控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.1穩(wěn)定性的基本概念5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.4對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)習題

5.1穩(wěn)定性的基本概念

5.1.1穩(wěn)定性的定義如果系統(tǒng)在擾動作用下偏離了原來的平衡狀態(tài),當擾動消失后,系統(tǒng)能夠以足夠的準確度恢復到原來的平衡狀態(tài),則系統(tǒng)是穩(wěn)定的;否則,系統(tǒng)就不穩(wěn)定。穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉擾動以后自身的一種恢復能力,所以是系統(tǒng)的一種固有特性。這種固有的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)而與初始條件及外部作用無關。

下面通過圖5－1來直觀地描述穩(wěn)定的概念。圖5－1中小球處于一種平衡狀態(tài),此時,若小球受到外界擾動而分別運動到圖中虛線小球的位置,當外力去掉后,在自身重力和慣性的作用下,圖5－1(a)中的小球經(jīng)過幾次反復振蕩后,會回到原來的平衡位置,我們稱這種小球的運動是穩(wěn)定的。而圖5－1(b)中的小球在外力去掉后,無論經(jīng)過多長時間都不會回到原來的平衡位置,顯然這種小球的運動是不穩(wěn)定的。圖5－1穩(wěn)定性定義示意圖

5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件

脈沖信號可看做一種典型的擾動信號。根據(jù)穩(wěn)定的定義,若系統(tǒng)的脈沖響應收斂,即

則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

設系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

若閉環(huán)極點為互不相同的單根,則脈沖響應的拉氏變換為

式(5－1)表明,所有特征根均具有負的實部是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。同時可確定,如果系統(tǒng)的所有特征根均具有負的實部,則c(t)收斂且穩(wěn)態(tài)值為零。所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必

要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的所有根都具有負的實部,或者說所有閉環(huán)特征根均位于左半復平面。這個結(jié)論非常重要,所有討論線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù),都是從這個結(jié)論出發(fā)的。

若有一個閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點落在右半復平面,則線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。若閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點落在虛軸上,則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),脈沖響應呈現(xiàn)等幅振蕩。系統(tǒng)的脈沖響應曲線

如圖5－2所示。圖5－2系統(tǒng)的脈沖響應曲線

顯然,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點無關。判定系統(tǒng)穩(wěn)定性有四種方法:

(1)直接對線性系統(tǒng)的特征方程求解。

(2)根軌跡法。根軌跡法是一種圖解方法,使用起來十分方便。

(3)勞斯穩(wěn)定判據(jù)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是線性系統(tǒng)的代數(shù)判據(jù)。

(4)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是頻域穩(wěn)定判據(jù)。

(5)對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。將奈氏穩(wěn)定判據(jù)引申到Bode圖上,以Bode圖的形式表現(xiàn)出來。

5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)

5.2.1判定系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設系統(tǒng)特征方程式為

系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)都存在,并且都是正數(shù)(如果都是負數(shù),可在等號兩端乘以-1,使其變成正數(shù)),這只是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,而不是充分條件。滿足必要條件的一、二階系統(tǒng)一定穩(wěn)定,但是滿足必要條件的高階系統(tǒng)未必穩(wěn)定,因此高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性還需要用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來判斷。

5.2.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)為數(shù)據(jù)表的形式,見表5－1。表5－1稱為勞斯陣列或勞斯表。表中前兩行由特征方程的系數(shù)直接構(gòu)成,其他各行的數(shù)值根據(jù)前兩行逐行計算。勞斯表各行元素的數(shù)值計算方法如下:

勞斯判據(jù):系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表中第一列元素都大于0,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。當系統(tǒng)不穩(wěn)定時,第一列元素符號(正負)改變的次數(shù),等于系統(tǒng)特征方程中正實部根的個數(shù)。

5.2.3一階至四階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判定

1.一階系統(tǒng)

根據(jù)一階系統(tǒng)的特征方程

可得一階系統(tǒng)的勞斯表為

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù),當a0>0,a1>0時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.二階系統(tǒng)

根據(jù)二階系統(tǒng)的特征方程

可得二階系統(tǒng)的勞斯表為

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù),當a0>0,a1>0,a2>0時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3.三階系統(tǒng)

根據(jù)三階系統(tǒng)的特征方程

可得三階系統(tǒng)的勞斯表為

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù),當a0>0,a2>0,a3>0且a1a2>a0a3時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4.四階系統(tǒng)

