備戰(zhàn)2022年山東高考數(shù)學(xué)仿真卷(12)

選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)

1.(5分)已知集合4={幻2*<4},B={x\x1-2x-X0},則4|jB=()

A.[-1,2)B.(2,3]C.(-1,3](-8,3]

【答案】D

【詳解】?.?A={x|x<2},8={x|-掇ijc3},

.-.v4|Jfi=(-oo,3].

故選：D.

2.(5分)已知事函數(shù)y=x"的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),則/(-3)=()

A.-9B.9C.3D.-3

【答案】B

【詳解】因?yàn)榛瘮?shù)y=x"的圖象過(guò)點(diǎn)(2,4),

所以2"=4,a=2,

y=/(x)=x2,

所以/(一3)=(-3尸=9.

故選：B.

3.(5分)已知a,/3e(0,—),且tan￡=cosa,則sin(a+2￡)=()

21+sincr

..73?41I

A.1BR?—C.—nD.一

222

【答案】A

【詳解】因?yàn)閠anyg="n」=cosa,可得sin#+sinasin尸=cosacos/?’

cosp1+sina

可得sin[3=cosacosp-sincrsin0=cos(a+J3),

又sinp=cos(y-/?),

可得cos(-^一4)=COS(6Z+4)>0,

因?yàn)閍,Pe(0,—),a+BQ(0,乃)，

可得a+/?w(0,]),

所以]-Q=a+/7,可得a+24=],

所以sin(a+2/9)=1.

故選：A.

4.（5分）已知AA8C是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,D、P是AA8C內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，且滿足而='（而+/）,

1

+

AP=AD8-則AAD尸的面積為（

B+c.D.75

AT3

【答案】A

【詳解】以A為原點(diǎn)，以BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.

;?等邊三角形△的邊長(zhǎng)為4,

B(-2,-25/3),C(2,-2石)，

由足通=,(而+/)=4(一2,-2x/3)+(2,-2^)]=(0,-x/3),

44

AP=AD+-BC=(0,-x/3)+-(4,0)=(-,-石)，

882

.?.44￡)f的面積為5=」|4方卜|。戶|=1'6'1=且，

2224

故選：A.

5.（5分）跑步是一項(xiàng)有氧運(yùn)動(dòng)，通過(guò)跑步，我們能提高肌力，同時(shí)提高體內(nèi)的基礎(chǔ)代謝水平，加速脂肪

的燃燒，養(yǎng)成易瘦體質(zhì).小林最近給自己制定了一個(gè)200千米的跑步健身計(jì)劃，他第一天跑了8千米，以

后每天比前一天多跑0.5千米，則他要完成該計(jì)劃至少需要（）

A.16天B.17天C.18天D.19天

【答案】B

【詳解】設(shè)需要〃天完成計(jì)劃，由題意易知每天跑步的里程為，以8為首項(xiàng)，0.5為公差的等差數(shù)列,

872+———-xO.5..200,

2

n~+31〃—800..0,

因?yàn)?（》）=》2+3k一800在（0,位）上單調(diào)遞增，

當(dāng)”=16時(shí)，162+3以16-800<0,

當(dāng)7=17時(shí),172+17X31-800>0,

故滿足條件的最小”=17.

故選：B.

6.（5分）明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤(pán)如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤(pán)如圖（2）所示,

北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤(pán)如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤(pán)的外輪廓均為橢圓.已知圖（1）,（2）,（3）中

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別為上,^|,與，設(shè)圖（1）,（2）,（3）中橢圓的離心率分別為q,%

6，則（）

=（1）?（2）。(3)

A.et>e3>e2B.e2>e3>C.>e2>e3D.e2>et>e3

【答案】A

【詳解】圖（1）,（2）,（3）中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別為!135610

圖（1）,（2）,（3）中橢圓的離心率分別為q,%,e,,

所以凳=^|7=/一中=普

HFg啜

因?yàn)轶?gt;工>2,

561013

所以q>%>4，

故選：A.

