1．2.5空間中的距離[課標(biāo)解讀]

能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學(xué)習(xí)教材要點(diǎn)知識點(diǎn)一距離的概念一個圖形內(nèi)的________與另一圖形內(nèi)的________的距離中的________，叫做圖形與圖形的距離．任一點(diǎn)任一點(diǎn)最小值知識點(diǎn)二空間中的距離及求法名稱概念求法兩點(diǎn)之間的距離空間中兩個點(diǎn)連線的線段長求向量的模點(diǎn)到直線的距離過直線外一點(diǎn)作直線的一條垂線段的長求向量的模點(diǎn)到平面的距離過平面外一點(diǎn)作平面的一條垂線段的長線到面的距離當(dāng)直線與平面平行時，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離狀元隨筆線面距、面面距與點(diǎn)面距有什么關(guān)系？面到面的距離(公垂線段長)當(dāng)平面與平面平行時，一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離[提示]基礎(chǔ)自測1.在四面體P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，M是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)M到其他三個平面的距離分別是2，3，6，則點(diǎn)M到頂點(diǎn)P的距離是(

)A．7B．8C．9D．10答案：A

答案：C

答案：D

答案：D

課堂探究·素養(yǎng)提升

答案：B

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在平面角為120°的二面角α-AB-β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長．

題型2點(diǎn)到直線的距離【思考探究】1．如何理解與認(rèn)識點(diǎn)到直線的距離？[提示]點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題．(1)點(diǎn)在直線上時，點(diǎn)到直線的距離為0.(2)點(diǎn)在直線外時，點(diǎn)到直線的距離即為此點(diǎn)與過此點(diǎn)向直線作垂線的垂足間的距離．即點(diǎn)到直線的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離．

例2

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離．

狀元隨筆建立坐標(biāo)系，利用向量法求解．方法歸納用向量法求點(diǎn)到直線的距離時需注意以下幾點(diǎn)：1．不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段；2．在直線上可以任意選點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)；3．直線的方向向量可以任取，但必須保證計(jì)算的準(zhǔn)確性．跟蹤訓(xùn)練2

(改變問法)本例條件不變，所求問題改為：若M，N分別是A1B1，AC的中點(diǎn)，試求點(diǎn)C1到MN的距離．

題型3點(diǎn)到平面的距離例3如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．

狀元隨筆本題可以利用等體積法求解，也可以通過建系利用向量法求解．

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知△ABC是以∠B為直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分別是SC，AB，BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面SND的距離．

狀元隨筆用向量法求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是確定平面的法向量．易