混合定律基礎(chǔ)上，20世紀(jì)20年代萊特、吉爾德等多位科學(xué)家分別就光色匹配進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，后來(lái)國(guó)際照明委員會(huì)（CIE）在這些實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上制定了CIE1931RGB系列顏色坐標(biāo)系統(tǒng)及1931CIE-XYZ色度坐標(biāo)系統(tǒng)［5］，為顏色科學(xué)開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)新的發(fā)展空間。光的波粒二象性在復(fù)頻域的映射20世紀(jì)初三原色理論奠基人之一赫姆霍茲的學(xué)生德國(guó)物理學(xué)家普朗克和愛(ài)因斯坦創(chuàng)立了光的量子學(xué)說(shuō)，后經(jīng)多位科學(xué)家的創(chuàng)造性工作，到20世紀(jì)30年代，人類對(duì)光的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)有了飛躍性提高，理論體系不斷完善。光學(xué)理論認(rèn)為，光不僅是電磁波，在傳遞過(guò)程中顯示波動(dòng)性，同時(shí)光又具有量子特性，光子以自然數(shù)個(gè)數(shù)的形式與物質(zhì)發(fā)生作用，光子的運(yùn)動(dòng)具有動(dòng)量，動(dòng)量也是矢量；光具有波粒二象性［6］，電磁波傳遞的是矢量波，故光具有矢量性，顏色也具有矢量性，由此以矢量為切入點(diǎn)，揭示出光矢量與顏色矢量二者之間的內(nèi)在聯(lián)系。矢量在數(shù)學(xué)上用復(fù)數(shù)表示。本文將從光的電磁波復(fù)振幅函數(shù)表達(dá)式及光子動(dòng)量(矢量)公式出發(fā)，推導(dǎo)導(dǎo)出光色映射復(fù)頻譜顏色表達(dá)式Z=re/0。2.1從電磁波一維時(shí)域函數(shù)導(dǎo)出復(fù)頻譜表達(dá)式E二E(cosst+isinst) (1)式中E是電磁波復(fù)振幅；E是電磁波振幅，也就是電磁波復(fù)振幅E的模，E=E。s是波動(dòng)角頻率，s=2兀v。v是電磁波的頻率，與波長(zhǎng)九成反比關(guān)系，v=c，c是光速。九在公式(1)中描述波動(dòng)的物理量采用的是角頻率s而不用波長(zhǎng)九，其原因如下：因?yàn)轭l率V是電磁波的本征因子，與傳遞介質(zhì)性質(zhì)無(wú)關(guān)。而波長(zhǎng)九則不然，即使同一個(gè)頻率的電磁波，它的波長(zhǎng)會(huì)隨著傳遞介質(zhì)的不同而變化。在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，單位時(shí)間內(nèi)物體完成一個(gè)波動(dòng)的次數(shù)叫頻率，因此頻率V是不連續(xù)數(shù)。頻率的2n倍為角頻率，即s二2兀V。角頻率s的物理意義是單位時(shí)間內(nèi)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。因?yàn)榻嵌仁沁B續(xù)變化的，所以s是一個(gè)在0?2n上的連續(xù)變量，正好與色相的連續(xù)性相對(duì)應(yīng)。由于頻率在位相上的分布是均勻的，所以與頻率對(duì)應(yīng)的色相在位相上的分布也是均勻的。這也反過(guò)來(lái)證明了CIE色度圖中色相在波長(zhǎng)域上分布不均勻的原因。公式(1)中st的物理意義是，給定一個(gè)角頻率s，當(dāng)時(shí)間t為定值T，復(fù)振幅E即對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的位相0，即sT=0。同樣，給定一個(gè)定時(shí)T，不同的角頻率s□對(duì)應(yīng)著不同的相位0□，即sdT□=0□。就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)間為定值T，則不同頻率v對(duì)應(yīng)不同位相0。公式(1)中時(shí)間t為變量，而由光產(chǎn)生的顏色與時(shí)間變化無(wú)關(guān)，顏色視覺(jué)是靜態(tài)。