2.5.1直線與圓的位置關系[課標解讀]1.掌握直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離.2.會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關系.3.會用直線與圓的位置關系來解決一些實際問題．教材要點要點直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷位置關系相交相切相離公共點個數(shù)____個____個____個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝Aa+Bb+Cd____rd____rd____r代數(shù)法：由Ax+By+C=0消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ____0Δ____0Δ____0狀元隨筆“幾何法”與“代數(shù)法”判斷直線與圓的位置關系，是從不同的方面，不同的思路來判斷的．“幾何法”更多地側重于“形”，更多地結合了圖形的幾何性質(zhì)；“代數(shù)法”則側重于“數(shù)”，它傾向于“坐標”與“方程”．基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)直線與圓最多有兩個公共點．()(2)如果一條直線被圓截得的弦長最長，則此直線過圓心．()(3)若A，B是圓O外兩點，則直線AB與圓O相離.()(4)若C為圓O內(nèi)一點，則過點C的直線與圓O相交.()2．直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是()A．相交B．相切C．相離D．無法判斷3．設A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|＝()A．1B．2C．3D．24．若直線x＋y＝2與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，則m的值為()A．12B．C．2D．25．直線x＋2y＝0被圓C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦長等于________．題型1直線與圓的位置關系例1已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)與x軸、y軸分別相切于A、B兩點．(1)求圓C的方程；(2)試討論直線l：y＝kx－2與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)的位置關系．方法歸納判斷直線與圓位置關系的3種方法鞏固訓練1過三點A(0，0)，B(0，2)，C(2，0)的圓M與直線l：kx－y＋2－2k＝0的位置關系是()A．相交B．相切C．相交或相切D．相切或相離題型2直線與圓相切問題例2(1)過點P(－2，4)的直線l與圓C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，則直線l的方程為()A．x＝－2或2x－y＋8＝0B．x＝－2或x＋2y－6＝0C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0(2)過點M(2，－3)作圓C：x2＋y2＝13的切線，則切線的方程為__________________．方法歸納圓的切線的求解策略鞏固訓練2(1)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12(2)由直線y＝2x＋5上的點向圓x2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為()A．5B．6C．4D．2題型3直線與圓相交問題例3(1)已知直線l：mx－3y－4m＋9＝0與圓C：x2＋y2＝100相交于A、B兩點，則|AB|的最小值為()A．52B．53C．102D．103(2)已知圓C與x軸相切，圓心在直線y＝3x上，且到直線y＝2x的距離為55①求圓C的方程；②若圓C的圓心在第一象限，過點(1，0)的直線l與C相交于A、B兩點，且|AB|＝32，求直線l的方程．方法歸納求圓的弦長的2種常用方法鞏固訓練3(1)已知圓x2＋y2＝r2(r>0)與直線y＝kx＋2至少有一個公共點，則r的取值范圍為()A．r>2B．r≥1C．r≥2D．0<r≤2(2)已知圓M的方程為x2＋y2＋4x－4y＋4＝0.①寫出圓M的圓心坐標和半徑；②經(jīng)過點N(－1，0)的直線l被圓M截得弦長為23，求l的方程．易錯辨析忽略了圓的一個隱含條件例4已知圓的方程為x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定點A(1，2)，要使過定點A(1，2)作圓的切線有兩條，則a的取值范圍為________．解析：圓的標準方程為(x＋a2)2＋(y＋1)2＝4-3a24，圓心C坐標為(－a2，－1)，半徑r＝4-3a24＝4-3又過點A(1，2)作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即1+a22化簡得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，故a的取值范圍是(－233易錯警示易錯原因糾錯心得忽視了圓的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一個隱含條件，即D2＋E2－4F>0.同學們在解答含有參數(shù)的問題時，要多一些嚴謹，以免遺漏某些條件，導致結果出錯．