專題5.8特殊平行四邊形全章八類必考壓軸題【浙教版】必考點1必考點1矩形的折疊問題1．（2022春·福建福州·八年級校考期末）如圖，在矩形ABCD中，點O為對角線的交點，點E為CD上一點，沿BE折疊，點C恰好與點O重合，點G為BD上的一動點，則EG+CG的最小值m與BC的數(shù)量關(guān)系是（）A．3m=5BC B．m=2BC C．3m=7BC D．2m=7BC2．（2022秋·四川達州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點H與點A重合時，EF=25．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有__________．（填序號）3．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．(1)根據(jù)定義判矩形已知：如圖1，在平行四邊形ABCD中，AC,BD是它的兩條對角線，AC=BD．求證：平行四邊形ABCD是矩形．(2)動手操作有發(fā)現(xiàn)如圖2，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論．(3)類比探究到一般如圖3，將(2)中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，(2)中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．(4)解決問題巧應(yīng)用如圖4，保持(2)中的條件不變，若G點是CD的中點，且AB=2，請直接寫出矩形ABCD的面積．4．（2022春·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期末）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】：如圖一，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．猜想線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系是．（2）【類比探究】：如圖二，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）【應(yīng)用】：如圖三，將（1）中的矩形ABCD改為正方形，邊長AB＝4，其它條件不變，求線段GC的長．5．（2022春·全國·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點P是邊CD上的一個動點（不與點C重合，把這張矩形紙片折疊，使點B落在點P的位置上，折痕交邊AD與點M，折痕交邊BC于點N.（1）寫出圖中的全等三角形.設(shè)CP=x，AM=y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試判斷∠BMP是否可能等于90°.如果可能，請求出此時CP的長；如果不可能，請說明理由.必考點2必考點2矩形與等腰三角形1．（2022秋·江西吉安·九年級統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，點E在AD邊上，若△BCE是等腰三角形，則線段DE的長為______．2．（2022秋·浙江·八年級期末）在一張長為6cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為4cm3．（2022秋·福建福州·八年級校考期末）已知：若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關(guān)于這條底邊互為頂針點；若再滿足兩個頂角和是180°，則稱這個兩個頂點關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB＝AC，DB＝DC，則點A與點D關(guān)于BC互為頂針點；若再滿足∠A+∠D＝180°，則點A與點D關(guān)于BC互為勾股頂針點．初步思考(1)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E為△ABC外兩點，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC為等邊三角形．①點A與點______關(guān)于BC互為頂針點：②求證：點D與點A關(guān)于BC互為勾股頂針點．實踐操作(2)在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．①如圖3，點E在AB邊上，點F在AD邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點E、F，使得點E與點C關(guān)于BF互為勾股頂針點．（不寫作法，保留作圖痕跡）思維探究②如圖4，點E是直線AB上的動點，點P是平面內(nèi)一點，點E與點C關(guān)于BP互為勾股頂針點，直線CP與直線AD交于點F，求在點E運動過程中，當(dāng)線段BE與線段AF的長度相等時AE的長．4．（2022春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）有一張矩形紙條ABCD，AB=15，BC=4，點M、N分別在邊AB、CD上．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B，C分別落在點E，F(xiàn)上．(1)如圖，當(dāng)點E與點D重合時①求證：△EMN是等腰三角形；②點G在EM上，當(dāng)四邊形EGNF為矩形時，求MG的長．(2)如圖，若CN=3，點M從點A出發(fā)運動到終點B的過程中，若四邊形MEFN的邊ME與線段CD交于點P，求點P的運動路程．5．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)校考期末）如圖矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點P是邊AD上一點，聯(lián)結(jié)BP，過點P作PE⊥BP，交DC于E點，將△ABP沿直線PE翻折，點B落在點B′處，若△B′6．（2022秋·江蘇·八年級期末）問題背景若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關(guān)于這條底邊互為頂針點；若再滿足兩個頂角的和是180°，則稱這兩個頂點關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB=AC，DB=DC，則點A與點D關(guān)于BC互為頂針點；若再滿足∠A+∠D=180°，則點A與點D關(guān)于BC互為勾股頂針點．初步思考(1)如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E為△ABC外兩點，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC為等邊三角形．①點A與點______關(guān)于BC互為頂針點；②點D與點______關(guān)于BC互為勾股頂針點，并說明理由．實踐操作(2)在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．①如圖3，點E在AB邊上，點F在AD邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點E、F，使得點E與點C關(guān)于BF互為勾股頂針點．