試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省紹興市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月選考科目診斷性考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知為拋物線上的一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，且，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若，則是等比數(shù)列8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則對所有這樣的函數(shù)，由下列條件一定能得到的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知圓和圓，則（

）A．圓的半徑為4B．軸為圓與的公切線C．圓與公共弦所在的直線方程為D．圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為110．由變量和變量組成的10個(gè)成對樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，記，則（

）A．變量正相關(guān)B．若，則C．經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過中的一個(gè)點(diǎn)D．11．已知函數(shù)，則（

）A． B．恰有5個(gè)零點(diǎn)C．必有極值點(diǎn) D．在上單調(diào)遞減12．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），是坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為1，則（

）A．為定值 B．C．與的面積相等 D．與的面積和為定值三、填空題13．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．14．人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代．目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從級別躍升到乃至級別．國際數(shù)據(jù)公司的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為2010年增長到．若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與年份的關(guān)系為，其中均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.15．過正三棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，若三棱錐與三棱臺(tái)的表面積之比為，則直線與底面所成角的正切值為.16．已知等比數(shù)列滿足且，則的取值范圍是．四、解答題17．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求的大??；(2)若，求.18．已知等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列前項(xiàng)的乘積，若，求的最大值．19．如圖，為正三角形，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．(1)證明：直線與直線相交；(2)求平面與平面夾角的余弦值．20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若，都有，求的取值范圍．21．機(jī)器人甲、乙分別在兩個(gè)不透明的箱子中取球，甲先箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放入箱子，然后乙再從箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放回箱子，這樣稱為一個(gè)回合．已知甲從箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為；乙從箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為．現(xiàn)兩個(gè)箱子各有除顏色外其它都相同的6個(gè)小球，其中箱子中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球；箱子中有2個(gè)紅球，4個(gè)白球．(1)求第一個(gè)回合甲從箱子取出的球中有2個(gè)紅球的概率；(2)求第一個(gè)回合后箱子和箱子中小球個(gè)數(shù)相同的概率；(3)兩個(gè)回合后，用表示箱子中小球個(gè)數(shù)，用表示箱子中小球個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．22．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線與該雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)．(1)當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求；(2)是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】利用定義域的求法化簡集合B，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算從而求解.【詳解】由題意知：，則，所以：.故A項(xiàng)正確.故選：A.3．B【分析】根據(jù)向量的模長可得，進(jìn)而由夾角公式即可求解.【詳解】由得，將代入可得，所以，所以，由于，所以，故選：B4．D【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可求解半徑，由表面積公式即可求解.【詳解】由正六棱柱的性質(zhì)可得為其外接球的球心（如圖）,由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故,所以,所以為外接球的半徑，故外接球表面積為，故選：D5．A【分析】構(gòu)造，求出單調(diào)性，求出中范圍，再判斷即可.【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，所以所以時(shí)，又因?yàn)?，故，解得，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A6．C【分析】設(shè)，由取得最小值，則最大，最小求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，最大，最小，且，故選：C7．B【分析】根據(jù)題意給出的條件進(jìn)行化簡，并結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)進(jìn)行逐項(xiàng)求解判斷.【詳解】對于A項(xiàng)：，得：，因?yàn)椋海缘茫?，所以：為等差?shù)列，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：，，所以：，，不滿足等差數(shù)列，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)：，，所以：，故：，數(shù)列為等比數(shù)列，故C項(xiàng)正確對于D項(xiàng)：，得：，因?yàn)椋?，所以：，即：，所以：為等比?shù)列，故D項(xiàng)正確.故選：B.8．C【分析】利用已知條件易得是周期為的奇函數(shù)，且是一條對稱軸，再結(jié)合各項(xiàng)判斷是否一定有成立即可.【詳解】由題設(shè)，即，所以是周期為的奇函數(shù)，且是一條對稱軸，當(dāng)時(shí)，則，，不符合當(dāng)時(shí)，則且，不符合；當(dāng)時(shí)，則，，故；當(dāng)時(shí)，則且，不符合；故選：C9．BD【分析】對于A項(xiàng)，將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式即得；對于B項(xiàng)，判斷圓心到直線的距離等于圓的半徑即得；對于C項(xiàng)，只需將兩圓方程相減化簡，即得公共弦直線方程；對于D項(xiàng)，需要結(jié)合圖像作出兩條和已知直線平行且距離等于1的直線，通過觀察分析即得.【詳解】

