-2024學(xué)年石家莊市正定縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（

）A．2 B． C． D．2．圓與圓的位置關(guān)系為（

）．A．外切 B．相交 C．相離 D．內(nèi)切3．在三棱柱中，為中點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的是（）A． B．C． D．4．已知數(shù)列滿足，且，則的值是（

）A． B．5 C．4 D．5．已知A是拋物線C：上的點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．6．已知橢圓，是橢圓的一條弦的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．將一個(gè)頂角為120°的等腰三角形（含邊界和內(nèi)部）的底邊三等分，挖去由兩個(gè)等分點(diǎn)和上頂點(diǎn)構(gòu)成的等邊三角形，得到與原三角形相似的兩個(gè)全等三角形，再對(duì)余下的所有三角形重復(fù)這一操作．如果這個(gè)操作過(guò)程無(wú)限繼續(xù)下去…，最后挖剩下的就是一條“雪花”狀的Koch曲線，如圖所示已知最初等腰三角形的面積為1，則經(jīng)過(guò)4次操作之后所得圖形的面積是（

）A． B． C． D．8．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)與平面所成角為，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．（多選題）已知函數(shù)滿足，，則下列關(guān)于的圖象描述正確的是（

）A．的圖象在處的切線斜率大于B．的圖象在處的切線斜率小于C．的圖象在處位于軸上方D．的圖象在處位于軸下方10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)，最大 D．當(dāng)時(shí)，n的最大值為1411．如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．存在點(diǎn)，使平面C．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D．點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值12．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)，過(guò)M作兩漸近線的垂線，垂足分別為P，Q，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為B．為定值C．若當(dāng)時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）恰好為等邊三角形，則雙曲線的離心率為D．當(dāng)時(shí)，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線的斜率的絕對(duì)值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若直線與直線平行，則.14．設(shè)空間向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.15．已知點(diǎn)是直線（）上一動(dòng)點(diǎn)，、是圓的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是，則．16．著名的斐波那契數(shù)列滿足，，其通項(xiàng)公式為，則是該數(shù)列的第項(xiàng)；．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知曲線，(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求該曲線的切線傾斜角的取值范圍.18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．19．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn)，求的面積.20．如圖，已知與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍1．B【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴.故選：B2．A【分析】根據(jù)兩圓的方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，判斷圓心距離和兩圓半徑的關(guān)系，即可知兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，，，∴，半徑；，半徑，∴，則兩圓外切.故選：A.3．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得解.【詳解】如圖所示，在三棱柱中，，，依題意，故選：A.4．A【分析】由已知可得到數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算求解.【詳解】由，可得，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，因?yàn)?，所?故選：A5．D【分析】由拋物線的方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值【詳解】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：D．6．C【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理求出的關(guān)系計(jì)算即得.【詳解】依題意，直線的斜率，直線的方程為，即，由消去并整理得：，則，即，設(shè)，則，而弦的中點(diǎn)為，即，于是，解得，此時(shí)所以橢圓的離心率.故選：C7．A【分析】根據(jù)題意可知，每一次操作之后面積是上一次面積的，按照等比數(shù)列即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，每次挖去的三角形面積是被挖三角形面積的，所以每一次操作之后所得圖形的面積是上一次三角形面積的，由此可得，第次操作之后所得圖形的面積是，即經(jīng)過(guò)4次操作之后所得圖形的面積是.故選：A8．A【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求解即可.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，不妨設(shè)，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，綜上所述，的最小值是.故選：A.9．BC【分析】結(jié)合，，利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)即可判斷.【詳解】因?yàn)?，則的圖象在處的切線斜率小于；因?yàn)?，所以的圖象在處位于軸上方．故選：BC.10．BCD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，進(jìn)而得出，，依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列中，，，，，公差，數(shù)列是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤，，B正確.，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，最大,C正確.,,.當(dāng)時(shí)，n的最大值為14,D正確.故選:BCD.11．ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，，所以，所以，A選項(xiàng)正確.點(diǎn)到平面與平面的距離和為為定值，D選項(xiàng)正確.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，要使平面，又平面，則，解得，所以存在點(diǎn)，使平面，B選項(xiàng)正確.若直線與直線所成角為，又，則，整理得，無(wú)解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.12．BCD【分析】根據(jù)題意利用焦半徑公式可知長(zhǎng)度的最小值為，可判斷A；利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，再利用點(diǎn)M在雙曲線上即可得出為定值，即B正確；由利用直角三角形的性質(zhì)和為等邊三角形可得，，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率，可判斷C；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切根據(jù)勾股定理和雙曲線定義可得，即雙曲線的漸近線的斜率的絕對(duì)值為，所以D正確.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)槭请p曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以由雙曲線性質(zhì)知線段長(zhǎng)度的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，兩漸近線方程分別為，，所以，又因?yàn)闈M足，可得，所以故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，而（為坐?biāo)原點(diǎn)）恰好為等邊三角形，因此由知，，所以由雙曲線的定義知：，即，即雙曲線的離心率，故C正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)A，連接OA，則，且.作于點(diǎn)B，則.又因?yàn)?，所以，，因此在中?又點(diǎn)在雙曲線右支上，所以，整理得，即，因此雙曲線的漸近線的斜率的絕對(duì)值，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在雙曲線離心率和漸近線方程以及焦點(diǎn)三角形綜合問(wèn)題求解過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)用到勾股定理和雙曲線定義，根據(jù)三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系得出雙曲線中的關(guān)系式即可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.13．##【分析】?jī)芍本€與平行，滿足且或【詳解】由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.故答案為：14．##（-0.5，0.5，0）【分析】利用投影向量的公式及空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，得，，故向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為：.故答案為：.15．2【分析】根據(jù)圓的方程得出圓心和半徑，由圓的性質(zhì)，得到四邊形的面積，再確定的面積的最小值,得出當(dāng)取最小值時(shí)，最??；根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，