(不寫作法，保留作圖痕跡)思維探究②如圖4，點E是直線AB上的動點，點P是平面內(nèi)一點，點E與點C關(guān)于BP互為勾股頂針點，直線CP與直線AD交于點F．在點E運動過程中，線段BE與線段AF的長度是否會相等？若相等，請直接寫出AE的長；若不相等，請說明理由．7．（2011秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．（1）求矩形ABCD的周長；（2）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處．①求DE的長；②點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長．（3）M是AD上的動點，在DC上存在點N，使△MDN沿折痕MN折疊，點D落在BC邊上點T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和．必考點3必考點3矩形的多解與最值1．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的邊AD長為4，將△ADC沿對角線AC翻折得到△AD′C，CD′與AB交于點E，再以CD′為折痕，將△BCE進行翻折，得到△2．（2022秋·天津和平·九年級天津一中?？计谀┤鐖D，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，E為BC上一點，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，將EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則3．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E是對角線BD上一點，EF⊥BC于點F，EG⊥CD于點G，連接FG，則EF+FG的最小值為______________．4．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形CDEF．設(shè)若A0,3，C4,0，則5．（2022春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）等邊△ABC中，AB＝14．平面內(nèi)有一點D，BD＝6，AD＝10，則CD的長為_____．6．（2022秋·天津·九年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，矩形OABC，O為原點，A3,0,B3,4,C0,4，將△OBC繞點B(1)如圖（1），當(dāng)∠CBC′=30°(2)如圖（2），當(dāng)點O′恰好落在x軸上時，O′C′與①此時DB與DO②求點D的坐標(biāo)；(3)求△AO必考點4必考點4菱形中的全等三角形的構(gòu)造1．（2022春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且CD=DE，連接BE，分別交AC，AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論：①OG=12AB；②S四邊形ODGF>S△ABF；③由點A、B、A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④2．（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點E，F(xiàn)，G分別是線段AB和線段AC上的動點，且AF=CG，若DE=1，AB=2，則DF+DG的最小值為______．3．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交邊BC于點E，交DC的延長線于點F．(1)如圖1，求證：CE=CF；(2)如圖2，F(xiàn)G∥BC,FG=EC，連接DG、EG，當(dāng)∠ABC=120°時，求證：∠BDG=60°；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)BE=2CE,AE=43時，求線段BD4．（2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?34x+b分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A(1)求b的值和點D的坐標(biāo)；(2)點M是線段AB上的一個動點（點A、B除外）．①如圖2，將△BMC沿CM折疊，點B的對應(yīng)點是點E，連接ME并延長交AD邊于點F，問△AMF的周長是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由；②點P是x軸上一個動點，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，探索是否存在一個點P，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．5．（2022春·河南鶴壁·八年級鶴壁市外國語中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，兩條對角線相交于點O，EF經(jīng)過點O且垂直于AC，分別與邊AD，BC交于點F，E．(1)求證：四邊形AECF為菱形；(2)若AD＝3，CD=2，且∠ADC＝45°，直接寫出四邊形AECF6．（2022春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)β°0<β<180，分別交直線BC、AD于點E、F(1)當(dāng)β=______°，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意找4個點為頂點構(gòu)造四邊形．①β=______°，構(gòu)造的四邊形是菱形；②若構(gòu)造的四邊形是矩形，則不同的矩形應(yīng)該有______個．必考點5必考點5正方形中線段的和差倍分關(guān)系1．（2022春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段DG與BE、AE分別相交于點H、K．(1)求證：∠ABE=∠ADG；(2)判斷BE與DG的關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=62，AG=6，求DK2．（2022春·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是正方形，等腰Rt△AEF的直角頂點E在直線BC上（不與點B，C重合），F(xiàn)M⊥AD，交射線AD于點M．(1)當(dāng)點E在邊BC上，點M在邊AD的延長線上時，如圖①，求證：AB＋BE＝AM；（提示：延長MF，交邊BC的延長線于點H）(2)當(dāng)點E在邊CB的延長線上，點M在邊AD上時，如圖②；當(dāng)點E在邊BC的延長線上，點M在邊AD上時，如圖③．請分別寫出線段AB，BE，AM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若BE＝3，∠BAF＝15°，則AM的長為．3．（2022春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD與正方形CEFG，點M是AF的中點，連接DM，EM．