7.（5分）已知尸是拋物線。：丁=2內(nèi)的焦點(diǎn)，x=-2是拋物線C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N（0,。（730）,連接RV交

拋物線C于M點(diǎn)，MN+MF=6,則AO/W的面積為（）

A.6B.3C.2及D.4a

【答案】D

【詳解】?jx=-2是拋物線C的準(zhǔn)線，

-^=-2,即p=4,

則拋物線C：V=8x,焦點(diǎn)F(2,0),

vMN+MF=O,M,N,尸三點(diǎn)共線，

r.M為版的中點(diǎn)，

又?"(2,0),N(O,r),

將點(diǎn)M(l4)代入拋物線V=8x,

2

可得|=4四,

所以△ORV的面積為，|。尸|.|0川=！乂2、4忘=4應(yīng).

22

故選：D.

8.(5分)已知0<0,夕且3"-2sin/=9'-a,貝lj()

A.a</32B.a>/32C.a>2/3D.a<2/3

【答案】D

【詳解】設(shè)/'(x)=x-sinx,xe(0,—)>

則r(x)=i-cosx>o,即f(x)在(o,g上單調(diào)遞增，

所以"/'(X)>1/(0)=0,故x>sinx,

因?yàn)?"+a=2sin夕+9"=2sin4+32°<2"+32",所以g(c)<g(20,

令g（x）=3'+x,易得g（x）單調(diào)遞增，所以a<26.

故選：D.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）分別對(duì)函數(shù)y=sinx的圖象進(jìn)行如下變換:

①先向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將其上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)2倍，得到)，=/(x)的圖象；

②先將其上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，然后向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，

以下結(jié)論正確的是()

A.f(x)=g(x)

B.(f,0)為/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.直線x=-與為函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸

D./(x)的圖象向右平移(個(gè)單位長(zhǎng)度可得g(x)的圖象

【答案】BCD

【詳解】①將y=sinx先向左平移(個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin(x+0)的圖象，然后將其上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變

為原來(lái)2倍，得至lj/(x)=sin(；x+()；

②將y=sinx先將其上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得至Uynsin^x，然后向左平移亨個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

/、.r1/7t、、..171

g(x)=sm[-(x+-)]=sin(-x+工)?

2326

因?yàn)?(x)wg(x)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

1

萬(wàn)

2-3-k7i,kwZ,解得x=--±+2k7U,keZ,令k=l,則工=/，所以(上,0)為/(x)圖象的一個(gè)對(duì)

稱中心，故選項(xiàng)8正確；

—x+—=—+k/r,keZ,解得％=至+2女耳女eZ,令k=—\,則工=一也，所以直線工=一網(wǎng)為函數(shù)g(x)

262333

圖象的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)C正確；

/(x)=sin(—x+—)的圖象向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度可得y=sin[，(x-匹)+芻=sin(L+馬=g(x),故選項(xiàng)D

23323326

正確.

故選：BCD.

10.（5分）設(shè)x,y,zeR,且x>y>1,則下列不等式一定成立的是（）

A.x+->y+-B.202廠*<2022”

yx

C.yjlnxlny,,歷（":'）D.xz2>yz2

【答案】ABC

【詳解】時(shí)于A:x+，>y+，,轉(zhuǎn)換為y_,

yxxy

令/（f）=r+l,所以廣⑺=1_2，由于f>l,故廣⑺>0,故函數(shù)在（1,位）為單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確;

tr

對(duì)于B：當(dāng)z=1,x=2A,y=1.1時(shí)，202廣、=202「"，2022;-,2022旬」，

由于2021"=（」一）"=（—二嚴(yán)，

20212021"

2022皿=（」—嚴(yán)，

2022

由于函數(shù)y=x0J為單調(diào)遞增函數(shù),

故（―L-）01<（―!—嚴(yán)，故8正確；

2021"2022

對(duì)于C：由于x>y>l,

故Inx>0,Iny>0,

故J/nr/〃那僭；S=lny[xy/酒"；了）,

所以yllnxlny,,/〃（*；仁）,故C正確；

對(duì)于￡>：當(dāng)z=0時(shí)，疝2>尸2不成立，故￡）錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.（5分）我國(guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的唇長(zhǎng)損益相同