對于A項(xiàng)，由圓配方得：知圓的半徑為2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因圓心到軸的距離為1，等于圓的半徑，故圓與軸相切，同理圓心到軸的距離等于圓的半徑，圓與軸相切，故軸為圓與的公切線，故選項(xiàng)B正確；對于C項(xiàng)，只需要將與左右分別相減，即得圓與的公共弦所在的直線方程為：故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，如圖，因直線同時(shí)經(jīng)過兩圓的圓心，依題意可作兩條與該直線平行且距離為1的直線與，其中與和圓都相切，各有一個(gè)公共點(diǎn)，與和圓都相交，各有兩個(gè)交點(diǎn)，故圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.10．ABD【分析】根據(jù)回歸直線的相關(guān)性質(zhì)分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A:回歸方程一次項(xiàng)系數(shù)大于零是正相關(guān)，A正確；對于B:代入回歸直線可得，B正確；經(jīng)驗(yàn)回歸直線可以不經(jīng)過任意一個(gè)點(diǎn)，C錯(cuò)誤；根據(jù)回歸直線的求法最小二乘法值，回歸直線的殘差平方和最小，D正確.故選：ABD.11．BCD【分析】代入求值判斷A，根據(jù)零點(diǎn)定義結(jié)合余弦函數(shù)方程根判斷B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、單調(diào)性判斷CD.【詳解】對于A，，錯(cuò)誤；對于B，，令得，所以或，又，所以或或或或，解得或或或或，即恰有5個(gè)零點(diǎn)，正確；對于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在異號(hào)零點(diǎn)，則在必有極值點(diǎn)，正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，所以時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞減，正確.故選：BCD12．ABC【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立等式，化簡求出，為定值，可判斷A，根據(jù)直線斜率之間關(guān)系得到直線之間的關(guān)系可判斷，根據(jù)三角形面積公式即可判斷C,D.【詳解】由題意可得，直線所在直線方程為：，設(shè)到直線的距離為，則，因?yàn)?在橢圓上，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，所以，有，所以，，即，，故A正確，，，因?yàn)橐驗(yàn)椋?，所以，，代入得，，因?yàn)樵跈E圓上，有，即，所以，，即，故B正確，，，因?yàn)椋?，代入?故C正確，，，因?yàn)椴皇嵌ㄖ?故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】13．【分析】先求出的展開式的通項(xiàng)，然后即可求得的展開式中含的項(xiàng)，從而求解.【詳解】由題意得：展開式的通項(xiàng)為：，當(dāng)時(shí)，即：，得：，當(dāng)時(shí)；即：，得：，所以得：展開式中含項(xiàng)為：，所以的系數(shù)為：.故答案為：.14．1.5/【分析】通過題目數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，然后利用指數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意，，所以，所以，所以2022年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量，所以2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.故答案為：1.515．【分析】依題意可得，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)的邊長為，，即可表示出圖形的面積，從而得到的表面積，三棱臺(tái)的表面積，由表面積之比得到，再求出高，最后由銳角三角函數(shù)求解即可.【詳解】依題意過正三棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)的邊長為，，則，，，所以，，所以三棱錐的表面積，三棱臺(tái)的表面積，依題意，所以，取BC的中點(diǎn)D，則，因?yàn)闉檎忮F的高，所以平面ABC，且，則與底面所成角為，所以，所以，故直線與底面所成角的正切值為.故答案為：16．【分析】利用等比數(shù)列，將各項(xiàng)均用表示，然后構(gòu)造函數(shù)，分類討論和兩種情況下的單調(diào)性，進(jìn)而確定為使方程有解，的取值范圍.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以.令，則.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增，，所以一定有解，即，使得成立.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞增；，則，此時(shí)單調(diào)遞減.為使有解，則，整理得，解得.又，所以.綜上，的取值范圍是.故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化簡得，從而求出角；（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和公式求解，然后利用正弦定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?18．(1)或(2)【分析】（1）利用，和成等比數(shù)列結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí)，從而求出首項(xiàng)和公差，從而求解.（2）根據(jù)（1）中結(jié)果并結(jié)合題意進(jìn)行分情況討論，從而求解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由，得：；由成等比數(shù)列，得：，即：，整理得：.由，解得：或.所以：的通項(xiàng)公式為或.（2）因?yàn)椋裕?，得：?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.從而，又因?yàn)椋?，所以：的最大值?故的最大值為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，取中點(diǎn)，連接，即可證明共面，且其長度不相等，即可證明；（2）解法1：由條件可得為平面與平面的夾角，結(jié)合余弦定理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；解法2：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以，則四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，即共面，且長度不等，所以直線與直線相交．（2）解法1：由（1）知，平面即為平面．因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)闉檎切危c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面．又，所以平面，所以（或其補(bǔ)角）為平面與平面的夾角．不妨設(shè)，則，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．解法2：因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉檎切?，所以，所以平面，又，所以平面．以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即?。O(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即?。O(shè)平面與平面的夾角為，則．所以，平面與平面夾角的余弦值為．20．(1)(2)【分析】（1）由得到，再利用幾何意義求解；（2）將，都有，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)法求得其最大值即可.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，曲線在處的切線方程是，即．（2）因?yàn)?，都有，所以．設(shè)，則．記，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于，恒成立，則；對于，恒成立，則；對于，有解，則；對于，有解，則；21．(1)(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)結(jié)合條件概率求解即可.（2）根據(jù)概率公式進(jìn)行求解即可.（3）先求出隨機(jī)變量的值，再分別求出各自的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）在第一個(gè)回合中，記事件表示“甲從箱子中取出2個(gè)球”，事件表示“甲從箱子中取出3個(gè)球”，事件表示“甲從箱子取出的球中有2個(gè)紅球”，則（2）第一個(gè)回合后，箱子和箱子中小球個(gè)數(shù)相同，即甲從箱子中取出小球的個(gè)數(shù)與乙從箱子中取出小球的個(gè)數(shù)一樣，所以，．（3）每一個(gè)回合后，兩個(gè)箱子小球數(shù)都保持不變的概率，箱子小球數(shù)減少1個(gè)，箱子小球數(shù)增加1個(gè)的概率，箱子小球數(shù)增加1個(gè)，箱子小球數(shù)減少1個(gè)