(1)如圖，點E在CD上，點G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫出結(jié)論；(2)如圖，點E在DC的延長線上，點G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)將（1）圖中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點在一條直線上，若AB=13，CE=5，請直接寫出MF的長__________．4．（2022春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)課上老師出示了這樣一個問題：如圖1，等腰Rt△PBF的直角頂點P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點Q，連接PQ．請?zhí)剿鱌Q、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過探索，交流了自己的想法：利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識，可將△ABP旋轉(zhuǎn)到△CBE位置，然后通過證明△BPQ≌△BEQ來探索數(shù)量關(guān)系．(1)（問題解決）請你根據(jù)他們的想法寫出PQ、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系是________；(2)（學(xué)以致用）如圖2，若等腰Rt△PBF的直角頂點P在正方形ABCD的邊DA的延長線上，斜邊BF的延長線交CD的延長線于點Q，連接PQ，猜想線段PQ，AP，CQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)（思維拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點，若BC＝2．則AP＋BP＋CP的最小值＝________．5．（2022秋·四川達州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)物上，點B坐標(biāo)為3,3．將正方形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α0°<α<90°，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P．連AP、AG（1）求證：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）當(dāng)∠1=∠2時，求直線PE的解析式（可能用到的數(shù)據(jù)：在Rt△中，30°內(nèi)角對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半）．（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點M，使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2022春·江西南昌·八年級校聯(lián)考期末）如圖，四邊形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）．（1）當(dāng)四邊形ABCD正方形時，寫出a，b，c，d滿足的等式關(guān)系：（2）若AB、BC、CD、DA的中點分別為E、F、G、H．①直接寫出E、F、G、H四點的坐標(biāo)；②證明：四邊形EFGH是矩形；③若矩形EFGH是正方形，則a，b，c，d滿足的等式關(guān)系是．7．（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，P是正方形ABCD的邊CD右側(cè)一點，CP=CD，∠PCD為銳角，連PB，PD．（1）如圖1，若PD=PC，則∠BPD的度數(shù)為；（2）如圖2，作CE平分∠PCD交PB于E．①求∠BEC的度數(shù)；②猜想PD，BE，CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若PB=6，則四邊形PCBD的面積為平方單位必考點6必考點6正方形中的折疊問題1．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校?？计谀┤鐖D，E為正方形ABCD邊AB上一動點（不與A重合），AB＝4，將△DAE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAF，再將△DAE沿直線DE折疊得到△DME．下列結(jié)論∶①若延長DE，則DE⊥BF；②若連接AM，則AM∥FB；③連接FE，當(dāng)F、E、M三點共線時，AE=42?4；④連接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，則A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2022秋·河南鄭州·九年級校考期末）已知正方形的邊長為12，點P是邊AD上的一個動點，連接BP，將△ABP沿BP折疊，使點A落在點A′上，延長PA′交CD于E，當(dāng)點E與CD的中點F3．（2022春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，正方形ABCD的邊長為6，點E為邊AD的中點，將三角形ABE沿BE折疊使點A與恰好落在點F處，又將點C折疊使其與BF上的點M重合，且折痕GH與BF平行交CD于點H，則線段GH的長度為____．4．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谀┚C合與實踐數(shù)學(xué)活動課上，張老師找來若干張等寬的矩形紙條，讓學(xué)生們進行折紙?zhí)骄浚?1)希望小組將如圖（1）所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點A1處，折痕為BE埴空：圖（1）中四邊形ABA(2)智慧小組準(zhǔn)備了一張如圖（2）所示的長、寬之比為2+1:2的矩形紙片ABCD，用希望小組的方法折疊紙片，得到四邊形ABA1E，接著沿過點C的直線折疊紙片，使點D落在EA(3)勤奮小組拿著一張如圖（3）所示長為5，寬為2的矩形紙片ABCD，利用希望小組的方法折疊紙片，得到四邊形ABA1E，在ED上取一點F（不與點D，E重合），沿CF折疊△CDF，點D的對應(yīng)點為M，射線FM交直線BC①FY與CY的數(shù)量關(guān)系為______；②當(dāng)射線FM經(jīng)過△BA1E5．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐動手操作：利用“正方形紙片的折疊和旋轉(zhuǎn)”開展數(shù)學(xué)活動，探究體會圖形在正方形折疊和旋轉(zhuǎn)過程中的變化及其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．折一折：如圖1，已知正方形ABCD的邊長AB=6，將正方形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B的對應(yīng)點M落在AC上，展開正方形ABCD，折痕為AE，延長EM交CD于點F，連接AF．(1)思考探究：圖1中，與△ABE全等的三角形有________個，∠EAF=________°，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系________，BE的長為________．轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置，與BC、CD的交點分別為E、F，連接EF．(2)證明推理：圖2中，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系________．并給出證明．(3)開放拓展：如圖3，在旋轉(zhuǎn)∠EAF的過程中，當(dāng)點F為CD的中點時，BE的長為________．6．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）【探究問題】（1）閱讀并補全解題過程如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是邊AB的中點，求證：DE平分∠ADC．張某某同學(xué)受到老師說過的“有中點，延長加倍構(gòu)造全等”的啟發(fā)，延長DE交射線CB于點F，請你依據(jù)該同學(xué)的做法補全證明過程．證明：延長DE交射線CB于點F．【應(yīng)用】（2）如圖②在長方形ABCD中，將△ABF沿直線AF折疊，若點B恰好落在邊CD的中點E處，直接寫出∠AFB的度數(shù)．【拓展】（3）如圖③在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在正方形ABCD內(nèi)部的點F處，延長BF交CD于點G，延長EF交CD于點H，若正方形ABCD的邊長為4，直接寫出FG的值．7．（2022春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于點O且AE⊥DF．則AE和DF的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是邊AD，BC，CD上的點，BG⊥EF，垂足為H．求證：EF＝BG．（3）如圖3，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，M分別是邊AD，BC，AB上的點，AE＝2，BF＝4，BM＝1，將正方形沿EF折疊，點M的對應(yīng)點與CD邊上的點N重合，求CN的長度．必考點7必考點7坐標(biāo)系中的正方形1．（2022春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊OA1、OC1在坐標(biāo)軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推，則正方形OB16B17C17的頂點B17的坐標(biāo)是（

）A．(128，-128) B．(256，0) C．(256，256) D．(0，512)2．（2022春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=?125x+12的圖象交x軸、y軸于A、B兩點，以AB為邊在直線右側(cè)作正方形ABCD，連接BD，過點C作CF⊥x軸于點F，交BD于點E，連接AEA．點D的坐標(biāo)為(17,7) B．∠EAF=45°C．點C的坐標(biāo)為(12,17) D．△AEF的周長為14+73．（2022春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AD∥BC∥x軸，AD與y軸交于點E，OE=1，且AE,DE的長滿足AE?3+|DE?1|=0(1)求點A的坐標(biāo)；(2)若P(?2,?1)，①求△EPC面積；②正方形ABCD的邊CD上是否存在點M，使S△ECM=S4．（2022秋·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，B（8，6），過點B作AB∥x軸，交y軸于點A．過點B作BC⊥x軸，垂足為C，點E為OC的中點，點F在線段BC上，連接EF，將△CEF沿直線EF折疊得△DEF．(1)如圖1，當(dāng)四邊形CFDE是正方形時，求點D的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)BF=2CF時，求點D到x軸的距離．5．（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）在正方形ABCD中，點E是直線BC上一點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．（1）如圖1，若點E是BC的中點．求證：AE=EF；（2）如圖2，若點E是BC邊上任意一點（不含B，C），結(jié)論“AE=EF”還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點E是BC延長線上任意一點，結(jié)論“AE=EF”還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（4）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點O與點B重合，正方形的邊長為4，若點F恰好落在直線y=12x+76．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=?23x+4的圖象與x軸和y軸分別交于A、B兩點．動點P從點A出發(fā)，在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O作勻速運動，到達點O即停止運動．其中A、Q兩點關(guān)于點P對稱，以線段PQ為邊向上作正方形（1）當(dāng)t=2秒時，OQ的長度為；（2）設(shè)MN、PN分別與直線y=?23x+4交于點C、D，求證：MC=（3）在運動過程中，設(shè)正方形PQMN的對角線交于點E，MP與QD交于點F，如圖2，求OF+EN的最小值．必考點8必考點8四邊形中存在性問題1．（2022秋·福建福州·八年級福州華倫中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知矩形OBCD，點C6,4，現(xiàn)將矩形OBCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)0°<∠EOB<180°得到矩形OEFG，點B，C，D的對應(yīng)點分別為點E，F(xiàn)，G(1)如圖1，當(dāng)點E恰好落在邊CD上時，則EC的長為______(請直接寫出答案)；(2)如圖2，CD所在直線與OE、GF分別交于點H、M，且CH=MH．求線段MF的長度．(3)如圖3，設(shè)點P為邊FG的中點，連接PB，PE，BE，在矩形OBCD旋轉(zhuǎn)過程中，△BEP的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．2．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點O．點E從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點F從點C出發(fā)，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s；當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接EO并延長，交BC于點G，連接OF和EF．設(shè)運動時間為t（s）（(1)是否存在某一時刻t，使EF⊥BD垂直？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．(2)求△EOF的面積y（cm2）與運動時間t（s）的關(guān)系式．(3)求t為何值時，△AO