根據(jù)四階系統(tǒng)的特征方程

可得四階系統(tǒng)的勞斯表為

5.2.4勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,有時會遇到以下兩種特殊情況,使得勞斯表中的計算無法進行到底,因此需要進行相應的數(shù)學處理,處理的原則是不影響勞斯穩(wěn)定

判據(jù)的判斷結(jié)果。

(1)勞斯表中某行的第1列元素為零,而該行其余各元素不為零,或不全為零。此時,計算勞斯表下一行的第1列元素時,將出現(xiàn)無窮大,從而使勞斯穩(wěn)定判據(jù)的運用失效。

由勞斯表可知,第3行(s2行)第1列元素為零,其余元素不全為零。此時,下一行第1列元素為無窮大。為了克服這一困難,在此用一個無限小的正數(shù)ε來代替第3行第1列為零的元素,從而繼續(xù)列寫勞斯表,即

(2)勞斯表中出現(xiàn)全零行。這種情況表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根。如兩個大小相等但符號相反的實根或一對共軛純虛根,或者是對稱于實軸的一

對共軛復根。

當勞斯表中出現(xiàn)全零行時,可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程F(s)=0,并將輔助方程對復變量s求導,用所得導數(shù)方程的系數(shù)取代全零行的元素,便可按勞斯穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)進行運算,直到得出完整的勞斯計算表。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù),它表明數(shù)值相同但符號相反的根數(shù)。所有那些數(shù)值相同但符號相異的根,均可由輔助方程求得。

用導數(shù)方程的系數(shù)取代全零行相應的元素,繼續(xù)運用勞斯表的計算規(guī)則進行運算,可得

5.2.5穩(wěn)定裕度

勞斯穩(wěn)定判據(jù)解決的是系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的問題。它除了可以用來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性外,還可以確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。

在系統(tǒng)分析、設計中,往往還希望知道系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度,即一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)距臨界穩(wěn)定狀態(tài)還有多大的裕度,該相對穩(wěn)定程度稱為穩(wěn)定裕度。在時域分析中,穩(wěn)定裕度常用實部最大的特征根和虛軸之間的距離來描述。

利用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定裕度σ的方法為:

令s=z-σ,代入原系統(tǒng)特征方程,得出以z為變量的方程,然后將勞斯穩(wěn)定判據(jù)應用于新的方程。若新方程滿足勞斯穩(wěn)定判據(jù),則系統(tǒng)的特征根都落在復平面中直線s=-σ的左半部分,即具有σ以上的穩(wěn)定裕度。

列勞斯表得

第一列的元素符號改變了1次,表示原方程有1個根在垂線s=-1的右方。

5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

線性定常系統(tǒng)在時域中由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在頻域中,最常用的是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡稱奈氏判據(jù)),它利用開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5.3.1輔助函數(shù)的構(gòu)造

對于如圖5－3所示的控制系統(tǒng),若其開環(huán)傳遞函數(shù)為

則相應的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖5－3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

綜上所述,可以看出輔助函數(shù)F(s)具有以下特點:

(1)輔助函數(shù)F(s)是閉環(huán)特征多項式和開環(huán)特征多項式之比,其零點和極點分別為系統(tǒng)的閉環(huán)極點和開環(huán)極點。

(2)輔助函數(shù)F(s)的零點和極點的個數(shù)相同,都是n個。

(3)輔助函數(shù)F(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)之間只相差一個常數(shù)1,故其幾何意義為:F平面上的坐標原點就是G平面上的點(-1,j0),如圖5－4所示。圖5－4F平面與G平面的關系圖

5.3.2輻角原理

1.開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定下的輻角原理

設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其特征方程可表示為如下形式:

式中,p1,p2,…,pn是特征方程的根,它可以是實數(shù)根,也可以是復數(shù)根。將方程中的因子s用jω取代后可得到特征函數(shù)D(jω):圖5－5不同極點情況下的輻角原理

2.輔助函數(shù)F(jω)的輻角變化與閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性關系

輔助函數(shù)的表達式為

結(jié)論:當系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定時,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是輔助函數(shù)的總輻角變化∠F(jω)=0;相反,如果當ω由0→∞時,輔助函數(shù)總輻角變化∠F(jω)≠0,則閉環(huán)系統(tǒng)

不穩(wěn)定。

5.3.3奈奎斯特圖判定法

1.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)描述之一

利用開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法之一為:根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的奈奎斯特圖形是否包圍復平面上的(-1,j0)點來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果開環(huán)系統(tǒng)是

