向量的內(nèi)積正交向量組●向量的內(nèi)積（innerproduct)設有n維向量

稱數(shù)為向量與的內(nèi)積，記作，即。有矩陣的乘法運算，可知例如則●內(nèi)積的運算律：為同維向量，為實數(shù)?！裣蛄康拈L度平面內(nèi)徑向量的長度為A（x，y）Oxy如果，則稱

為向量的長度或范數(shù)，記作。即長度為1的向量，稱為單位向量。●向量長度的性質(zhì)（1）非負性（2）齊次性

（3）三角不等式

●向量的夾角如果，令稱為向量與的夾角。當時，夾角，稱向量與正交。零向量與任何向量正交。不含零向量的兩兩正交的向量組稱為正交向量組，簡稱為正交組。定理正交向量組是線性無關(guān)的。

證明設向量組是正交組假設數(shù)使得則因為所以從而線性無關(guān)●施密特（Schimidt）正交化方法如果向量組線性無關(guān)，則下列方法得到的向量組是正交組，且與向量組等價。如果將向量組單位化，得，則稱向量組為標準正交組或正交規(guī)范組。例將向量組正交規(guī)范化解令將單位化，得則為所求。例已知，求向量，使得成為正交組。解因為構(gòu)成正交組，因此，向量的分量應滿足解得基礎(chǔ)解系

令所以有則構(gòu)成正交組，●標準正交組與正交矩陣、正交變換以標準正交組，構(gòu)成矩陣P，則

定義如果一個方陣P滿足（或），則稱矩陣P為正交矩陣。相應地，線性變換

稱為正交變換。例證明矩陣是正交矩陣?！裾痪仃?、正交變換的性質(zhì)3、正交矩陣的行向量組及列向量組都是標準正交組。同時，n個n維的標準正交組，可構(gòu)成正交矩陣。4、正交變換不改變向量的內(nèi)積，因而，不改變向量的長度及夾角。1、正交矩陣P是可逆的，且2、如果矩陣P是正交矩陣，則或設有正交變換，且證明4

方陣的特征值與特征向量定義●方陣的特征值與特征向量（eigenvalue)（eigenvector)例解試確定是否為A的特征向量。是，不是。命題1命題2命題3非零向量是n階方陣A的特征向量

向量與向量共線如果是方陣A的對應于特征值的特征向量，則也是方陣A的對應于特征值的特征向量。矩陣A的任一特征向量所對應的特征值是唯一的。它有非零解的充分必要條件是即有非零解●矩陣的特征方程和特征多項式A的特征方程A的特征多項式特征值是特征方程或特征多項式的根●求矩陣的特征值與特征向量的步驟構(gòu)造矩陣A的特征方程2.求特征方程的根，得特征值3.對每個特征值，解齊次線性方程組得特征向量。例求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為即當時，解線性方程組得基礎(chǔ)解系對應的特征向量可取為當時，是對應于的全部特征向量；是對應于的全部特征向量；例求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為得方陣A的特征值為得基礎(chǔ)解系當時，解齊次線性方程組對應于的全部特征向量為當時，解齊次線性方程組對應于的全部特征向量為（不同時為零）練一練求特征值與特征向量解答特征值為：對應于特征值1的特征向量為對應于特征值2的特征向量為●特征值和特征向量的性質(zhì)（1）0是方陣A的特征值（2）如果n階方陣A的全部特征值為，則（3）如果是的特征值，則是的特征值。（4）如果是的特征值，則是的特征值。（5）如果是的特征值，則是的特征值。（6）對角形矩陣的特征值為定理設是方陣A的對應于不同的特征值的特征向量，則線性無關(guān)?！駥崒ΨQ矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)所有元素都是實數(shù)的對稱矩陣，稱為實對稱矩陣。性質(zhì)1實對稱矩陣的所有特征值都是實數(shù)。性質(zhì)2實對稱矩陣的對應于不同特征值的特征向量是正交的。如實對稱矩陣定理1:對稱矩陣的特征值必為實數(shù)。定理2:對稱矩陣的不同特征值所對應的特征向量正交。A是對稱矩陣定理3:設A是n階對稱矩陣，λ是A的特征方程的r重根，則對應特征值λ恰有r個線性無關(guān)的特征向量。例求對稱矩陣的特征值和特征向量解A