（皆是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，髻長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣及唇長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰

兩個(gè)節(jié)氣號(hào)長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始.己知每年冬至的號(hào)長(zhǎng)為一丈三尺五寸，夏至的署長(zhǎng)為一尺

五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說(shuō)法正確的是（）

尊長(zhǎng)逐漸受予

A.小寒比大寒的唇長(zhǎng)長(zhǎng)一尺

B.春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的號(hào)長(zhǎng)相同

C.小雪的號(hào)長(zhǎng)為一丈五寸

D.立春的唇長(zhǎng)比立秋的唇長(zhǎng)長(zhǎng)

【答案】ABD

【詳解】由題意可知，由夏至到冬至的懸長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列伍“},其中q=15,“3=135,則d=10,

同理可得，由冬至到夏至的署長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列也“},其中々=135,3=15,則d，=-10，

故大寒與小寒相鄰，小寒比大寒的署長(zhǎng)長(zhǎng)10寸，即一尺，故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)榇悍值奶?hào)長(zhǎng)為印，所以偽=伉+64'=135-60=75,

因?yàn)榍锓值拇介L(zhǎng)為％,所以q=q+64=15+60=75,

故春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的唇長(zhǎng)相同，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)樾⊙┑娜栝L(zhǎng)為4,所以知=4+10^=15+100=115，

又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的辱長(zhǎng)為一丈一尺五寸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)榱⒋旱能伴L(zhǎng)和立秋的辱長(zhǎng)分別為“，外,

所以％=4+3d=15+30=45,b&=b、+3/=135-30=105,

所以2>%,故立春的唇長(zhǎng)比立秋的唇長(zhǎng)長(zhǎng)，故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

12.（5分）正方體A88-A8C"中，E是棱OR的中點(diǎn)，F(xiàn)在側(cè)面8RG上運(yùn)動(dòng)，且滿足反尸//平

面ABE.以下命題正確的有（）

A.側(cè)面C￡>AG上存在點(diǎn)尸，使得線尸_LCR

B.直線與直線8c所成角可能為30。

C.平面ABE與平面CQ.G所成銳二面角的正切值為2起

D.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為I,則過(guò)點(diǎn)仄八A的平面截正方體所得的截面面積最大為苧

【答案】AC

【詳解】取GA中點(diǎn)M，CC中點(diǎn)N,連接用M,B、N,MN，

易證81N//AE,MN//A.B,

從而平面B、MN"平面ABE,

所以點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,

取尸為MV中點(diǎn)，

因?yàn)椤饔肕N是等腰三角形，

所以耳F_LMN,

又因?yàn)镸N//CR,

所以&F_LCA，

故A正確；

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，直線B7與直線8c所成角最大,

11

此時(shí)tan/C4F=tan30°,

所以B錯(cuò)誤;

平面與MN//平面A3E,

取廠為MV中點(diǎn)，則MN_LC/,MN工BF,

ZB.FC,即為平面B、MN與平面CQQC所成的銳二面角，

=也=2夜，

GF

所以C正確；

當(dāng)F為與MN交點(diǎn)時(shí)，易知截面為菱形AGC￡（G為8片中點(diǎn)），

因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1,

所以4G=G,EG=&,

此時(shí)截面面積可以為好,

2

故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

1烏

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)（3,也）且漸近線為y=±3x,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)____________.

3

【答案】--/=1

3

【詳解】根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=±等x,

V2V2

設(shè)雙曲線方程為上—上=〃/1*0）,

93

?.?雙曲線。過(guò)點(diǎn)（3,應(yīng)），

.?.---=2,即2

933

所求雙曲線方程為二-丁=1.

3.

故答案為：——y2=\.

3

14.（5分）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比q=前〃項(xiàng)和為S“，則又=_____________.