設(shè)想從光進(jìn)入眼睛，到視覺(jué)感知顏色的時(shí)間t一定值T，則sT=0，進(jìn)入眼睛的可見(jiàn)光所有頻率在同一時(shí)間T作用下，被“定格”在不同的位相0上，這樣公式(1)改寫為E=E(cos0+isin0) (2)如果說(shuō)公式(1)描述的是電磁波在時(shí)域t的動(dòng)態(tài)函數(shù)，那么公式(2)描述的則是由時(shí)域變?yōu)轭l域V再經(jīng)角頻域s變換的電磁波振幅被T“定格”成位相0的靜態(tài)函數(shù)。下面以公式(2)式為基礎(chǔ)，導(dǎo)出表征顏色的復(fù)頻譜表達(dá)式。由于2兀T都是常數(shù)，所以位相9與頻率V呈線性關(guān)系。由此可將可見(jiàn)光1個(gè)倍頻內(nèi)的全部頻率均勻分布在復(fù)頻域2兀(3600)位相上。對(duì)(2)式微分：dE二Ed(cos9+isin9)=E(dcos9+idsin9)=E(-sin9d9+icos9d9)=Ei(isin9d9+cos9d9)=Ei(cos9+isin9)d9=iEd9o移項(xiàng)，得：dE蘭=id9 (3)E加上邊界條件，對(duì)公式(3)積分，JE蘭=J9d9o其中，E是E的模，即標(biāo)量，是積分初值。EE0E得到ln(一)=i9，即ETOC\o"1-5"\h\zE=E-e対 (4)2.2從光子動(dòng)量公式推導(dǎo)出復(fù)頻譜表達(dá)式光子動(dòng)量反映的是光的粒子特性，光子的動(dòng)量也是矢量。一個(gè)光子的動(dòng)量為hh-2兀v方p=-v= =一?① (5)1c c2兀ch式中p是角頻率為?時(shí)一個(gè)光子的動(dòng)量，方為普朗克角常量，方=一；c為光速，1 2兀c=2.99792x108m-s-1。光子的動(dòng)量p與其角頻率?呈線性關(guān)系。我們知道，從光進(jìn)入眼睛到產(chǎn)生色覺(jué)所需要1的時(shí)間為幾十毫秒，這一時(shí)間以一定時(shí)T表示。此外，能在人眼錐體細(xì)胞中產(chǎn)生顏色視覺(jué)

的不僅是少數(shù)幾個(gè)光子，而是數(shù)量巨大且頻率不同的光子流，設(shè)某個(gè)頻率v的光子數(shù)為n，

n是很大自然數(shù)，它體現(xiàn)的是光的粒子性，故在公式(5)兩邊同乘以自然數(shù)n，同時(shí)在等式右邊乘以-，得到TTOC\o"1-5"\h\z方T 方n /<?、\o"CurrentDocument"n-p二n—①.一二n-U （6）1cT cT其中p是一個(gè)光子的動(dòng)量，是一個(gè)矢量。n-p是n個(gè)光子的動(dòng)量，仍然是矢量，用P表11示。將2常系數(shù)歸1,令P=n，此處的P是P的模，是標(biāo)量，P二P，則（6）式變成cTP=P.0 （7）公式（5）表達(dá)的是某角頻率下一個(gè)光子的動(dòng)量，是時(shí)域里的動(dòng)態(tài)矢量。而公式（7）表達(dá)的是同一角頻率的眾多光子動(dòng)量，映射在復(fù)頻域后與時(shí)域無(wú)關(guān)的靜態(tài)的位相為0的色矢量。這一點(diǎn)非常重要，因?yàn)檫@正是光與色既有聯(lián)系、又有本質(zhì)區(qū)別的關(guān)鍵所在。對(duì)（7）式微分，有dP=d0 （8）P加上邊界條件，對(duì)公式（8）積分。需要說(shuō)明：（8）式右邊積分變量是位相，光動(dòng)量已變換為色矢量。若在全頻域位相積分，其實(shí)就是在復(fù)數(shù)域積分，所以還要加上符號(hào)“i”。這樣積分如下PdP=id0。其中，P是P的模，是積分初值。由此得到PP0P1（—）=i0，結(jié)果有PP=P.e丹 （9）2.3從光的波粒二象性推導(dǎo)出復(fù)頻譜表達(dá)式公式（4）是由光的電磁波波函數(shù)推導(dǎo)出的復(fù)頻譜表達(dá)式，電磁波是矢量波，與光的波動(dòng)性相關(guān)。公式（9）是從光子動(dòng)量公式推導(dǎo)得到的的復(fù)頻譜表達(dá)式，光子動(dòng)量變換為顏色矢量，與光的粒子性相關(guān)。公式（4）與公式（9）左邊源于的物理意義雖然不同，然而它們都是以等式右邊的位相0作為指數(shù)，其指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是完全相同的。按照現(xiàn)代光學(xué)的波粒二象性理論，同一時(shí)刻在同一地點(diǎn)出現(xiàn)的同一個(gè)頻率的光子數(shù)量，等效于同一頻率的幾率振幅。也就是說(shuō)公式（4）中的E與公式（9）中的P在物理上是等效的，在函數(shù)關(guān)系上也是等值的［7。］兩個(gè)不同路徑，殊途同歸，證明在光與色之間確實(shí)存在著“普朗克鏈條”的數(shù)學(xué)模型。

