2024屆北師大附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某機(jī)構(gòu)需掌握55歲人群的睡眠情況，通過隨機(jī)抽查110名性別不同的55歲的人的睡眠質(zhì)量情況，得到如下列聯(lián)表男女總計(jì)好402060不好203050總計(jì)6050110由得，.根據(jù)表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列結(jié)論，正確的是（）A．有以下的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”B．有以上的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無關(guān)”2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，則實(shí)數(shù)a的值為A．5 B．3 C．53 D．3．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．4．已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m，n沒有公共點(diǎn)，則B．若，，則C．若，則D．若，則5．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A． B． C． D．6．已知集合，則（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)滿足方程，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部和為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．8．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時，均從一片荷葉跳到另一片荷葉），而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在荷葉上，則跳三次之后停在荷葉上的概率是（）A． B． C． D．9．A． B． C． D．10．已知命題：，命題：，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，、分別是雙曲線左、右兩支上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且直線的斜率為.、分別為、的中點(diǎn)，若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．已知直線l過點(diǎn)P(1,0,－1)，平行于向量，平面過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．試寫出的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)_____．14．已知純虛數(shù)滿足(其中是虛數(shù)單位)，則__________.15．設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值為__________．16．已知，則的值為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處的切線的斜率為1．(1)求的值及的最大值；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：18．（12分）已知函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（Ⅱ）若直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：在上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）若函數(shù)有兩個正零點(diǎn)、，求的取值范圍，并證明：.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)M，N分別為，上的動點(diǎn)，求的取值范圍.22．（10分）袋中有紅、黃、白色球各1個，每次任取1個，有放回地抽三次，求基本事件的個數(shù)，寫出所有基本事件的全集，并計(jì)算下列事件的概率：（1）三次顏色各不相同；（2）三次顏色不全相同；（3）三次取出的球無紅色或黃色．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想判斷得解.【題目詳解】因?yàn)?，根?jù)表可知；選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2a-3+a+2=6，求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N3,4，P根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2a-3+a+2=6，解得a=7故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布的特征，熟記正態(tài)分布的特征即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、C【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可解出該不等式.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，解得，因此，不等式的解集為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式，解決這類不等式的基本步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，必要時要考查該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.4、D【解題分析】

由空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)依次對選項(xiàng)進(jìn)行判斷，由此得到答案?！绢}目詳解】兩條直線沒有公共點(diǎn)有平行和異面兩種情形，故A，B錯；對于C，還存在的情形：由線面垂直的性質(zhì)可得D對，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生對空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的理解與掌握，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題。5、D【解題分析】分析：對所給的復(fù)數(shù)分子、分母同乘以，利用進(jìn)行化簡，整理出實(shí)部和虛部即可．詳解：∵∴復(fù)數(shù)的虛部為故選D.點(diǎn)睛：本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個復(fù)數(shù)相除時，一般需要分子和分母同時除以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)行化簡求值．6、C【解題分析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對集合化簡得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【題目詳解】＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故選：C【題目點(diǎn)撥】考查對數(shù)不等式的解法，以及集合的交集及其運(yùn)算．7、D【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得到z，由實(shí)部與虛部的和為1，可求得的值．詳解：因?yàn)樗砸驗(yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部和為即所以所以選D點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

根據(jù)條件先求出逆時針和順時針跳的概率，然后根據(jù)跳3次回到A，則應(yīng)滿足3次逆時針或者3次順時針，根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論．【題目詳解】設(shè)按照順時針跳的概率為p，則逆時針方向跳的概率為2p，則p+2p=3p=1，解得p=，即按照順時針跳的概率為，則逆時針方向跳的概率為，若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上，則滿足3次逆時針或者3次順時針，①若先按逆時針開始從A→B，則對應(yīng)的概率為××=，②若先按順時針開始從A→C，則對應(yīng)的概率為××=，則概率為+==，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】分析：根據(jù)公式，可直接計(jì)算得詳解：，故選D.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復(fù)數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負(fù)號導(dǎo)致出錯.10、A【解題分析】

首先對兩個命題進(jìn)行化簡，解出其解集，由是的必要不充分條件，可以得到關(guān)于的不等式，解不等式即可求出的取值范圍【題目詳解】由命題：解得或，則，命題：，，由是的必要不充分條件，所以故選【題目點(diǎn)撥】結(jié)合“非”引導(dǎo)的命題考查了必要不充分條件，由小范圍推出大范圍，列出不等式即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ)。11、C【解題分析】