24

【答案】15

【詳解】對(duì)于§4=皿二心,%=。0,.?.園==15

1-qa4q（1-q）

15.（5分）2021年受疫情影響，國(guó)家鼓勵(lì)員工在工作地過(guò)年.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某市5個(gè)地區(qū)的外來(lái)務(wù)工人

員數(shù)與他們選擇留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的人數(shù)占比，得到如下的表格：

A區(qū)3區(qū)C區(qū)。區(qū)E區(qū)

外來(lái)務(wù)工人員數(shù)50004000350030002500

留在當(dāng)?shù)氐娜藬?shù)占80%90%80%80%84%

比

根據(jù)這5個(gè)地區(qū)的數(shù)據(jù)求得留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年人員數(shù)y與外來(lái)務(wù)工人員數(shù)x的線性回歸方程為

y=0.8135x+?.該市對(duì)外來(lái)務(wù)工人員選擇留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的每人補(bǔ)貼1000元，該市F區(qū)有10000名外來(lái)務(wù)

工人員，根據(jù)線性回歸方程估計(jì)F區(qū)需要給外來(lái)務(wù)工人員中留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的人員的補(bǔ)貼總額為萬(wàn)

元.(參考數(shù)據(jù)：取0.8135x36=29.29)

【答案】818.6

【詳解】山表知，x=1x(5000+4000+3500+3000+2500)=3600.

A,B,C,D,E五個(gè)地區(qū)的外來(lái)務(wù)工人員中，留在當(dāng)?shù)氐娜藬?shù)分別為5000x80%=4000,

4000x90%=3600,3500x80%=2800.3000x80%=2400.2500x84%=2100,

所以y=gx(4000+3600+2800+2400+2100)=2980，

因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在(丁，刃上，

所以2980=0.8135x3600+4,

解得&=51，

所以9=0.8135x+51,

當(dāng)x=10000時(shí)，y=0.8135x10000+51=8186,

所以估計(jì)F區(qū)需要給外來(lái)務(wù)工人員中留在當(dāng)?shù)剡^(guò)年的人員的補(bǔ)貼總額為8186x1000=818600元=818.6萬(wàn)

元.

故答案為：818.6.

16.(5分)正四棱柱中，AB=2,44=4,E為鉆的中點(diǎn)，點(diǎn)廠滿足￡尸=3尸動(dòng)

點(diǎn)M在側(cè)面A4QD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且MB//平面。足尸，則的取值范圍是.

【答案】［亞，3警］.

【詳解】因?yàn)槭钦睦庵?/p>

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)M(x,0,z),8(2,2,0),4(0,0,4),EQ,1,0),

因?yàn)橛?3定，所以下是CG四等分點(diǎn)(靠近C)，

所以尸(0,2,1),所以率=(2,1,-4),麻=(0,2,-3),

設(shè)平面REF的法向量為方=3,"。)，

2〃+/?-4c=0

2。-3c,=()

令c=2,則Q=3/=3,故斤=(2,3,2),

22

又M分=(2-乂2,-z),因?yàn)橥?/平面。山產(chǎn)，

所以碗J_/i,即碗?萬(wàn)=0,

所以2(2-x)+6-z=0,所以z=□一3%,

224

故刖乒7二昌g二匹不適，

因?yàn)轶琖2,怎出4,所以口―*xw[0,4],

24

解得xeg,1],故xe專(zhuān),2],

因?yàn)獒?言?=當(dāng)>2,所以|例0在xee,2]上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=q時(shí),，|M￡)|取最大值，

klx4)2-220x^+484r—

所以|MQ|的最大值為'——--------5------=久也，

45

當(dāng)x=2時(shí)，|M0取最小值，所以||的最小值為"1*2--220x2+484=舊，

4

所以的取值范圍是[而，空叵].

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且￡<cosA.

b

（1）求證：3是鈍角；

（2）請(qǐng)從下列四個(gè)條件中選擇三個(gè)；

①sinA=；②a=2；③c=①;?sinC=—.