10)將公式(4)與公式(9)合二為一，令Z二P二E, r=P=E，則有10)Z=rei其中，r是Z的模，即Z=r。公式(10)即為復(fù)頻譜色度表達(dá)式。利用它只需把可見(jiàn)光在全頻域的反(透)射率變換成位相的相矢量r的函數(shù)r(9)，然后進(jìn)行積分整合，就能給出它的全部顏色特征數(shù)值，包括色相H、色彩強(qiáng)度C、亮度L、飽和度S及白度W。如果需要，還可以給出物體色的灰度G。到此可以推論：顏色是光的波粒二象性在復(fù)頻域上的映射。復(fù)頻譜色度測(cè)量與計(jì)算色度測(cè)量需要使用可見(jiàn)光分光光度計(jì)。目前使用的分光光度計(jì)是以等間隔波長(zhǎng)在波長(zhǎng)域上取值。而復(fù)頻譜色度計(jì)算是以頻域均勻取值為據(jù)，所以必須把波長(zhǎng)換算成頻率，然后再將頻率換算成位相9把原來(lái)的光譜函數(shù)S(九)變換成矢徑函數(shù)r(9)⑻。在復(fù)頻譜圖上，以反(透)射率開(kāi)方作為矢徑函數(shù)r(9)，9角對(duì)應(yīng)的是光的頻率⑼。對(duì)于光源色r(9)=40；對(duì)于物體色，分兩種情況：①透射色r(9)=js(9)q(9),②反射色r(9)=、；：S(9)p(9)。式中：(9)為光源相對(duì)光譜功率分布。物體色計(jì)算時(shí)，為了簡(jiǎn)化，一律使用等能光源,S(9)=1；(9)為物體光譜透射率；p(9)為物體光譜反射率。在復(fù)頻譜色度圖上，顏色的平衡就是色矢量的平衡。而平衡矢量之和等于零。為了使平衡矢量在計(jì)算過(guò)程中不丟失，采用分段計(jì)算法，在復(fù)頻譜上分別計(jì)算出X、X、Y及Y4+-+-個(gè)分矢量。X=+2r(9)cos9d9，X二卜2r(9)cos9dX=+丫=卜r(9)sin9d9，Y=J2Kr(9)sin9d9+ 0 兀在X、X和Y、Y兩組分矢量中，每組取絕對(duì)值較小的為其平衡矢量，令X+X=X，Y++-+-+-c+Y=Y，顏色特征數(shù)值分別計(jì)算如下：-c色彩強(qiáng)度C=QX2+Y2；'c cY色相H=arcsinc；c1亮度L二——J2兀r2(6)d6；2兀o色彩平衡度B^.;X2+Y2，式中X及Y為平衡矢量；a ba ba ba baC2色彩飽和度S= C-2B2+2C2cos2H-sin2H+C2a顏色白度W二L(l-S)；顏色灰度G二100-Lo4結(jié)論與討論無(wú)論是光的波動(dòng)性還是光的粒子性，映射到復(fù)頻譜色度坐標(biāo)上都變換成顏色矢徑函數(shù)r(6)，它只有位相6及色矢徑長(zhǎng)度r兩個(gè)變量。顏色的所有特征數(shù)值都是以色矢量為基礎(chǔ)整合而成。這些復(fù)頻譜顏色特征數(shù)值不用三維立體模型，僅從復(fù)頻譜二維平面整合得到。這個(gè)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)在于：①不用波長(zhǎng)域而用頻域使得色相在頻域上均勻分布。②用角頻域3取代頻率V,再乘以定時(shí)T，就可以把光的動(dòng)態(tài)性角頻率3映射到復(fù)頻譜上變換成顏色的靜態(tài)性位相6。③光具有矢量性，映射到復(fù)頻譜上變換成色矢量性，以此就能給顏色分解，顏色合成及顏色平衡給予合理的物理解釋。參考文獻(xiàn)Isaac.Newton.Optics[M].London:AcademicPress，1976.龐多益，龐也馳?光色變換復(fù)頻譜物理解析[J].北京印刷學(xué)院，2007,(4):8-11.PangDuoyi,PangYechi.ParseonthePhysicsColoroftheComplexFrequencySpectruminLightColor[J].JournalofBeijingInstituteofGraphicCommunication,2007,(4):8-11.墨翟.墨經(jīng)[M].孫以楷甄長(zhǎng)松譯注?成都：巴蜀書版，2000.MoZhai.MoJing[[M].SunYikai,ZhenChangsong,Translate.Chengdu,China:BashuPress,2000.滕秀金，邱迦易，曾曉棟?顏色測(cè)量技術(shù)[M].北京:中國(guó)計(jì)量出版社，2007.Te