PAGEPAGE1河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2024屆高三高考模擬信息卷&押題卷數(shù)學(xué)試題（一）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得，所以，故選：C.2.已知,且,則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)則所以得則所以解得故選：.3.某惠民醫(yī)院開展“關(guān)愛健康，守護生命，服務(wù)老人”的義診活動，需要臨時從某科室中抽調(diào)3名醫(yī)護人員，已知該科室現(xiàn)共有3名醫(yī)生和4名護士.為了保障醫(yī)院工作正常運作，該科室內(nèi)至少需要留有1名醫(yī)生和2名護士，則不同的抽調(diào)方案共有（）A.72種 B.36種 C.30種 D.18種〖答案〗C〖解析〗要使科室內(nèi)至少留有1名醫(yī)生和2名護士，則有以下兩類情況：①抽調(diào)的3名醫(yī)護人員由2名醫(yī)生1名護士組成，則有種;②抽調(diào)的3名醫(yī)護人員由1名醫(yī)生2名護士組成，則有種.所以不同的抽調(diào)方案共有種.故選：C.4.已知為坐標原點，，，則（）A. B.0 C. D.隨變化而變化〖答案〗A〖解析〗由題意，，，∴∴，故選：A.5.已知函數(shù)，，則（）．A.的圖象關(guān)于y軸對稱，的圖象關(guān)于點對稱B.的圖象關(guān)于y軸對稱，的圖象關(guān)于y軸對稱C.的圖象關(guān)于原點對稱．的圖象關(guān)于點對稱D.的圖象關(guān)于原點對稱．的圖象關(guān)于y軸對稱〖答案〗D〖解析〗任意，，且，故的圖象關(guān)于原點對稱；任意，，則，故是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對稱.故選：D．6.為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時搭建城市共建共享平臺，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點位，接受市民贈送的休閑長椅.其中觀景草坪上一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知和是圓的兩條互相垂直的直徑，將平面沿翻折至平面，使得平面平面（如圖2）此時直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，而平面平面，平面平面，又平面平面，則平面，，因此直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，令圓半徑，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.7.已知為坐標原點.等軸雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與的右支交于點P，Q.設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別是M，N，直線，的斜率分別是，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓和三邊分別相切于點,則且設(shè)直線的傾斜角為，則,同理，,等軸雙曲線知，,故選：A.8.物種多樣性是指一定區(qū)域內(nèi)動物、植物、微生物等生物種類的豐富程度，關(guān)系著人類福祉，是人類賴以生存和發(fā)展的重要基礎(chǔ).通常用香農(nóng)-維納指數(shù)來衡量一個群落的物種多樣性.，其中為群落中物種總數(shù)，為第個物種的個體數(shù)量占群落中所有物種個體數(shù)量的比例.已知某地區(qū)一群落初始指數(shù)為，群落中所有物種個體數(shù)量為，在引人數(shù)量為的一個新物種后，指數(shù)（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗記初始物種數(shù)量為，第個物種的個體數(shù)量，所以，則,,所以，在引人數(shù)量為的一個新物種后，物種數(shù)量為，所有物種的個體數(shù)量為，第個物種即為引入的新物種，個體數(shù)量為,則，，所以，結(jié)合①②可得:.故選:A.二、選擇題9.已知正數(shù)，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因為，所以，C正確；又因為在上單調(diào)遞增，所以，A正確；不妨取，則，B錯誤；因為，所以，又在R上單調(diào)遞增，所以，D錯誤.故選：AC.10.已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.若，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，若當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，符合數(shù)列特征，故A錯誤；對于B，由A中數(shù)列，當，，時滿足，此時，，，，故D錯誤；令，則，所以，故數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；故選：BC11.已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若A，B，C三點共線，則C.若向量與垂直，則的最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為〖答案〗AD〖解析〗在平面直角坐標系中，令，由，，得，，則，對于A，，因此，A正確；對于B，由三點共線，得，即，于是，解得，即，B錯誤；對于C，，由向量與垂直，得，而，則，當且僅當時取等號，C錯誤；對于D，令向量與的夾角為，，當時，，，當時，不妨令，，則，，顯然，，當且僅當時取等號，D正確故選：AD12.已知動點在圓上，動點在圓上，且以為直徑的圓過坐標原點，則（）A.是定值B.不是定值C.存在定點，使得點到線段的中點的距離是一個定值D.