2.5.1直線與圓的位置關系新知初探·課前預習要點一210<＝>>＝<[基礎自測]1．(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：圓心(0，0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝-53∵d＝r，∴直線與圓相切．答案：B3．解析：直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心C(0，0)，則|AB|＝2.答案：D4．解析：圓x2＋y2＝m(m>0)的圓心為(0，0)，半徑為m，因為直線x＋y＝2與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，所以圓心到直線x＋y＝2的距離等于半徑，列出方程得：21+1＝m，解得：m＝答案：D5．解析：由已知圓心C(3，1)，半徑r＝5.又圓心C到直線l的距離d＝3+25＝5，則弦長＝2r2-d答案：45題型探究·課堂解透例1解析：(1)由已知可得圓C的圓心為C(a，b)，由于圓C與x軸、y軸分別相切于A、B兩點，圓心C到x軸、y軸的距離分別為b、a，則a＝b＝2，因此，圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)圓心C(2，2)到直線l的距離為d＝2k-圓C的半徑為r＝2.①當d>r時，即k<34時，直線l與圓C②當d＝r時，即k＝34時，直線l與圓C③當d<r時，即k>34時，直線l與圓C綜上所述，當k<34時，直線l與圓C當k＝34時，直線l與圓C當k>34時，直線l與圓C鞏固訓練1解析：方法一由題意得，圓M是過原點，以BC為直徑的圓，所以圓的方程為：(x－1)2＋(y－1)2＝2，直線l過定點(2，2)，定點在圓上，所以圓與直線的位置關系為相交或相切，所以答案是C.方法二圓M的圓心為(1，1)，半徑為2，圓心到直線l的距離d為d＝-k+1k2+1＝k當k＝0時，d＝1<2，所以直線和圓相交．當k<0時，d＝1-2kk2+1＝1+21-當k>0時，d＝1-2kk2+1＝1-2答案：C例2解析：(1)由題意可知，P(－2，4)在圓C的外部，故點P不是切點；圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5.當直線斜率不存在時，直線方程為x＝－2，圓心C(－1，1)到切線l的距離為d＝|－1－(－2)|＝1≠5，此時直線和圓不相切；作圓C的切線，斜率存在，設為k，則切線方程為l：y＝k(x＋2)＋4，即l：kx－y＋2k＋4＝0.圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，圓心C(－1，1)到切線l的距離為d＝-k-1+2k+4化簡可得2k2－3k－2＝0，解得k＝－12或k＝2∴切線方程為l：y＝－12(x＋2)＋4或y＝2(x＋2)＋4化簡可得x＋2y－6＝0或2x－y＋8＝0.(2)由圓C：x2＋y2＝13得到圓心C的坐標為(0,0)，圓的半徑r＝13，而|CM|＝22+-32所以點M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，又M(2，－3)，得到CM所在直線的斜率為－32所以切線的斜率為23，則切線方程為：y＝23(x－2)－即2x－3y－13＝0.答案：(1)C(2)2x－3y－13＝0鞏固訓練2解析：(1)方法一由3x＋4y＝b，得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝并化簡得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.方法二由圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0?(x－1)2＋(y－1)2＝1，可知圓心坐標為(1，1)，半徑為1，直線和圓相切，則3×1+4×1-b32(2)設P(x，y)為直線y＝2x＋5上任意一點，|OP|min＝512+22＝5，切線長的最小值為：答案：(1)D(2)D例3解析：(1)依題意，直線mx－3y－4m＋9＝0恒過定點D(4，3)，∵D在圓C內(nèi)部，∴弦|AB|的長度最小時，直線AB與直線CD垂直，又|CD|＝42+3此時|AB|＝2100-25＝10(2)①設圓心C的坐標為(a，3a)，則該圓的半徑長為3|a|，因為圓心C到直線y＝2x的距離為a5＝55，解得a＝所以圓心C的坐標為(1，3)或(－1，－3)，半徑為3，因此，圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.②若圓C的圓心在第一象限，則圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝9.因為|AB|＝32，所以圓心到直線l的距離d＝r2-3222若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝1，此時圓心C到直線l的距離為2，不合乎題意；所以，直線l的斜率存在，可設直線l的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，由題意可得d＝3k2+1＝322所以，直線l的方程為y＝x－1或y＝1－x，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.答案：(1)D(2)見解析鞏固訓練3解析：(1)圓心(0，0)到直線y＝kx＋2的距離d＝21+k2≤2，當且僅當k＝0時等號成立，故只需r(2)①圓M的標準方程