穩(wěn)定的,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特圖不包圍(-1,j0)點,如圖5－6(a)所示;如果圖形包圍了(-1,j0)點,則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,如圖5－6(c)所示;如果圖形正好經(jīng)過(-1,j0)點,則閉環(huán)系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng),如圖5－6(b)所示。圖5－6奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

2.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)描述之二

利用開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的方法之二為:根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特圖形與單位圓和負實軸交點的位置來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定,則閉環(huán)穩(wěn)

定的充要條件是:當ω由0→∞時,開環(huán)奈奎斯特圖形先相交于單位圓(對應的頻率為ωc),然后才與負實軸相交(對應的頻率為ωg);相反,如果開環(huán)奈奎斯特圖形先相交于負實軸(對應的頻率為ωg),然后才與單位圓相交(對應的頻率為ωc),則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。如圖5－7所示,曲線1為穩(wěn)定系統(tǒng),曲線2為不穩(wěn)定系統(tǒng)。圖5－7依據(jù)奈氏圖與單位圓及負實軸的關系判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定

3.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)說明

關于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的兩點說明如下:

(1)以上兩種奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的描述都是在假設開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,來判別閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的,那么對于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng),閉環(huán)仍有可能穩(wěn)定。此種情況下,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:當ω由0→+∞變化時,開環(huán)頻率特性G(jω)的奈奎斯特曲線逆時針包圍點(-1,j0)的周數(shù)N,等于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)位于右半平面的極點數(shù)P。即當N=P時,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)當開環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)時,開環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖形是不封閉的。當傳遞函數(shù)中只包含一個積分環(huán)節(jié)時,奈氏圖的起始點位于負虛軸的無窮遠處;當包含兩個積分環(huán)節(jié)時,起始點位于負實軸的無窮遠處。為了判別圖形是否包圍(-1,j0)點,可以從正實軸到圖形起始點間用一個R=∞的輔助圖連接起來,從而產(chǎn)生一個封閉圖形,如圖5－8所示。然后根據(jù)圖形是否包圍了(-1,j0)點,對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判定。圖5－8包含積分環(huán)節(jié)的輔助的圓判定

5.3.4奈奎斯特判據(jù)舉例

例5－5某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解由于開環(huán)特征方程的根均為負實數(shù),故開環(huán)穩(wěn)定,因為是0型系統(tǒng),只包含兩個慣性環(huán)節(jié),如圖5－9(a)所示,所以奈奎斯特圖在第Ⅳ、Ⅲ象限,故圖形不包含(-1,j0)點,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。事實上,從系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可以看到,當ω由0→∞變化時,∠G(jω)=-arctanT1ω-arctanT2ω,相頻在ω=∞時∠G(jω)=-180°,即曲線終止于第三象限,而到不了第二象限,因此與負實軸無交點。無論k取何值,系統(tǒng)始終穩(wěn)定。圖5－9多個慣性環(huán)節(jié)的奈奎斯特圖

例5－6系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中,T1=0.1s,T2=0.05s,T3=0.01s。試求當k取多大值時,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

當T4取小值時,微分環(huán)節(jié)在高頻時起作用,開環(huán)奈奎斯特圖有可能包圍(-1,如圖5－10中曲線1所示;當T4取大值時,微分環(huán)節(jié)在低頻時就開始起作用,開環(huán)奈奎斯特圖有凹凸形狀,曲線不包圍(-1,j0)點,如圖5－10中曲線2所示。

所以當T4取大值時,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;當T4取小值時,閉環(huán)系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。j0)點,圖5－10Ⅰ型系統(tǒng)穩(wěn)定性分析圖5－11Ⅱ型系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

由以上例題的分析可以得到如下結(jié)論:

(1)開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)越多,系統(tǒng)型次越高,則開環(huán)奈氏圖就越容易包圍(-1,j0)點,閉環(huán)系統(tǒng)就越不容易穩(wěn)定。一般系統(tǒng)的型次不應超過Ⅱ型。

(2)微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)越大,則在低頻時就開始影響奈氏圖的軌跡形狀,使系統(tǒng)越容易穩(wěn)定;微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)越小,只在高頻時對奈氏圖軌跡起作用,這樣對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越是不利。

5.4對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

控制系統(tǒng)的頻率特性極坐標圖與對數(shù)坐標圖有著互相對應的關系。伯德穩(wěn)定判據(jù)可以認為是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的又一種描述方法。伯德判據(jù)是從系統(tǒng)開環(huán)伯德(Bode)圖上對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判別的,它在描述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性與穩(wěn)定儲備這些概念時,更直觀清晰。

