《5.3.1函數(shù)的單調(diào)性》課后分層作業(yè)[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是()A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,1)上單調(diào)遞增B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(4,5)上單調(diào)遞增D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3，－2)上單調(diào)遞增2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是()3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)4．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝sinxB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x5．若f(x)＝eq\f(lnx,x)，e<a<b，則()A．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>16．已知函數(shù)f(x)＝kex－1－x＋eq\f(1,2)x2(k為常數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與x軸平行，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．7．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為_(kāi)_______．8．如圖為函數(shù)f(x)的圖象，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式eq\f(f′x,x)<0的解集為_(kāi)_______．9．已知函數(shù)f(x)＝2ax－eq\f(1,x2)，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．10．已知二次函數(shù)h(x)＝ax2＋bx＋2，其導(dǎo)函數(shù)y＝h′(x)的圖象如圖，f(x)＝6lnx＋h(x)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m＋\f(1,2)))上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是如圖四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()12．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)13．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，f′(x)<2，則滿足f(x)>2x－1的x的取值范圍是________．14．已知函數(shù)f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，證明：當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＋2>0.[C級(jí)拓展探究]15．(1)已知函數(shù)f(x)＝axekx－1，g(x)＝lnx＋kx.當(dāng)a＝1時(shí)，若f(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)－2lnx，a∈R，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是()A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,1)上單調(diào)遞增B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(4,5)上單調(diào)遞增D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3，－2)上單調(diào)遞增解析：選C由圖知當(dāng)x∈(4,5)時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(4,5)上單調(diào)遞增．2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是()解析：選D∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是減函數(shù)，∴當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，故選D.3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)解析：選A∵y＝eq\f(1,2)x2－lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴y′＝x－eq\f(1,x)，令y′<0，即x－eq\f(1,x)<0，解得0<x<1.故選A.4．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝sinxB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：選BB項(xiàng)中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y′>0，∴y＝xex在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．5．若f(x)＝eq\f(lnx,x)，e<a<b，則()A．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>1解析：選A由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)<0，解得x>e，∴f(x)在(e，＋∞)上為減函數(shù)，∵e<a<b，∴f(a)>f(b)．6．已知函數(shù)f(x)＝kex－1－x＋eq\f(1,2)x2(k為常數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與x軸平行，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．解析：f′(x)＝kex－1－1＋x.∵曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與x軸平行，∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，故f′(x)＝ex＋x－1.令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)．答案：(－∞，0)7．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.要使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0在x∈(－1,1)上恒成立，則3x2－a≤0，故a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立，在x∈(－1,1)上，3x2<3，即a≥3，∴a的取值范圍為[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．如圖為函數(shù)f(x)的圖象，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式eq\f(f′x,x)<0的解集為_(kāi)_______．解析：由題圖知，當(dāng)x∈(－∞，－3)∪(－1,1)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故不等式eq\f(f′x,x)<0的解集為(－3，－1)∪(0,1)．答案：(－3，－1)∪(0,1)9．已知函數(shù)f(x)＝2ax－eq\f(1,x2)，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解：由已知，得f′(x)＝2a＋eq\f(2,x3).∵f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，∴f′(x)≥0，即a≥－eq\f(1,x3)在(0,1]上恒成立．而g(x)＝－eq\f(1,x3)在(0,1]上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝－2＋eq\f(2,x3)，對(duì)x∈(0,1]有f′(x)≥0，∴當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)在(0,1]上是增函數(shù)．綜上，若f(x)在(0,1]上為增函數(shù)，a的取值范圍是[－1，＋∞)．10．已知二次函數(shù)h(x)＝ax2＋bx＋2，其導(dǎo)函數(shù)y＝h′(x)的圖象如圖，f(x)＝6lnx＋h(x)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m＋\f(1,2)))上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其圖象為直線，且過(guò)(0，－8)，(4,0)兩點(diǎn)，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入h′(x)＝2ax＋b，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－8，))∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，∴f(x)＝6lnx＋x2－8x＋2.(2)∵f′(x)＝eq\f(6,x)＋2x－8＝eq\f(2x－1x－3,x)(x>0)．∴當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3，＋∞)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)．要使函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m＋\f(1,2)))上是單調(diào)函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<m＋\f(1,2)，,m＋\f(1,2)≤3，))解得eq\f(1,2)<m≤eq\f(5,2).即實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是如圖四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()解析：選B從導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出，導(dǎo)函數(shù)值先增大后減小，當(dāng)x＝0時(shí)最大，所以函數(shù)f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x＝0時(shí)變化率最大．A中，在x＝0時(shí)變化率最小，故錯(cuò)誤；C中，變化率是越來(lái)越大的，故錯(cuò)誤；D中，變化率是越來(lái)越小的，故錯(cuò)誤．故選B.12．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：選D當(dāng)x<0時(shí)，[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，令F(x)＝f(x)g(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)為增函數(shù)．∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)．∴F(x)為奇函數(shù)．故當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)仍為增函數(shù)．根據(jù)F(x)＝f(x)g(x)的性質(zhì)，可作出F(x)的示意圖．∴f(x)g(x)<0的解集為(－∞，－3)∪(0,3)．13．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，f′(x)<2，則滿足f(x)>2x－1的x的取值范圍是________．解析：令g(x)＝f(x)－2x＋1，則g′(x)＝f′(x)－2<0，又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，當(dāng)g(x)>g(1)＝0時(shí)，即x<1時(shí)f(x)－2x＋1>0，即f(x)>2x－1的解集為(－∞，1)．答案：(－∞，1)14．已知函數(shù)f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，證明：當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＋2>0.解：(1)根據(jù)題意知，f′(x)＝eq\f(a1－x,x)(x>0)，當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)；同理，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3，不是單調(diào)函數(shù)，無(wú)單調(diào)區(qū)間．(2)證明：當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－lnx＋x－3，所以f(1)＝－2，由(1)知f(x)＝－lnx＋x－3在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>f(1)．即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.[C級(jí)拓展探究]15．(1)已知函數(shù)f(x)＝axekx－1，g(x)＝lnx＋kx.當(dāng)a＝1時(shí)，若f(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)－2lnx，a∈R，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝xekx－1，∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝eq\f(1,x)＋k.∵f(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，則?x>1，f′(x)≤0?k≤－eq\f(1,x)，∴k≤－1.∵g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，則?x∈(0,1)，g′(x)≥0?k≥－eq\f(1,x)，∴k≥－1.綜上所述，k＝－1.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴f′(x)＝1－eq\f(a,x2)－eq\f(2,x)＝eq\f(x2－2x－a,x2).①當(dāng)Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1時(shí)，得x2－2x－a≥0，則f′(x)≥0.∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．②當(dāng)Δ＝4＋4a>0，即a>－1時(shí)，令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－eq\r(1＋a)，x2＝1＋eq\r(1＋a)>0.(ⅰ)若－1<a≤0，則x1＝1－eq\r(1＋a)≥0，∵x∈(0，＋∞)，∴f(x)在(0,1－eq\r(1＋a))，(1＋eq\r(1＋a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1－eq\r(1＋a)，1＋eq\r(1＋a))上單調(diào)遞減．(ⅱ)若a>0，則x1<0，當(dāng)x∈(0,1＋eq\r(1＋a))時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(1＋eq\r(1＋a)，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1＋eq\r(1＋a))上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1＋eq\r(1＋a)，＋∞)上單調(diào)遞增．《5.3.1函數(shù)的單調(diào)性》同步檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．2．設(shè)奇函數(shù)在R上存在導(dǎo)函數(shù)，且在上，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．3．函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．4．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．5．若函數(shù)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．7．設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C．D．8．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象是一段連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C． D．二、多選題9．（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則對(duì)于任意，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．10．（多選）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．當(dāng)時(shí)，取得極小值11．(多選)已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．12．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．三、填空題13．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)__________．14．已知在單調(diào)遞減，則的取值范圍為_(kāi)_____．15．設(shè)是函數(shù)在的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)，，且，，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_．四、雙空題16．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則與的關(guān)系為_(kāi)______(用表示)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值等于______.答案解析一、單選題1．設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：C．2．設(shè)奇函數(shù)在R上存在導(dǎo)函數(shù)，且在上，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，即，構(gòu)造函數(shù)，由題意知：在上，，故在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，，即為奇函數(shù)，故在R上單調(diào)遞減，因此原不等式可化為：，即，解得.故選：D．3．函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，，，解得，所以．所以，所以為減函數(shù)．因?yàn)?，所以，故選：B．4．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為，其中，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故選：D．5．若函數(shù)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，函數(shù)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，．令，得，解得，故函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：D7．設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闈M足，，令，則，所以在R上是增函數(shù)，又，則，不等式可化為，即，所以，所不等式的解集是，故選：C8．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象是一段連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有成立，此時(shí)所以在上單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，則，則為奇函數(shù)，又則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，恒有可化為，即，由在上單調(diào)遞增，所以故選：A二、多選題9．（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則對(duì)于任意，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題中圖象可知，導(dǎo)函數(shù)的圖象在x軸下方，即，且其絕對(duì)值越來(lái)越小，因此過(guò)函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的切線的斜率為負(fù)，并且從左到右切線的傾斜角是越來(lái)越大的鈍角，由此可得的大致圖象如圖所示．A選項(xiàng)表示與異號(hào)，即圖象的割線斜率為負(fù)，故A正確；B選項(xiàng)表示與同號(hào)，即圖象的割線斜率為正，故B不正確；表示對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即圖中點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，表示當(dāng)和時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的平均值，即圖中點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，顯然有，故C不正確，D正確．故選:AD．10．（多選）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．當(dāng)時(shí)，取得極小值【答案】CD【解析】的圖象在上先小于0，后大于0，故在上先減后增，因此A錯(cuò)誤；的圖象在上先大于0，后小于0，故在上先增后減，因此B錯(cuò)誤；由圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因此C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以