由圓的性質(zhì)可知，四邊形的面積，又四邊形的最小面積是2，則的最小值為，則，因?yàn)?，所以?dāng)取最小值時(shí)，最??；又點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)垂直于直線時(shí)，最小，即為圓心到直線的距離；所以，解得，因?yàn)?，所以．故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到點(diǎn)到直線的距離公式、圓的切線長(zhǎng)公式，圓的性質(zhì)和四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于?？碱}型.16．2024322【分析】空1：根據(jù)題意可得，根據(jù)題意結(jié)合裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解；空2：分析可知，結(jié)合遞推公式運(yùn)算求解.【詳解】空1：因?yàn)?，即，則，可得，所以，即是該數(shù)列的第2024項(xiàng)；空2：因?yàn)?，又因?yàn)椋瑒t，所以.故答案為：2024；322.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）導(dǎo)數(shù)值域就是切線斜率取值范圍，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解得出結(jié)論．【詳解】（1）由，則，所以曲線在點(diǎn)出切線的斜率為，所以切線的方程為，即.（2），所以切線的斜率，設(shè)，，，解得.所以該曲線的切線傾斜角的取值范圍為.18．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由，可得數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）結(jié)合裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為.則.由，可得；（2）由（1），，則.故.19．(1)(2)【分析】（1）利用拋物線的定義求出的值，即可得出該拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，寫出直線的方程，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求出以及原點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，可得，因此，拋物線的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)、，由（1）可知，點(diǎn)，易知直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，故.20．(1)；(2).【分析】（1）先有面面垂直得到線面垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式求解即可；（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)兩個(gè)平面的夾角的余弦值即為兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值求解即可.【詳解】（1）作中點(diǎn)，因?yàn)榕c都是正三角形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，所以分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，則，且，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離；（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即，令，則，所以，由（1）知面的法向量為，令平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.21．(1)，；(2).【分析】（1）由求通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，問(wèn)題化為對(duì)一切恒成立，研究右側(cè)的單調(diào)性求最大值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以是首項(xiàng)?公比均為2的等比數(shù)列，故.又，故.（2）因?yàn)?，所以①，②，?②得.所以.不等式對(duì)一切恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立.令，則，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．(1)(2)分析】（1）利用圓心到直線的距離等于短半軸長(zhǎng)及離心率為建立方程，解方程即可求出橢圓C的方程；（2）可以設(shè)直線：與橢圓方程聯(lián)立，得到方程，然后結(jié)合題目條件滿足·（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，利用判別式及韋達(dá)定理建立不等式，可以求出t的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知：短半軸長(zhǎng)為：，因?yàn)?，則，即，所以橢圓