22

是否存在A4BC滿足您選擇的這三個(gè)條件，若存在，求邊長(zhǎng)力的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】⑴證明：因?yàn)椤?lt;COS4,由正弦定理可得：包CvcosA,

bsin8

由于sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,且sin6>0,

所以不等式整理為sinAcosB+cosAsinB<sinBcosA,即sinAcosB<0,

由于在三角形中sinA>0,

所以cosBvO,

所以得證5為鈍角；

（2）。若滿足①②③，則正弦定理可得，-=即義=巫，所以sinC='，

sinAsinCV2sinC2

~T

又a>c,所以A>C,在三角形中，sinA=—,所以A=工或A=網(wǎng)，而由（1）可得A=工，

2444

所以可得C=工，B=7r-A-C=7t----=—,

64612

所以6=y]a2+c2-laccosB=^4+2-2x2x>/2x（-#及）=>/3+1.

萬(wàn)）若滿足①②④，由（1）5為鈍角，A,C為銳角，及sinA=?Z,sinC=g,可得4=巳，C=-,

2243

所以8=2不符合5為鈍角，故這種情況不成立；

12

/）若滿足②③④，由3為鈍角，sinC=y,所以C=（,而”>c,所以A>C,這時(shí)不符合3為

鈍角的情況，所以這種情況不成立；

綜上所述：只有滿足①②③時(shí)AABC存在，b=5/3+1.

18.（12分）為提高教育教學(xué)質(zhì)量，越來(lái)越多的高中學(xué)校采用寄宿制的封閉管理模式.某校對(duì)高一新生是

否適應(yīng)寄宿生活十分關(guān)注，從高一新生中隨機(jī)抽取了100人，其中男生占總?cè)藬?shù)的40%,且只有20%的男

生表示自己不適應(yīng)寄宿生活，女生中不適應(yīng)寄宿生活的人數(shù)占高一新生抽取總?cè)藬?shù)的32%,學(xué)校為了考查

學(xué)生對(duì)寄宿生活適應(yīng)與否是否與性別有關(guān)，構(gòu)建了如下2x2列聯(lián)表：

不適應(yīng)寄適應(yīng)寄宿合計(jì)

宿生活生活

男生

女生

合計(jì)

（1）請(qǐng)將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān);

（2）從男生中以“是否適應(yīng)寄宿生活”為標(biāo)準(zhǔn)采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽

取2人.若所選2名學(xué)生中的“不適應(yīng)寄宿生活”人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：=______Mad-bc)'______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.150.100.050.0250.010.001

P(K..k0)

k。2.0722.7063.8415.0246.63510.828

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下:

不適應(yīng)寄適應(yīng)寄宿合計(jì)

宿生活生活

男生83240

女生322860

合計(jì)4060100

計(jì)算…筆篇淖

因?yàn)?1.11>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為“適應(yīng)寄宿生活與否”與性別有關(guān);

（2）用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，有2人不適應(yīng)寄宿生活，8人適應(yīng)寄宿生活,

所以隨機(jī)變量X的取值可以是0,1,2；

計(jì)算尸（X=。）喈啥尸=箸?尸啥*,

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X012

P28161

454545

數(shù)學(xué)期望為E(X)=Ox"+lx竺+2x^=2.

4545455

19.（12分）已知數(shù)列｛4｝中，4=-9,且智■是2與%（〃eN*）的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛|4|｝的前”項(xiàng)和G.；

（2）設(shè)（=4%%…%，判斷數(shù)列",｝是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？若存在求出，不存在說(shuō)明理由.

]Qn-n2(4,5)

【答案】（1）G?=（2）見(jiàn)解析

25+(〃-5產(chǎn)(n..6)

【詳解】(1)數(shù)列｛〃"｝中，4=-9,且號(hào)是2與a,(〃eN*)的等差中項(xiàng).

整理得q,=2(常數(shù))，

故數(shù)列｛凡｝是以-9為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

所以q=-9+2(〃-l)=2n-ll.

當(dāng)兒.6時(shí),>0>

當(dāng)值,5時(shí)，v0，

2

所以當(dāng)4,5時(shí),Gn=\ax\+\a2\+...+1an|=-(q+4+...+?)=""+；~~—=10n—n,

當(dāng).6時(shí)，G〃=|q|+1%I+14I+1。61+…+11=-2(q+9+.??+%)+(4+〃2+..?+〃〃)=25+(九一5)~?