5.4.1系統(tǒng)開環(huán)Bode圖與開環(huán)奈氏圖的對應關系

(5)奈氏圖如果順時針包圍(-1,j0)點,則曲線先與負實軸相交于ωg點,然后才與單位圓相交于ωc點,即ωg<ωc。這就相當于Bode圖中相頻曲線先與-180°線相交于ωg點,

然后幅頻特性曲線才與零分貝線相交于ωc點,如圖5－12(a)所示。如果奈氏圖不包含(-1,j0)點,則曲線先與單位圓相交于ωc,然后才與負實軸相交于ωg,即ωc<ωg。這就相當于對數(shù)Bode圖中幅頻曲線先在ωc點處與零分貝線相交,然后相頻曲線才于ωg點處與-180°線相交,如圖5－12(b)所示。圖5－12Bode圖穩(wěn)定判據(jù)

5.4.2對數(shù)Bode圖穩(wěn)定判據(jù)的描述

當系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定時,在開環(huán)對數(shù)Bode圖對應的幅頻和相頻特性曲線中,由幅頻特性曲線過零分貝線對應頻率ωc處,向下做平行于虛軸的虛線,與對數(shù)相頻特性有一交點,若交點對應的相位為φ(ωc)且-180°<φ(ωc)<0°,即閉環(huán)系統(tǒng)滿足相頻條件,則相位裕度條件滿足;再由相頻特性曲線與-180°線的交點向上做平行于虛軸的線,與對數(shù)幅頻特性曲

線相交,對應交點的幅值為L(ωg),若L(ωg)<0dB,則說明幅值裕度條件滿足,見圖5－12(b),可以看出ωc<ωg,這時閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

若φ(ωc)<-180°,即閉環(huán)系統(tǒng)不滿足相頻條件,相位裕度不滿足穩(wěn)定要求;若L(ωg)>0dB,則說明幅值裕度也不滿足要

求,見圖5－12(a),可以看出,ωg<ωc,這時閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對數(shù)Bode圖穩(wěn)定判據(jù)的判別與奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)中利用單位圓與奈氏圖相角來判別的結(jié)論是一致的。

5.4.3系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性———穩(wěn)定裕度的計算

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是基于G(jω)開環(huán)奈氏曲線對點(-1,

j0)的包圍情況來定義的。實際上,如果奈氏曲線不包圍(-1,

j0)點,則系統(tǒng)穩(wěn)定,且曲線越遠離該點,系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越好。因此用G(jω)曲線對點(-1,j0)的接近程度來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。通常,這種接近程度是以相位裕度γ和幅值裕度Kg來表示的。

1.相位裕度γ圖5－13相位裕度和幅值裕度的定義圖5－14穩(wěn)定裕度在Bode圖上的表示

2.幅值裕度

G(jω)的奈氏曲線與負實軸交點處的頻率ωg稱為相角交界頻率,此時幅相特性曲線的幅值為A(ωg),如圖5－13所示,其值的倒數(shù)定義為幅值裕度Kg

在對數(shù)坐標圖上,有

例5－10某單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)具有開環(huán)傳遞函數(shù)

試分析當K值分別取10和100時系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

解當K=10、K=100時,分別繪制系統(tǒng)Bode圖,如圖5－15(a)、(b)所示。比較圖5－15(a)、(b)可知,K=100時的幅頻圖比K=10時的幅頻圖從坐標上上移了20dB,二

者形狀相同,而它們的相頻圖則完全一致。由圖可見,當K=10時,系統(tǒng)的相位裕度γ=21°,幅值裕度20lgKg=8dB。

當K=100時,由于增益交界頻率的右移導致系統(tǒng)的相位裕度γ=-30°,幅值裕度20lgKg=-12dB。

由此可知,隨著增益K的提高,閉環(huán)系統(tǒng)逐漸地由穩(wěn)定系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。

圖5－15增益K對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

例5－11設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分析當阻尼系數(shù)ζ很小時(ζ=0)閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

解由于ζ很小,系統(tǒng)將在固有頻率附近發(fā)生幅值共振,其Bode圖形狀如圖5－16所示。由圖可知,系統(tǒng)的相位裕度γ很大,而幅值裕度Kg卻很小,這是由于當ζ很小時二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性峰值很高所致。所以如果僅以相位裕度γ來評定該系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,將會得出系統(tǒng)穩(wěn)定程度高的結(jié)論。而實際上由于ζ很小,系統(tǒng)的穩(wěn)定程度并不高。因此,同時依據(jù)相位裕度γ和幅值裕度K