駐波能量流動(dòng)特性的一個(gè)教學(xué)方案陳信義(清華大學(xué)物理系，北京100084)摘要通過計(jì)算彈性棒中縱向駐波的能流密度，給出駐波中能量的流動(dòng)特性。關(guān)鍵詞駐波；能流密度通過計(jì)算彈性棒中縱向駐波的能流密度，給出駐波中能量的流動(dòng)特性：在各波節(jié)和波腹處，能流密度為零而能量密度隨時(shí)間的變化幅度最大，能量不能流過任何波節(jié)和波腹，只能在相鄰的波節(jié)和波腹間同。流動(dòng);在相鄰波節(jié)和波腹間的中點(diǎn)處，能流密度隨時(shí)間的變化幅度最大而能量密度卻始終不變，處于該點(diǎn)質(zhì)元的各種行為與彈簧振子完全相同。y y+dyHI■:—S\F'nu■■x x+dx圖1按縱向駐波形變的彈性棒1)圖1表示一個(gè)按縱向駐波形變的彈性棒。駐波的表達(dá)式為1)y(x,t)二2Acoskxcoswt駐波的能量密度表達(dá)式為w(x,Qy1w(x,Qy1+—YQyIQt丿2IQx丿=pA2w2C一cos2kxcos2wJt)=1p22)式中p為介質(zhì)的密度，Y為楊氏模量。下面計(jì)算駐波的能流密度。按胡克定律，截面所受應(yīng)力為

3)Sdx丿x式中的S為截面面積。截面的位移速度為

dtl丿x流過截面的能流密度，即流過單位截面的功率，可按下式計(jì)算5）由上式可知，因波節(jié)處的截面固定不動(dòng)，而波腹處的截面無形變不受應(yīng)力，則在各波節(jié)和波腹處能流密度為零。能量不能流過任何波節(jié)和波腹，只能在相鄰的波節(jié)和波腹間流動(dòng)。把（1）式代入（3）?（5）式可得能流密度j（x,t）=—YA2&ksin2kxsin2?t （6）上式表明，駐波中的能流密度也是一個(gè)駐波，其波長(zhǎng)為原駐波波長(zhǎng)的一半，波節(jié)出現(xiàn)在原駐波的波節(jié)或波腹的位置上，而波腹則出現(xiàn)在原駐波相鄰的波節(jié)和波腹間的中點(diǎn)處。圖2給出了t=T/12時(shí)刻的位移y（虛線）和能流密度j（實(shí)線）。以圖中波腹x=0到相鄰波節(jié)x=k/4的區(qū)間為例說明。在此區(qū)間，能流密度取負(fù)值表示能量由波節(jié)流向波腹。此時(shí)刻彈性棒正在向平衡狀態(tài)恢復(fù)，波腹處截面的動(dòng)能在增加而波節(jié)處的形變勢(shì)能在減小，能量由波節(jié)流向波腹。此外，能流密度駐波的波腹處于原駐波相鄰的波節(jié)和波腹間的中點(diǎn)x=k/8處，這里的能流密度的變化幅度最大。下面討論能流密度與能量密度的關(guān)系。因介質(zhì)不吸收能量，則由圖1可知7)(x,t)SdxLL(x,t)-j(x+dx,tJs7)Qt由上式可得能量的連續(xù)性方程Qw(x,t)Qj(x,t) (8)Qt Qx在原駐波的波節(jié)和波腹處，w對(duì)t的變化率最大，這里的j雖為零，但j對(duì)x的變化率卻最大