以P，Q為焦點，且過原點的所有橢圓中，離心率的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗因為圓上，圓心,半徑為，圓，圓心,半徑為，則兩圓關(guān)于原點對稱，設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為,則點在圓上，即點為的中點，又以為直徑的圓過坐標原點，所以,則，則且為圓的直徑，則，為定值，A正確；,為定值，則B錯誤；設(shè)，，因為是線段的中點，則，因為點滿足方程，代入并化簡可得，所以點的軌跡是圓，則存在定點,使得點到線段的中點的距離是一個定值,故C正確；根據(jù)橢圓的定義知，,當且僅當時，等號成立，故，故，離心率的最小值為，故D正確，故選：ACD三、填空題13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則______.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,所以解得當時,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以解得所以當時,滿足所以故〖答案〗為：14.設(shè)同一隨機試驗中的兩個事件A，B滿足，，，則______.〖答案〗〖解析〗由，得；由全概率公式：，則.故〖答案〗是：.15.已知函數(shù)滿足：對于任意正整數(shù)，．若使得不等式成立的最小正整數(shù)是2023，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，令得，所以當為正整數(shù)時，由等差數(shù)列的通項公式，得．由題意知，解得．故〖答案〗為：.16.已知圓，拋物線.若對于上任意一點，使得對圓上任意兩點A，B，總有，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)直線分別與圓M切于點，設(shè)，因為對于上任意一點，使得對圓上的任意兩點A，B，總有，所以,即，所以，即,設(shè)，則，又，設(shè)，對稱軸，，當，即時，在時當時，此時滿足題意，當時，若時在時不合題意，所，即，所以時，在時當時，即,化簡得，解得，所以，綜上：，故〖答案〗為：.四、解答題17.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，依次成等比數(shù)列.（1）求；（2）若，且，求.解：（1）在中，由成等比數(shù)列，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.（2）令，則，在與中，由余弦定理得，即，即，由（1）知，聯(lián)立解得，所以.18.已知正項數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，證明：.（1）解：由已知得，令，則，即，所以數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，所以，即，則，故；（2）證明：由已知得，其中，所以，當時，，所以.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當時，.（1）解：函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，于是，有，當時，則，因此，所以.20.如圖，四棱錐的底面為菱形，，，，.（1）證明：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：在四棱錐中，四邊形是菱形，由，，，得，則，即，而，于是，取中點，連接，由，得是正三角形，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此，而為中點，所以.（2）解：由（1）知，平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過作，平面平面，則平面，于是直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為，則，在中，，，則，，設(shè)平面、平面的法向量分別為，則，令，得，則，令，得，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.桌面上放有一個四個面分別標有字母A，B，C，D的正四面體.若將該正四面體輕輕推倒，其與桌面接觸的面會隨之更換，且其他各面與桌面接觸的可能性均相等.現(xiàn)將該正四面體標有字母的面與桌面接觸，每次將其輕輕推倒后，標有字母B，C，D的面等可能地與桌面接觸.將該正四面體推倒次后，記事件“標有字母B，C，D的三個面均與桌面有過接觸”發(fā)生的概率為.（1）當時，記標有字母B，C，D的三個面與桌面有過接觸的面的個數(shù)為隨機變量；當時，記標有字母B，C，D的三個面與桌面有過接觸的面的個數(shù)為隨機變量，求隨機變量X，Y的數(shù)學(xué)期望；（2）記，若存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，求實數(shù)的值，并求.解：（1）根據(jù)題意,每次推到后，標有字母B，C，D的面與桌面接觸的概率均為，則隨機變量的所有可能取值為，且,,,則的分布列為：123故隨機變量的所有取值可能為，,,,則的分布列為：123故（2）根據(jù)題意，,當時，在次推到后，標有字母B，C，D的三個面均與桌面有過接觸，有兩種情況，第一種是次推到后，B，C，D的三個面均與桌面有過接觸，這種情況的概率為，第二種情況是次推到后，B，C，D的三個面只有兩個面與桌面有過接觸，第次推到后，剩余的一面與桌面接觸，這種情況的概率為，所以當時，，所以,,若為等比數(shù)列，設(shè)公比為，即，，解得,則,故時，是以為首，以為公比的等比數(shù)列，則，則，所以.22.已知長為3的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，動點滿足，記點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）若與軸非負半軸交于點，過點作與以點為圓心，為半徑的圓相切的直線，，且，分別交于點M，N，