\0n-n2(%5)

故G”=

25+5-5)2(幾.6)

（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式％=2〃-12

可知：%應(yīng)各項(xiàng)都為負(fù)值，當(dāng)〃..6時(shí)，a“>0,

所以名>0,7；>0,

故區(qū)｝2=｛n，QM，區(qū)｝皿,,=｛工，小豈，Tn｝mi?,

由于（=63,（=945,

所以最大項(xiàng)為第4項(xiàng)，最大值為945.

由于7；=-945,Tb=-945,

當(dāng)〃..7時(shí)，an>\,所以7；沒(méi)有最小值，

20.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABCE>中，四邊形ABC。為平行四邊形，以BC為直徑的圓0（0為圓心）

過(guò)點(diǎn)A,5LAO=AC=AP=2,X4_L底面458,M為PC的中點(diǎn).

(1)證明：平面Q4M_L平面尸CD;

(2)求二面角O-MD-C的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)會(huì)3

31

【詳解】⑴證明：由題意點(diǎn)A為圓。上一點(diǎn)，則A8LAC

由%_1_底面鉆8,知R4_LAfi,

又PA「|AC=A,PA,ACu平面F4C,..45_L平面F4C,

?.?AWu平面ft4C,:.ABYAM,

???M為PC的中點(diǎn)，/.AMIPC.

■,CDp\PC=C,.?.AW_L平面尸8，

?.?AMu平面O4W,平面O4W_L平面PS.

(2)如圖，以A為原點(diǎn)，43為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,2,0),力(-26，2,0),M(0,1,1),0(61,0),

OM=(-V3,0,1),OD=(-3>/3,1,0),

設(shè)平面OM￡)的法向量為=(x,y,2),

.n-OM=-V3x+z=0皿廠廠

則n《_.廣，取x=l，得元=(1，,V3).

nOD=-3\J3x+y=0

由(1)知AW_L平面尸cr),

則平面CDM的一個(gè)法向量加=(0,1,1),

mn27186

/.cos<fn,n>=

\m\\n\31

由圖可知二面角O—MD-C的銳角,

則二面角O-ME＞-C的余弦值為2眄.

31

21.(12分)記焦點(diǎn)在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓E:]+V=1,橢圓E的

相似橢圓加經(jīng)過(guò)(2,1)點(diǎn).

(1)求橢圓M的方程;

(2)直線/與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),與橢圓M交于C,D兩點(diǎn)(4,B,C,。四點(diǎn)位置如圖)，若

|CO|=2|A8|,點(diǎn)N在直線/上，CWL直線/,求|ON|的取值范圍.

【詳解】(1)由條件可知，橢圓用的離心率6=立，

2

設(shè)橢圓M的方程為1?+丁=A(2H0)，代入點(diǎn)(2,1),

得4=3,

22

所以橢圓〃的方程為工+±=1.

(2)當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線/的方程為x=f(-及＜，＜夜)，

|A8|=2「^，|8|=25^，

由|8|=2|A8|,可得，解得f=±且，此時(shí)|。兇=逅;

V2V233

當(dāng)直線/與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=kx+m,

設(shè)%),B(X2,y2),C(x},y3),D(xt,%),

y=kx+m

由If,，^(l+2k2)x2+4ktwc+2m2-2=0,

—+y2=l

2,

△=16/1-4(1+2k2)(2/-2)=8(1+2&2-濟(jì))>0,即I+2k2>nr,

-4km2nr-2

y=kx+m

由12y2,得(1+242)12+4加a+2機(jī)2—6=0,

—+—=1

163

△=16公1-4(1+2k2)(2w2-6)=8(3+6公—機(jī)2)>0,即3+6公>>

UG、I-4km2nr-6

所以毛+'L耳赤''=用后

所以|AB|=?+k2yI?+w)2-例/=V1+k2,；+：)———

ICD|=J]+/J(x,+X4)2_4x/4=71+A2-"J：+：心：-"'

由|C￡>|=2|A例，可得1+2抬=3，"2,

nr\+2k221

所以|0N『=

\+k23(1+/)33(1+A:2)

所以lONfeg,|)

即|ON|e,

綜上可得，ION|的取值