曲線坐標(biāo)計(jì)算通用公式（復(fù)化公式）推導(dǎo)一、已知條件1、線元起點(diǎn)坐標(biāo)：2、線元起點(diǎn)切線方位角：3、線元起點(diǎn)里程：4、線元終點(diǎn)里程：5、線元起點(diǎn)曲率半徑：6、線元終點(diǎn)曲率半徑：二、求解問題求線元上任意點(diǎn)的坐標(biāo)：。即推導(dǎo)曲線坐標(biāo)計(jì)算通用公式。三、圖示：如右上圖（圖中未示值）四、坐標(biāo)計(jì)算公式線元上任意點(diǎn)C的坐標(biāo)計(jì)算公式為：————①————②由上式可知，關(guān)鍵問題是求出、。五、計(jì)算若AC是直線，直接采用公式可求出（其中為A、C兩點(diǎn)間直線距離，為AC直線方位角），但是，A、C兩點(diǎn)間是任意曲線相連,不能直接用上述公式計(jì)算,需利用微積分原理計(jì)算。1、曲線AB上任意一點(diǎn)的曲率計(jì)算采用內(nèi)插法得：————③其中：k——曲線AB上任意一點(diǎn)的里程。2、曲線AB上任意一點(diǎn)的切線方位角計(jì)算如右圖：C是曲線AB上任意一點(diǎn)，AT、TC是A、C兩點(diǎn)的切線，利用圓曲線求弧長(zhǎng)公式得：其中：k——曲線上任意點(diǎn)里程。R——曲線上任意點(diǎn)的曲率半徑。（通過公式③求得，）————④使用公式③、④時(shí)的符號(hào)規(guī)定：線元右偏：、均為“+”（即線元起終點(diǎn)曲率半徑輸正值）。線元左偏：、均為“—”（即線元起終點(diǎn)曲率半徑輸負(fù)值）。3、計(jì)算根據(jù)公式③、④可推知，是里程間隔上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，計(jì)算A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)增量，也就是求在里程段內(nèi)，坐標(biāo)的改變量。⑴求解思路及方法先把里程間隔分成若干小段,在小段里程內(nèi)，以直線代替曲線，以該里程段內(nèi)任一點(diǎn)的方位角作為該直線方位角，以該段里程差作為直線長(zhǎng)度，計(jì)算出部分坐標(biāo)增量的近似值，再求和，得到整段里程內(nèi)坐標(biāo)增量的近似值，最后通過對(duì)里程間隔無限細(xì)分的極限過程，就可求得曲線內(nèi)任意一點(diǎn)C的坐標(biāo)增量的精確值。⑵具體計(jì)算步驟在里程段內(nèi)插入若干個(gè)分點(diǎn)：把曲線分成個(gè)小段：各小段長(zhǎng)度依次為：相應(yīng)地，在各小段曲線內(nèi)，起終點(diǎn)的坐標(biāo)增量依次為：在曲線小段上任意取一里程，以的方位角作為近似直線小段的方位角，以該段里程差作為近似直線小段的長(zhǎng)度，得到部分坐標(biāo)增量的近似值，即：于是，所求曲線的坐標(biāo)增量就近似等于段部分坐標(biāo)增量的近似值之和，即：計(jì)，當(dāng)時(shí)，取上式右端的極限，即得到所求曲線的坐標(biāo)增量的精確值為：利用定積分的定義，上式可表述如下：曲線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)增量等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即：——————⑤注：定積分的一般表達(dá)式為：4、的近似計(jì)算通過上面計(jì)算，我們得到了的精確解，即公式⑤，采用求原函數(shù)的方法求解⑤式較困難，下面采用定積分的近似計(jì)算方法求解，即復(fù)化公式。⑴基本思路我們知道，定積分不論在實(shí)際問題中的意義如何，在數(shù)值上都等于曲線，直線，與軸所圍成的曲邊梯形的面積，因此不管是以什么形式給出的，只要近似地算出相應(yīng)的曲邊梯形的面積，就得到所給定積分的近似值。⑵公式推導(dǎo)將曲線分成許多小段，在小范圍上用二次函數(shù)來近似代替被積函數(shù)，即用對(duì)稱軸平行于軸的拋物線上的一段弧來近似代替原來的曲線弧，從而算出定積分的近似值。這種方法叫做拋物線法。具體做法如下：用分點(diǎn)把區(qū)間分成（偶數(shù)）個(gè)長(zhǎng)度相等的小區(qū)間，各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為。曲線也相應(yīng)地被分成個(gè)小弧段，設(shè)曲線上的分點(diǎn)為，如右圖。我們知道，過三點(diǎn)可以確定一條拋物線，在每?jī)蓚€(gè)相鄰的小區(qū)間上經(jīng)過曲線上三個(gè)相應(yīng)的分點(diǎn)做一條拋物線，這樣可得到一個(gè)曲邊梯形，把這些曲邊梯形的面積加起來就可作為所求定積分的一個(gè)近似值。由于兩個(gè)相鄰區(qū)間決定一條拋物線，所以用這種方法時(shí)，必須將區(qū)間分成偶數(shù)個(gè)小區(qū)間。下面先來計(jì)算在上以過這樣三點(diǎn)的拋物線為曲邊的曲邊梯形的面積。首先，拋物線方程中的可由下列方程組確定：由此得：于是所求面積為：這曲邊梯形的面積只與的縱坐標(biāo)及底邊所在的區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)。由上述結(jié)果可知，過三點(diǎn)；過三點(diǎn)；；過三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積依次為：其中，把上面?zhèn)€曲邊梯形的面積加起來，就得到定積分的近似值：——⑥公式⑥叫拋物線法公式，也叫辛卜生（）公式。用公式法求定積分近似值時(shí)，一般來說，取得越大，近似程度就越好。⑶復(fù)化公式推導(dǎo)在區(qū)間不大時(shí)，用公式計(jì)算定積分是簡(jiǎn)單實(shí)用的，但當(dāng)區(qū)間較大時(shí)，用公式計(jì)算定積分達(dá)不到精度要求，為了提高計(jì)算的精度，先將區(qū)間分為等分（可以是奇數(shù)或偶數(shù)），得到個(gè)小區(qū)間，再在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)插入一個(gè)等分點(diǎn)，將分為和兩個(gè)小區(qū)間。這樣，就被化分為了2等分，對(duì)每個(gè)小區(qū)間應(yīng)用公式，然后相加，得到復(fù)化公式：———⑦式中上式為復(fù)化公式的一般表達(dá)式，代入上式，則得到求解近似值的復(fù)化公式，表述如下：同理可得到求解近似值的復(fù)化公式，表述如下：式中——待求點(diǎn)里程———正整數(shù)。測(cè)量計(jì)算中一般取4～12，應(yīng)視線型和計(jì)算精度而定?！€元上待求點(diǎn)方位角，通過公式④計(jì)算（注意的正負(fù)）——曲線元上等分點(diǎn)處的切線方位角——曲線元上等分點(diǎn)處的切線方