根據(jù)、分別為、的中點(diǎn)，故OM平行于,ON平行于，再由向量點(diǎn)積為0得到四邊形是矩形，通過幾何關(guān)系得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入雙曲線得到齊次式，求解離心率.【題目詳解】因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，故OM平行于,ON平行于，因?yàn)樵c(diǎn)在以線段為直徑的圓上，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱得到，四邊形對角線互相平分，所以四邊形是矩形，設(shè)角,根據(jù)條件得到，將點(diǎn)A代入雙曲線方程得到：解得故答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).12、D【解題分析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項(xiàng)A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故錯誤．考點(diǎn)：平面的法向量二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

Tr+1＝（﹣1）rx7﹣2r，r必須為偶數(shù)，分別令r＝0，2，4，6，經(jīng)過比較即可得出【題目詳解】，r必須為偶數(shù)，分別令r＝0，2，4，6，其系數(shù)分別為：1，,,經(jīng)過比較可得：r＝4時滿足條件，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】設(shè)，，整理得，15、【解題分析】

根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達(dá)式，進(jìn)而確定其最小值.【題目詳解】因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時，取最小值為.【題目點(diǎn)撥】函數(shù)的性質(zhì)（1）.（2）周期（3）由求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿足，最小值對應(yīng)自變量滿足，（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.16、1【解題分析】

用賦值法，在所給的等式中，分別令和1，即可求出對應(yīng)的值．【題目詳解】在中，令，得，即；令，得，．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理展開式的系數(shù)問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時注意賦值法的應(yīng)用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見證明【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用即可求出的值，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的增減性，于是求得最大值；（2）①當(dāng)，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立；驗(yàn)證時，不等式成立即可.【題目詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)數(shù)，得．由已知，得，即，∴．此時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴當(dāng)時，取得極大值，該極大值即為最大值，∴；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，∴左邊＞右邊，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即．那么，由（1），知（，且）．令，則，∴，∴．即當(dāng)時，不等式也成立．根據(jù)①②，可知不等式對任意都成立．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力，難度較大.18、（Ⅰ）4x﹣y﹣18＝0（Ⅱ）y＝13x，切點(diǎn)為（﹣2，﹣26）【解題分析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3x2+1，求得在點(diǎn)切線的斜率和切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解切線的方程；（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求得切線的斜率為1+3m2，根據(jù)切線過原點(diǎn)，列出方程，求得的值，進(jìn)而可求得切線的方程.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x）＝x3+x﹣16的導(dǎo)數(shù)為3x2+1，得，即曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為4，且切點(diǎn)為（1，﹣14），所以切線方程為y+14＝4（x﹣1），即為4x﹣y﹣18＝0；（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），可得切線的斜率為1+3m2，又切線過原點(diǎn)，可得1+3m2，解得m＝﹣2，即切點(diǎn)為（﹣2，﹣26），所以切線方程為y+26＝13（x+2），即y＝13x．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記曲線在某點(diǎn)處的切線方程的求解方法，以及合理利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)存在,滿足題設(shè).【解題分析】

(1)根據(jù)當(dāng)時直接求導(dǎo)，令與,即可得出單調(diào)區(qū)間.(2)函數(shù),使函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于,等價于,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,即可得出的范圍.【題目詳解】(1)當(dāng)時,,令,則或,令,則,的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)存在,滿足題設(shè).函數(shù).要使函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,令,則當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn),且存在,滿足題設(shè).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識,難度較難.20、（1）見證明；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是，證明見解析.【解題分析】

（1）由題意得出在區(qū)間上恒成立，由得出，構(gòu)造函數(shù)，證明在區(qū)間上恒成立即可；（2）由利用參變量分離法得出，將題意轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與函數(shù)在上有兩個交點(diǎn)時求的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可，然后由題意得出，取自然對數(shù)得，等式作差得，利用分析得出所證不等式等價于，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可.【題目詳解】（1），.由題意知，不等式在區(qū)間上恒成立，由于，當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，，所以，.所以，不等式在區(qū)間上恒成立，因此，當(dāng)時，函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）令，可得令，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，.當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.，當(dāng)時，，當(dāng)時..時，函數(shù)有兩個正零點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.由上知時，，由題意得，上述等式兩邊取自然對數(shù)得，兩式作差得，，要證，即證.由于，則，即證，即證，令，即證，其中.構(gòu)造函數(shù)，其中，即證在上恒成立.，所以，函數(shù)在區(qū)間上恒成立，所以，，因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，難點(diǎn)在于構(gòu)造新函數(shù)，借助新函數(shù)的單調(diào)性來證明，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于難題.21、（1）：，：；（2）【解題分析】

（1）參數(shù)方程